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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'année 2000}
\rfoot{\small Turquie}
\lfoot{\small juin 2000}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Turquie juin 2000~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne l'expression:
\[A = \np{2000} - \dfrac{1}{\np{2000}} - 0,2 \times 10^4 + \left(\dfrac{1}{10}\right)^3.\]

Exprimer $A$ sous la forme d'une fraction irréductible.
\item On considère l'expression:
\[B = (2 - 3x)^2 - 4(2 - 3x).\]
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $B$.
		\item Factoriser $B$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation, puis représenter les solutions sur une droite graduée :
\[1 - 7x \geqslant x - 2.\]

\item Les nombr1es $105$ et $84$ sont-ils premiers entre eux ? Justifier.

Simplifier $\dfrac{105}{84}$ pour la rendre irréductible.

Justifier que le résultat obtenu est bien une fraction irréductible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Voici un rectangle fait à main levée dont on donne la longueur et la largeur.

\begin{minipage}{0.4\linewidth}\emph{Dans cet exercice, on ne travaillera pas avec des valeurs approchées.}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.46\linewidth}
\psset{unit=1.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.5,2.4)
\psframe(0,0)(2.8,1.5)
\psframe(0.25,0.25)\psframe(0,1.5)(0.25,1.25)
\psframe(2.8,1.5)(2.55,1.25)\psframe(2.8,0)(2.55,0.25)
\psline{<->}(3,0)(3,1.5)\psline{<->}(0,1.7)(2.8,1.7)
\uput[r](3,0.75){\small$\sqrt{\np{1000}}$}\uput[u](1.4,1.7){\small $ \sqrt{\np{2000}}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La longueur est-elle égale au double de la largeur ? Justifier.
\item Exprimer $\sqrt{\np{2000}}$ sous la forme $a \sqrt 5$ et $\sqrt{\np{1000}}$ sous la forme
$b\sqrt{10}$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
\item Exprimer l'aire du rectangle sous la forme $c\sqrt 2$ ($c$ est un entier).
\item Montrer que le périmètre du rectangle peut s'écrire sous la forme $20\sqrt 5\left(2 + \sqrt 2 \right)$·
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Voici un diagramme illustrant la décomposition du prix d'un médicament en 1996.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3.4,-3)(5.2,2.9)
\pscircle(0,0){1.8}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1.8}{90}{312.56}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0){1.8}{312.56}{330.56}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){1.8}{330.56}{355.4}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0,0){1.8}{355.4}{90}
\rput(0,2.4){\textbf{Prix d'un médicament}}
\rput(3.3,1.4){Marge pharmacien}
\rput(-2.3,-1.4){Part industrie}
\rput(3.5,-0.6){Marge grossiste}
\rput(1.8,-1.4){T. V. A.}\rput(1.7,-1.8){$5\,\%$}
\rput(3.8,-0.9){$6,9\,\%$}\rput(2.4;201.28){$64,6\,\%$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Un médicament coûte $60$~F (toutes taxes comprises) et le pharmacien fait sur celui-ci une marge de $15,84$~F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel pourcentage du prix du médicament représente la marge du pharmacien ?
\item On souhaite schématiser cette décomposition du prix par un diagramme circulaire.

Calculer la mesure de l'angle correspondant à la marge réalisée par le grossiste.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE\hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la figure $\mathcal{F}_2$ image de la figure $\mathcal{F}_1$ dans la symétrie de centre O, et noircir, dans $\mathcal{F}_2$ les images des petits carrés noirs de $\mathcal{F}_1$.

Placer le point B, image du point A dans cette symétrie.
\item Tracer la figure $\mathcal{F}_3$ image de la figure $\mathcal{F}_2$ dans la symétrie de centre I, et noircir, dans $\mathcal{F}_3$ les images des petits carrés noirs de $\mathcal{F}_2$.

Placer le point C, image du point B dans cette symétrie.
\item Par quelle transformation passe-t-on de $\mathcal{F}_1$ à $\mathcal{F}_3$ ? La préciser.
\item Tracer la figure $\mathcal{F}_4$ image de la figure $\mathcal{F}_1$ dans la rotation de centre A, d'angle $90\degres$ et de sens inverse de celui des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(30,28)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psframe[linewidth=1.25pt](1,2)(9,10)\rput(4.5,6){$\mathcal{F}_1$}
\psframe*(3,2)(5,4)\psframe*(1,8)(3,10)\psframe*(7,8)(9,10)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](9,10)(13,16)(13,26)
\uput[ur](9,10){A} \uput[ur](13,16){O} \uput[ur](13,26){I}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le dessin ci-dessous représente un pavé droit en bois dans lequel on découpe la pyramide ADEFB.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,5)
\pspolygon(1.8,0.2)(4.1,0.7)(4.1,3.4)(1.8,2.9)%EHCD
\psline(1.8,2.9)(0.4,4.2)(0.4,1.5)(1.8,0.2)%DAFE
\psline(4.1,3.4)(2.7,4.7)(0.4,4.2)%CBA
\psline[linestyle=dashed](4.1,0.7)(2.7,2)(0.4,1.5)%HGF
\psline[linestyle=dashed](2.7,2)(2.7,4.7)%GB
\pspolygon[linecolor=blue](1.8,0.2)(2.7,4.7)(0.4,1.5)%EBF
\psline[linecolor=blue](2.7,4.7)(1.8,2.9)(1.8,0.2)%BDE
\uput[ul](0.4,4.2){A} \uput[ur](2.7,4.7){B} \uput[r](4.1,3.4){C} \uput[dl](1.8,2.9){D}
\uput[d](1.8,0.2){E} \uput[dl](0.4,1.5){F} \uput[ur](2.7,2){G} \uput[dr](4.1,0.7){H}
\rput(6.6,3.7){AB = 4 cm}\rput(6.6,3.3){AF = 4 cm}\rput(6.6,2.9){BD = 5 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le point A est-il situé sur la droite (HG)?
\item Dessiner en vraie grandeur la face ABD et calculer la valeur exacte de AD.
\item Calculer le volume de cette pyramide et montrer qu'il représente plus de $30\,\% $ du volume du pavé droit.
\end{enumerate}

\emph{Rappel} : Volume d'une pyramide : $\dfrac{B \times  h}{3}$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un repère orthonormé (O, I, J), placer les points 
\begin{center}A$(-1~;~-3)$,\qquad B(3~;~0) \quad et \quad C(2~;~1).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$ et calculer AB.
\item Construire le point D, image du point C dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Déterminer la longueur AC par le calcul.
\item Déduire des questions précédentes la nature du quadrilatère ABDC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.47\linewidth}
Un plan opaque est disposé parallèlement au sol.

Dans ce plan, on a percé un disque de $1$~mètre de diamètre.

Une source lumineuse, située au-dessus du plan percé, éclaire une surface au sol de forme circulaire.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.7,-0.8)(2.5,3)
%\psgrid
\psline(-2.7,-0.7)(1.2,-0.7)(1.9,0.5)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.2,0.5)

\psline(-1.2,0)(0,2.7)(1.2,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1.7,1)(1.3,1)(2,2.3)(-1,2.3)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=orange](0,1.4)(0.6,0.25)
\psline(-0.6,1.42)(0,2.7)(0.6,1.42)
\uput[r](0,2.7){A}\uput[l](-0.6,1.42){B}\uput[r](0.6,1.42){D}
\rput(0,2.9){\small source lumineuse}
\rput(0,-0.8){\small surface éclairée au sol}
\rput(2.4,1.6){\small plan percé}
\rput(1.4,0.4){\small sol}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
On peut schématiser ainsi le cône de lumière :

Dans tout le problème :

BD $= 1$ m

AO$' = 5$ m
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.6,-0.6)(1.6,3)
%\psgrid
\psline(0,3)%O'A
\psline(-1.2,0)(0,2.8)(1.2,0)
\psline(-1.6,0)(1.6,0)\psline(-0.6,1.4)(0.6,1.4)
\psellipticarc(0,0)(1.2,0.5){180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.2,0.5){0}{180}
\psellipticarc(0,1.4)(0.6,0.25){180}{0}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,1.4)(0.6,0.25){0}{180}
\uput[u](0,2.8){A} \uput[l](-0.6,1.4){B} \uput[l](-1.2,0){C} \uput[r](0.6,1.4){D}
\uput[r](1.2,0){E} \uput[dr](0,1.4){O} \uput[d](0,0){O$'$}
\psframe(0.15,0.15)\psframe(0,1.4)(0.15,1.55)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\textbf{Première partie}

On suppose que la source lumineuse se trouve à 1 m du plan percé.

Autrement dit : AO $= 1$~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte, en fonction de $\pi$, de l'aire du disque de
diamètre [BD].
\item Sachant que les droites (OD) et (O$'$E) sont parallèles, calculer, en
 justifiant, le rapport $\dfrac{\text{O}'\text{E}}{\text{OD}}$.
\item Le disque de diamètre [CE] est un agrandissement du disque de diamètre [BD].

En déduire la valeur exacte de l'aire de la surface éclairée au sol.

Donner la valeur arrondie de cette aire à 1 m$^2$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Dans cette partie, on considère que le plan percé peut se déplacer verticalement tout en restant parallèle au sol : ainsi la distance AO varie.

On note $x$ cette distance : $x =$ AO.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Entre quelles valeurs varie $x$ ?
\item Montrer que O$'$E $= \dfrac{5}{2x}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{pspicture}(-2.7,-0.8)(2.5,3)
%\psgrid
\psline(-2.7,-0.7)(1.2,-0.7)(1.9,0.5)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1.2,0.5)
\psline(-1.2,0)(0,2.7)(1.2,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1.7,1)(1.3,1)(2,2.3)(-1,2.3)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=orange](0,1.4)(0.6,0.25)
\psline(-0.6,1.42)(0,2.7)(0.6,1.42)
\uput[r](0,2.7){A}\uput[l](-0.6,1.42){B}\uput[l](-1.2,0){C}\uput[r](0.6,1.42){D}
\uput[dr](1.2,0){E} \uput[dr](0,1.4){O} \uput[d](0,0){O$'$}
\psline[linewidth=0.4pt](-1.4,2.7)(2.2,2.7)
\psline[linewidth=0.4pt](-1.2,0)(2.2,0)\psline{<->}(2.2,2.7)(2.2,0)\uput[r](2.2,1.35){5}
\psline[linewidth=0.4pt](0.6,1.42)(-1.4,1.42)\psline{<->}(-1.4,2.7)(-1.4,1.42)\uput[l](-1.4,2.06){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt](0,0)(0,2.7)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

On a représenté graphiquement :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]la distance O$'$E en fonction de la distance $x$ séparant le plan percé de la source lumineuse (graphique 1) ;
\item[$\bullet~$]l'aire de la surface éclairée au sol en fonction de la distance $x$ (graphique 2).
\end{itemize}

%graphique 1
\begin{center}
\psset{unit=1.1cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(6,5)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{0.5}{5}{5  2 x mul div}
\rput(3,4.5){\small Graphique 1}
\rput(3,4){\small en abscisse : 2 cm pour 1 mètre}
\rput(3,3.5){\small en ordonnée : 2 cm pour 1 mètre}
\uput[d](5.4,0.2){\small distance AO}\uput[u](5.4,0){\small $x$ (m)}
\uput[l](0,4.9){\small O$'$E (m)}
\end{pspicture}
\end{center}

%graphique 2
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.375cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(6,20.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(6,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.5,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(6.5,20)
\psplot[plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{0.5}{5}{25 3.1416 mul x dup mul 4 mul div}
\rput(3,19){\small Graphique 2}
\rput(3,18){\small en abscisse : 2 cm pour 1 mètre}
\rput(3,17){\small en ordonnée : 1 cm pour 2 m$^2$}
\uput[d](5.4,0.2){\small distance AO}\uput[u](5.4,0){\small $x$ (m)}
\uput[r](0,20){\small aire de la surface éclairée (en m$^2$)}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%

Par simple lecture sur l'un ou l'autre des graphiques, répondre aux questions suivantes:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Y a-t-il proportionnalité entre le rayon du disque représentant la surface éclairée au sol et la distance $x$ ? Justifier votre réponse.
\item À quelle distance de la lampe doit-on positionner le plan percé pour que O$'$E soit égal à $1$ mètre ?
\item Quelle est l'aire de la surface éclairée au sol lorsque le plan percé le trouve à $1,5$~m de la source lumineuse ?
\end{enumerate}
\end{document}