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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Groupement Nord}}
\rfoot{\small juin 2005}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Nord \footnote{Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen et Versailles} 28 juin 2005~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit A $= \dfrac{5}{3} - \dfrac{7}{3}\times \dfrac{9}{4}$  et B $= \sqrt{45} - 12\sqrt{5}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire B sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression  $A = (2x - 3)^2 - (4x + 7)(2x - 3)$.

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 3)(-2x - 10) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de tartelettes.
\item Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Une élève de CP fait des courses pour elle et ses camarades :

La première fois elle achète 5 crayons et 2 gommes pour 10,90 \euro.

La seconde fois elle achète 8 crayons et 3 gommes pour 17,20 \euro.

En utilisant un système d'équations, aider l'élève de CP à retrouver le prix de chaque article.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que BC = 7 cm, 

$\widehat{\text{BCA}} = 37~\degres$ et $\widehat{\text{CBA}} = 53~\degres$.
\item Prouver que ce triangle est un triangle rectangle.
\item Calculer la longueur CA puis en donner la valeur arrondie au mm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la page annexe, dans un repère orthonormé 

(O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm, placer les points A(0~;~4) B(3~;~2) C$(-1~;~-4)$.
\item Calculer la longueur BC, donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.
\item En admettant que AB $ = \sqrt{13}$ cm et AC $ = \sqrt{65}$ cm, démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
\item Placer dans le repère le point E image du point C dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Démontrer que le quadrilatère ABCE est un rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Sur la figure ci-dessous on a un cône de révolution tel que SA = 12 cm.

Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que SA$'$ = 3 cm.

(la figure ci-dessous n'est pas à l'échelle).

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,6)
\psellipse[linestyle=dashed](3,1.2)(3,1.2)
\psellipse[linestyle=dashed](3,4)(1.,0.5)
\pscurve(0,1.2)(0.2,0.8)(1,0.32)(2,0.09)(3,0)(4,0.09)(5,0.32)(5.8,0.8)(6,1.2)
\pscurve(2,4)(2.1,3.79)(2.25,3.68)(2.5,3.58)(3,3.52)(3.5,3.58)(3.75,3.68)(3.9,3.79)(4,4)
\psline(0.1,1.5)(3,5.4)(5.9,1.5)
\psline[linestyle=dashed](3,1.2)(3,5.4)
\uput[dl](3,1.2){A}  \uput[dl](3,4){A$'$}  \uput[ul](3,5.4){S}   
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 cm. Calculer la valeur exacte du volume du grand cône.
\item Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône ?
\item Calculer la valeur exacte du volume de ce petit cône, puis en donner la valeur arrondie au cm$^3$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(-8,-10)(8,14)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-8,-10)(8,14)
\end{pspicture}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

Monsieur Martin habite Petitville. Monsieur Gaspard habite à une distance de 900 km de Petitville.

À huit heures du matin les deux personnes commencent à rouler l'un vers l'autre :

$\bullet~$ Monsieur Martin quitte Petitville et roule à 60 km/h.

$\bullet~$ Monsieur Gaspard se dirige vers Petitville et roule à 90 km/h.

On note $x$ le temps écoulé depuis huit heures du matin ($x$ est exprimé en heures). Ainsi, quand il est huit heures du matin, $x = 0$.

Après avoir roulé une heure, c'est-à-dire quand $x = 1$, Monsieur Martin est à 60 km de Petitville et Monsieur Gaspard est lui à 810 km de Petitville.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quelle distance de Petitville Monsieur Martin se situe-t-il quand $x = 4$ ? Quand $x = 10$ ?
\item A quelle distance de Petitville Monsieur Gaspard se situe-t-il quand $x = 4$ ? Quand $x = 10$ ?
\item Exprimer en fonction de $x$ la distance qui sépare Monsieur Martin de Petitville.

Exprimer en fonction de $x$ la distance qui sépare Monsieur Gaspard de Petitville.
\item On donne les fonctions suivantes $f~:~x \longmapsto 60x$ et  $g~:~x \longmapsto 900 - 90x$.

Recopier sur la copie les tableaux suivants et les compléter :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$  	&0 	&1 &4 	&10\\\hline
$f(x)$	& 	& 	& 	& \\\hline
\end{tabularx}\]

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$  	&0	&1 	&4 	&10\\\hline
$g(x)$	& 	& 	& 	& \\\hline
\end{tabularx}\]

\item Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ sur une feuille de papier millimétré en prenant :

$\bullet~$ en abscisse : 1 cm pour une durée d'une heure.

$\bullet~$ en ordonnée : 1 cm pour une distance de 100 km.

\item À l'aide d'une lecture graphique, déterminer : 
	\begin{enumerate}
		\item La durée au bout de laquelle les deux personnes se croisent.
		\item À quelle distance de Petitville se croisent-ils ? Faire apparaître les pointillés nécessaires.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Retrouver le résultat de la question \textbf{6. a.} en résolvant une équation.
		\item Retrouver le résultat de la question \textbf{6. b.} par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}