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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1985}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1985}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1985 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit l'application $P$ de $\R$ dans $\R$ telle que, pour tout $x$ élément de $\R$,

\[P(x) = (2x - 6)(1 - x) + x^2 - 9.\]

\begin{enumerate}
\item Mettre $P(x)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $P(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ telle que, pour tout $x$ élément de $\R$,

\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&\phantom{-}2x\\
g(x)&=&- \dfrac12 x + \dfrac52.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)= 0$, 
		
		$g(x) = 0$,
		
		$f(x)= g(x)$	
		\item $f(x) = - 4g(x)$.
	\end{enumerate}	
\item Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant g(x)$.
\item Dans un même repère orthonormé \Oij{}
construire les droites $D_1$ et $D_2$ représentant respectivement les applications $f$ et $g$.
\item $D_1$ coupe l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ en O et $D_2$ coupe ce même axe en B.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées des points O et B.
		\item Quelles sont les coordonnées du point G
intersection de $D_1$ et $D_2$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que cette construction graphique permet de contrôler les résultats des questions 1. a. et 2.
\item Démontrer que les droites $D_1$ et $D_2$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on considère les points

\begin{center}A$(2~;~-5)$\:;\qquad B(0~;~3)\:;\qquad C$(-3~;~0)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces points. 

Démontrer que le triangle ACB est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du point D tel que $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{CB}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère ADBC.

Calculer les coordonnées du point d'intersection I des diagonales de ce quadrilatère.
\item Soit le cercle $\mathcal{C}$ de centre B et de rayon BC. 

Calculer le rayon de ce cercle.
\item Démontrer que la droite (CA) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.

\item Quelle est la nature du triangle OCB ?
Soit $a$ la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBO}}$. Déterminer $\sin a$.
\item Ce cercle coupe l'axe des ordonnées $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath}\right)$ en deux points M et M$'$ (M désigne le point d'ordonnée positive, M$'$ celui d'ordonnée négative).

Calculer les coordonnées des points M et M$'$.

\end{enumerate}



























\end{document}