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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse septembre 1976~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A} 

\medskip

Soit les applications $f$ et $g$ de $\R$ vers $\R$ définies par

\[f(x) = 3x + 2, \qquad  g(x) = -4x + \dfrac{1}{3}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les applications

\[h =f \circ g \quad \text{et} \quad  k = g \circ f.\]

\[\left(\text{On trouve }\, h(x) = -12x + 3\quad  \text{et}\quad  k(x) = -12x - \dfrac{23}{3}\right)\]

\item Résoudre dans $\R$ l'équation $h(x) =k (x)$.
\item Soit $L$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ définie par

\[L(x)= - \dfrac{ 3f(x)g(x)}{144x^2 - 1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer son ensemble de définition $D$. 
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $D$,
 \[L(x) = \dfrac{3x+2}{12x+1}.\]
 
		\item Calculer $L\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\right)$. 
		
On exprimera le résultat sous la forme d'un quotient à dénominateur rationnel.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R \times \R$ le système d'équation suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
-6x +2y -22	&=&0,\\
\phantom{-6}x + \phantom{2}y - \phantom{2}3	&=&0.
 \end{array}\right.\]
 
\item Le plan étant muni d'un repère \Oij, construire les droites $(D)$ et $(M)$ ayant respectivement pour équation

\[- 6x + 2y - 22 = 0 \qquad \text{et} \qquad  x + y -3 = 0.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Un plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la droite $(D)$ d'équation

\[3x- y + 2 = 0.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A(1~;~5) et B$(- 2~;~- 4)$ appartiennent à $(D)$.
		\item Tracer la droite $(D)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $(E)$ médiatrice de [AB].

Tracer la droite $(E)$. 
 
[On désignera par H son point d'intersection avec (D).]
\item Montrer que le point M$(- 5~;~2)$ appartient à $(E)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances de A à B, de M à A, de M à B, notées respectivement AB, MA et MB.
		\item Montrer que le triangle (A, M, B) est isocèle et rectangle en M.
	\end{enumerate}
\item Calculer la distance du point M à la droite (AB).
\item Construire le point P de la droite $(E)$, distinct de M, tel que AP = AM. 

Expliquer la construction.

Montrer que les distances BP et BM sont égales.
\end{enumerate}
\end{document}