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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{septembre 1952}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Tunisie septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle équilatéral AOB tel que 
\begin{center}AB $= 5$ cm.\end{center}

Sur [OA– on prend un point M, entre O et A, au-dessus de
la moitié de OA et sur OB un point R, entre O et B, tel que OM = OR.

La parallèle à (OB) menée par M et la parallèle à (OA) menée par R se coupent en P{}. 

(OP) coupe (AB) en S.

On pose OM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $x$, OP et SP.
\item Représenter sur le même graphique les courbes représentant les variations de OP $= y_1$ et SP $= y_2$, lorsque $x$ varie de $0$ à $2,5$ cm.
\item Déterminer graphiquement et par le calcul la longueur $x$ lorsque OP = SP.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$ et [AB] le côté du carré inscrit.

Calculer AB, en fonction de $R$.
\item On prolonge [AB] au delà de B, d'une longueur 
\begin{center} BP = AB\end{center}
et l'on trace les tangentes (PM) et (PN) au cercle $\mathcal{C}$, en M et N.

Calculer PM et OP.
\item On trace la corde [MN] qui coupe (OP) en I.

Montrer que 
\begin{center}OI $= \dfrac{\text{MI}}{2}$  et MI $= \dfrac{\text{IP}}{2}$.\end{center}
\item Sachant que $R = 10~$cm, calculer MI, IO et IP.
\end{enumerate}
\end{document}