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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des  collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers}} 
\rfoot{\small{juin 2008}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2008~\decofourright\\ 
Centres étrangers}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

 Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\begin{center} 

\textbf{Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la 
présentation (4 points)} 

\end{center} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On écrira les détails des calculs sur la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit le nombre A $ = \dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{5} \times \dfrac{10}{4}$.

Calculer A. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible, puis on donnera sa valeur décimale.

\item  Soit le nombre B $ = \dfrac{3 \times 10^{-4} \times 5 \times \left(10^2  \right)^6}{25 \times 10^{-2}}$.

Calculer B. On donnera le résultat sous la forme d'une écriture scientifique. 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{ Exercice 2}

\medskip
 
\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\og Le nombre caché :

\begin{itemize}
\item  Je suis un nombre entier compris entre 100 et 400. 
\item  Je suis pair. 
\item  Je suis divisible par 11. 
\item  J'ai aussi 3 et 5 comme diviseur. 
\end{itemize}

Qui suis-je ? \fg.

Expliquer une démarche permettant de trouver le nombre caché, et donner sa valeur. 

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système suivant : 
$\left\{\begin{array}{l c l}
5x + 4y&=&88\\
x + 2y&=&26\\
\end{array}\right.$

\item Dans une grande surface, les DVD et les CD sont en promotion.
 
Les DVD coûtent tous le même prix. Les CD coûtent tous le même prix.

Paul achète 5 DVD et 4 CD pour 88~\euro.
 
Louis achète un DVD et 2 CD. Il paie 26~\euro.
 
Quel est le prix d'un DVD ?

Quel est le prix d'un CD ? 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
 
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &&	 	Réponse A&	Réponse B&	Réponse C\\ \hline
\textbf{1.}&$\sqrt{32}$ est égale à :&$16\sqrt{2}$&	$8\sqrt{2}$&$4\sqrt{2}$\\ \hline		
\textbf{2.}&$\sqrt{9 + 16}$  	 est égale à :&	7&	5&$\sqrt{3} + \sqrt{4}$\\ \hline	
\textbf{3.}& 	Pour tout nombre $x,\: {x^2-100}$   est égale à :&	$(x + 10)(x - 10)$&$(x - 10)^2$&$(x - 50)^2$\\ \hline		
\textbf{4.}& 	L'équation $(x - 4)(2x + 5) = 0$ a pour solutions :&	$4$ et $\dfrac{5}{2}$&$- 4$ et $- \dfrac{5}{2}$& $4$ et $- \dfrac{5}{2}$\\ \hline
\textbf{5.}& 	Si $x = \sqrt{5}$ alors l'expression $x^2 + 3x - 1$ vaut :&$4 + 3\sqrt{5}$ &$7\sqrt{5}$&$24 + 3\sqrt{5}$\\ \hline
\textbf{6.}& Si le côté d'un carré est multiplié par 3 alors son aire est multipliée par :&$3 \times 4$&$3^2$&$3$\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\parbox{0.47\linewidth}{La figure suivante n'est pas réalisée en vraie grandeur.\\ 
L'unité de longueur est le centimètre.

On donne : 

AB = 8 ; BC = 9 ; AC = 6 ; AE = 4

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Calculer AD.

On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième de centimètre. 
\item  Soit F le point tel que C, B et F sont alignés dans cet ordre, avec BF = 6.

Démontrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles. 
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}\begin{pspicture}(9,5.5)
\pspolygon(0,0)(7.9,0)(5.7,5.2)(8.4,5.2)(3.6,0)%FCEDB
\uput[r](6.5,3.3){A}\uput[d](3.6,0){B} \uput[d](7.9,0){C} \uput[u](8.4,5.2){D} \uput[u](5.7,5.2){E} \uput[d](0,0){F}
\psline(6.57,3.2)(0,0)%AF 
\end{pspicture}}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle SKI rectangle en S tel que SK = 9,6~cm et KI = 10,4~cm. 
\item  Calculer SI. 
\item  Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{SKI}}$. On donnera l'arrondi au degré. 
\item  En déduire au degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{SIK}}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Où se situe le centre O du cercle circonscrit au triangle SKI ? 
		\item  Placer le point O sur la figure et tracer ce cercle. \\
Calculer au degré près la mesure de l'angle $\widehat{\text{SOI}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{III. Problème \hfill 12 points}

\medskip
 
Un cybercafé propose à ses clients les trois tarifs suivants pour accéder à Internet :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tarif A : abonnement 25~\euro{} par mois pour une connexion illimitée. 
\item[$\bullet~$] Tarif B : 1,50~\euro{} par heure de connexion. 
\item[$\bullet~$] Tarif C : abonnement 14~\euro{} par mois et 0,50~\euro{} par heure de connexion.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{4}{c|}{Nombre d'heures de connexion par mois}\\\cline{3-6}
\multicolumn{2}{c|}{}&6 heures&18 heures&24 heures&$x$ heures\\ \hline
		&Tarif A	&	&	&	&\\% \cline{2-6}
Prix (en \euro)&Tarif B	&	&	&	&\\% \cline{2-6}	 	 	 	 
		&Tarif C	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	 	 	 	 
\item  On considère les fonctions $f,~ g$ et $h$ définies de la façon suivante : 
\begin{itemize}
\item[] $f(x) = 25$
\item[] $g(x) = 1,5x$
\item[] $h(x) = 0,5x + 14$ 
\end{itemize}

Tracer les représentations graphiques de ces trois fonctions dans le repère orthogonal ci-dessous. 

Unités graphiques : 1~cm pour 2~heures en abscisse, 1~cm pour 5~\euro{} en ordonnée.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(34,70)
\multido{\n=0+1}{35}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,65)}
\multido{\n=0.0+2.5}{27}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](0,\n)(34,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=5](0,0)(-1.9,-4.9)(34,65)%
\uput[d](33,-4){$x$ (heures)}\uput[l](0,68){$y$ (euros)}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
\item  Un premier client pense se connecter 8 heures ce mois-ci. 
Déterminer graphiquement le tarif le plus intéressant pour lui. 
On laissera apparents les traits de construction.
\item  Un second client dispose de 24~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer graphiquement le tarif qui lui permettra de se connecter le plus longtemps possible.
		 
On laissera apparents les traits de construction. 
		\item  Retrouver ce résultat par calcul.
	\end{enumerate}
\item  Résoudre l'équation suivante : $1,5x = 0,5x + 14$.

Interpréter la réponse obtenue.
\end{enumerate}
\end{document}