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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{septembre 1963}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse septembre 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré l'expression
\[A(x) = (x - 5)^2 - (3x + 2)^2.\]
 Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A(x) = 0$ ?
\item Simplifier l'expression
\[B(x) = \dfrac{(x - 5)^2 - (3x + 2)^2}{16x^2 - 9}.\]
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $B(x) = 0$,\qquad  $B(x) = 2$ ?

Calculer la valeur numérique de $B(x)$ pour $x = \sqrt 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC, équilatéral, de côté $a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On trace le cercle (O) tangent en B à (AB) et en
C à (AC).

Calculer le longueur du rayon [OB] en fonction de $a$.
\item On mène par A la parallèle $xy$ à (BC) et, par B, la perpendiculaire à $xy$, qui coupe cette dernière droite en P.

Calculer AP et BP en fonction de $a$.
\item On prolonge [PB] jusqu'à son second point d'intersection, S, avec le cercle (O).

Montrer que [SC] est un diamètre de ce cercle.
\item On prolonge [SC] jusqu'à son intersection, Q, avec $xy$.

Calculer AQ et CQ en fonction de $a$.

Démontrer que les triangles ACP et ABQ sont semblables.
\item (BQ) coupe (AC) en D.

Que vaut le rapport $\dfrac{\text{DQ}}{\text{DB}}$ ?
\end{enumerate}
\end{document}