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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Tunisie juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer la somme

\[\dfrac{x^2 - 1}{x} - \dfrac{ x^2}{x + 1} + \dfrac{1}{x^2 + x}.\]
.
\item Calculer l'expression 

\[y = \dfrac{(x +1)(3x-2)}{(x -1)}\left(\dfrac{x^2 - 1}{x} - \dfrac{ x^2}{x + 1} + \dfrac{1}{x^2 + x}\right)\]

et représenter graphiquement la fonction $y$ obtenue.
\item Sur le même graphique représenter
\[y = - \dfrac13 x + 4.\]

\item Soient I, le point commun aux deux droites, A et B les points d'intersection de la première droite avec les axes O$y$ et O$x$, C et D ceux de la deuxième droite avec O$y$ et O$x$.

Comparer les triangles OAB et OCD et en déduire
la valeur de l'angle $\widehat{\text{AID}}$.

Montrer que le cercle de diamètre [AD] passe par O
et I et trouver la valeur du produit CI $\times$ CD.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

On trace les cordes [AC] et [CD] respectivement égales aux côtés du carré inscrit et de l'hexagone régulier inscrit dans le cercle (D entre C et B).

Soit H la projection de D sur le diamètre [AB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer les angles du quadrilatère ACDB.
\item Calculer DH, OH, HB, DB, AD.
\item Soit I l'intersection de (AD) et (CB).

Que vaut l'angle $\widehat{\text{AIB}}$ ?

Comparer les segments [ID] et [IB], les segments [IC] et [IA].

Calculer IB et IC et la valeur du produit IC $\times$ IB.
\end{enumerate}
\end{document}