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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Vanuatu}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Vanuatu septembre 1988}~\decofourright}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le prix d'une place pour un match de basket-bail est de $75$~F pour un adulte. 

Les enfants bénéficient d'une réduction de 40\,\% sur ce prix.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le prix d'une place pour un enfant est 45 F.
		
		
		\item À l'occasion d'un match, la recette a été de \np{159120}~F.
		
Un tiers des spectateurs était des enfants.
		
On appelle $x$ le nombre total de spectateurs.

Montrer que cette recette pour ce match est $65x$.
		\item À l'aide de l'équation $65x = \np{159120}$, calculer le nombre $x$
de spectateurs présents.
	\end{enumerate}
\item $x$ désigne un nombre réel.

Soit $A = (3x - 5)^2 - 2(2x - 1)^2 - x(x - 5)$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire l'expression $A$.
		\item Résoudre l'inéquation $- 17x + 23 \leqslant 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\emph{L'unité de longueur est le centimètre}

\medskip

Soit le parallélogramme de sommets A, B, C, D. Ses diagonales sont les segments [BD] et [AC].

On donne AB $= 9$, BD $= 15$, DA $= 12$.

Faire une figure soignée que l'on complétera au fur et à mesure.

On n'expliquera pas les constructions faites.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que A, B, C, D sont les sommets d'un rectangle.
\item Placer le point E du segment [BD] tel que DE $= 10$.

La parallèle à la droite (AB) passant par E coupe la droite (AD) en F{}.

Montrer que DF $= 8$.

Calculer FE.
\item On appelle I le milieu du segment [ED].

La droite (FI) coupe la droite (OC) en G.

Démontrer que I est le milieu du segment [FG] et que F, D, G, E sont les sommets d'un rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. L'unité est le centimètre.

On donne les points A, B, C, D tels que
\[\vect{\text{OA}} = - 4\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OB}} = -2\vect{\imath}\:;\quad \vect{\text{OC}} = 7\vect{\imath} + 6\vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OD}} = 2\vect{\imath} + 7\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points sur une figure.

Trouver une équation de la droite (BC).
\item Calculer, s'il existe, le réel $k$ tel que $\vect{\text{BC}} = k\vect{\text{AD}}$.

Les droites (BC) et (AD) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
\item Démontrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
\item Représenter graphiquement dans le repère précédent la
fonction $f$ de la variable $x$ donnée par $f(x) = \dfrac74 x + \dfrac72$ après avoir calculé les nombres $f(- 2)$ et $f(2)$.
\end{enumerate}
\end{document}