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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse septembre 1967~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& 3(2x - 1)- (1 - 2x)^2- (1 - 2x)(3 + 5x) \:\text{et}\\
B(x)&=& 4x^2- 4x + 1 - 2x(2x - 1) + 18x^3 - 9x^2.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Décomposer en produits de facteurs les expressions $A(x)$ et $B(x)$.
\item Soit la fraction rationnelle $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Simplifier cette fraction.

Est-il toujours possible de calculer la valeur numérique de la fraction simplifiée ?
\item Représenter, dans un même système d'axes de coordonnées (unité: le centimètre), les fonctions
\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
$\left(D_1\right)$& $y_1 = 3x + 1,$\\
$\left(D_2\right)$& $y_2 = 3x - 1$.
\end{tabular}
\end{center}
$\left(D_1\right)$ coupe l'axe des ordonnées en D et la droite d'équation $x = 1$ en A.

$\left(D_2\right)$ coupe l'axe des ordonnées en C et la droite d'équation $x = 1$ en B.

Calculer l'aire du quadrilatère ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère, sur une droite $xx'$, un segment [AB] tel que AB $= 8$~cm . :MA M'A 1

et les points M et M$'$ tels que 
\[\dfrac{\overline{\text{MA}}}{\overline{\text{MB}}} = \dfrac{\overline{\text{M}'\text{A}}}{\overline{\text{M}'\text{B}}} = - \dfrac13.\]

(le point M étant placé sur [AB]).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire géométriquement les points M et M$'$ 
(expliquer rapidement la construction).
\item On trace le cercle de centre O et de diamètre [MM$'$].

Soit C le milieu de l'un des demi-cercles de diamètre [MM$'$].

On trace (BC), qui coupe le cercle en P{}.

Calculer BC.

Exprimer la puissance du point B par rapport au cercle (O).

En déduire BP.
\item Comparer les angles $\widehat{\text{MPB}}$ et $\widehat{\text{BM}'\text{C}}$ et les triangles MPB et CM$'$B.

Calculer PM et PM$'$.

En déduire une propriété de la droite (PA) dans le triangle MPM$'$.
\end{enumerate}
\end{document}