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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{septembre 1952}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier la fraction $\dfrac{2x^2 - 6x}{4x^2 - 2x}$.

Soit $y$ la fraction simplifiée obtenue ; quelle est la
valeur de $y$ pour $x = 3$ ? Pour $x = \dfrac12$ ?

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $y = - 1$.
\item Transformer l'expression 
\[(3x- 1)^2 - (x- 2)^2\] 
en un produit de deux facteurs du premier degré.

Simplifier la fraction $\dfrac{(3x- 1)^2 - (x- 2)^2}{4x^2 - 1}$.

Soit $y'$ la fraction obtenue.

Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $y' = 0$ ?
\item Déterminer $x$ pour que l'on ait $y' = 4y$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC tel que BC $= a$ et dont les angles B et C vérifient la relation 
\[\widehat{\text{B}} = \widehat{\text{C}} + 90\degres.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose, dans cette première question seulement que $\widehat{\text{A}} = 30\degres$.

Calculer dans ce cas particulier les angles du triangle ABC ; calculer aussi en fonction de $a$ la longueur des côtés [AB] et [AC].
\item On trace le cercle circonscrit $(\mathcal{C})$ au triangle ABC et l'on désigne par D l'intersection avec ce cercle de la perpendiculaire menée à la droite (BC) au point B.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la position particulière du point A sur l'arc $\widearc{\text{BD}}$ ?
		\item Montrer que la tangente en A au cercle $(\mathcal{C})$ est perpendiculaire à la droite (BC).
	\end{enumerate}
\item H désignant le pied de la hauteur [AH] et $R$ la mesure du rayon du cercle $(\mathcal{C})$, démontrer les relations
\begin{center} $\overline{\text{AH}}^2 =$ HB $\cdot$, HC,\qquad $\overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AC}}^2 = 4R^2$.\end{center}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%
<math>

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