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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit l'équation 
\[(m - 3)x - 2y + (m + 5) = 0,\]

où $m$ est un nombre algébrique donné.

Cette équation définit une fonction $y$ de $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la courbe représentative des variations de cette fonction est une droite $D$.

Construire $D$ dans les cas particuliers suivants : 
\[m = 2 \qquad;\qquad m = 7.\]

Soient $D_1$ et $D_2$ les droites ainsi obtenues (on prendra la même unité sur les deux axes de coordonnées).
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection I des droites $D_1$ et $D_2$.

Si A et B sont les intersections de $D_1$ et $D_2$ avec l'axe des abscisses, calculer $\overline{\text{IA}}^2,\: \overline{\text{IB}}^2,\: \overline{\text{AB}}^2$.

En déduire la nature du triangle IAB.
\item Déterminer $m$ pour que $D$ passe par l'origine ; pour que $D$ détermine avec les axes de coordonnées un triangle rectangle isocèle.

Montrer que toutes les droites D passent par I.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On considère un segment [AB] de longueur 4~cm et l'on mène par A et B deux demi-droites A$x$ et B$y$ de même sens, perpendiculaires à (AB).

On marque sur A$x$ le point o tel que AO = l,cm et sur B$y$ le point O$'$, tel que BO$'= 1$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ les cercles ayant respectivement pour centres O et O$'$ et pour rayons OA et O$'$B.

Que représente la droite (AB) pour ces cercles ?

Que peut-on dire des cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ ? 

Justifier vos réponses.
\item Soit C le point où le cercle $\mathcal{C}$ coupe (OO$'$).

La perpendiculaire à (OO$'$) en C coupe (AB) en D.

Montrer que D est le milieu de [AB] et que l'angle $\widehat{\text{ODO}'}$ est droit.
\item On suppose maintenant que $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ varient respectivement sur A$x$ et B$y$ de manière que le produit des nombres mesurant en centimètres les segments [AO] et [BO$'$]
soit égal à 4.

Montrer que, dans ces conditions,

\[\overline{\text{OO}'}^2  = \overline{\text{OA}}^2 + \overline{\text{O}'\text{B}}^2 + 8\]

puis que OO$' =$ OA + O$'$B.

Qu'en résulte-t-il pour les cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ de centres O et O$'$ passant respectivement par A et B ?

Montrer que le point C où  le cercle de centre O coupe (OO$'$) varie sur un cercle que l'on déterminera.

\end{enumerate}
\end{document}