\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage{scratch3} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}% \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl} \usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl \usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,pgfplots} \usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{colortbl} \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Année 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small L'année 2024} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Polynésie - voie professionnelle} \lfoot{\small 1\up{er} juillet 2024} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet - Polynésie - Voie professionnelle~\decofourright\\[7pt] 1\ier{} juillet 2024 }} \end{center} \textbf{Indication:} Dans tout le sujet, le symbole F représente l'unité franc CFP. \vspace{0.5cm} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 20 points} \smallskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). \\ Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.\\ Pour chaque question, recopier sur la copie, sans justifier, la réponse choisie : Réponse A, Réponse B ou Réponse C.\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline \centering Questions & \multicolumn{3}{ c|}{Réponses proposées}\\ \cline{2-4} & Réponse A & Réponse B & Réponse C\\ \hline \begin{enumerate} \item Pauro possède 50~F{}. Rai a le double de Pauro. Rai dépense 2 fois 15~F{}. \end{enumerate} Combien reste-t-il à Rai? & 70 F & 30 F & 20 F\\ \hline \begin{enumerate}[start=2] \item Voici les notes de Haiata:\newline 8 \quad 18 \quad 14 \quad 16 \quad 12 \quad 16 \end{enumerate} La moyenne des notes de Haita est: & 84 & 14 & 6\\ \hline \begin{enumerate}[start=3] \item Dans une urne, il y a 15 boules : 5 boules bleues, 7 boules vertes et 3 boules rouges. Léo tire une boule au hasard. \end{enumerate} La probabilité de tirer une boule rouge est: & $\dfrac{5}{15}$ & $\dfrac{3}{15}$ & $\dfrac{12}{15}$\\ \hline \begin{enumerate}[start=4] \item Un pavé droit a une longueur $L$ de 12 m, une largeur $\ell$ de 6 m et une hauteur $h$ de $2,2$0 m. \scalebox{0.8}{ \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.2cm,radius=0pt,arrowsize=3pt 2} \def\xmin {-1} \def\xmax {9} \def\ymin {-2} \def\ymax {10} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \Cnode*(0,0){A} \Cnode*(2,2){D}\Cnode*(6,0){B} \Cnode*(8,2){C} \Cnode*(6,6){F} \Cnode*(8,8){G} \Cnode*(0,6){E} \Cnode*(2,8){H} \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](A)(B)(C)(G)(H)(E) \psline(G)(C)(B)(A)(E)(F)(G)(H)(E) \psline(B)(F) {\psset{linestyle=dashed} \psline(A)(D)(C) \psline(D)(H)} \psline{<->}(0,-1)(6,-1)\uput[d](3,-1){$L$} \psline{<->}(-0.3,0)(-0.3,6) \uput[l](-0.3,3){$h$} \psline{<->}(7,0)(9,2) \uput[dr](8,1){$\ell$} \end{pspicture} }% fin du scalebox \end{enumerate} Le volume du pavé droit est de: & $20,2$ m$^3$ & $132$ m$^3$ & $158,4$ m$^3$\\ \hline %\begin{minipage}[t][2cm][t]{6cm} %\vspace{0pt} \begin{enumerate}[start=5] \item Soit la fonction $f$ définie par:\newline $f(x)=-2x+10$ \end{enumerate} La représentation graphique de $f$ est:\newline %\end{minipage} & \parbox{3cm}{ \psset{unit=0.15cm,radius=0pt,arrowsize=3pt 3} \def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-9} \def\ymax {12} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[unit=0.75cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-0pt 0pt, Dx=5, Dy=5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){\footnotesize 0} \psplot{\xmin}{\xmax}{-2 x mul 10 add} \end{pspicture*} } & \parbox{3cm}{ \psset{unit=0.1cm,radius=0pt,arrowsize=3pt 3} \def\xmin{-12} \def\xmax{12} \def\ymin{-18} \def\ymax {18} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-0pt 0pt, Dx=10, Dy=10](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){\footnotesize 0} \psplot{\xmin}{\xmax}{2 x mul 10 sub} \end{pspicture*} } & \parbox{3cm}{ \psset{unit=0.5cm} \def\xmin{-1.5} \def\xmax{3.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax {6.5} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=1](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \uput[dl](0,0){\footnotesize 0} \psplot{\xmin}{\xmax}{x -2 mul 5 add} \end{pspicture*} }\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{\large Exercice 2 \hfill 26 points} \medskip Comme chaque dimanche, Maui se rend au marché de Papeete pour faire quelques achats. \begin{tabular}{@{} l !{\textbullet} l} Il achète& une pièce de « Pua'a roti » à \np{1760} F le morceau,\\ & deux paquets de « Firi-firi » à 500 F le paquet,\\ & deux poissons perroquet à \np{1200} F l'unité,\\ & un paquet de « Taro » à 800 F le Paquet,\\ & un tas de « Fe'i » à 400 F le tas,\\ & une bouteille de « Miti haari » à 500 F la bouteille. \end{tabular} La facture incomplète des achats de Maui au marché de Papeete est réalisée sur un tableur. \begin{enumerate} \item Compléter cette facture en ANNEXE 1. \item Recopier sur la copie la formule à insérer dans la cellule D3, parmi celles proposées ci-dessous: \begin{center} {\ttfamily\Large \begin{tabular}{| p{3cm} | c | p{3cm} | c | p{3cm} |} \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-5} = 1 * 500 & & = B3 * C3 & & = B3 + C3\\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-5} \end{tabular} } \end{center} \end{enumerate} On admet que le montant total de la facture s'élève à \np{6860} F{}.\\ Une remise de 15\,\% est accordée à Maui. \begin{enumerate}[resume] \item Calculer le montant de cette remise. Exprimer le résultat en F{}. \item Calculer le prix payé par Maui. Exprimer le résultat en F{}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 3 \hfill 20 points} \medskip Sur un arbre, la plateforme de départ d'une tyrolienne (point K) est située à 8 m de hauteur. La plateforme d'arrivée de la tyrolienne (point L) est située à un niveau plus bas, accrochée à un second arbre. Les deux arbres supportant les plateformes sont perpendiculaires au sol et situés à 40 m l'un de l'autre. Une tyrolienne va de la plateforme K et à la plateforme L sur une distance totale de $40,3$ m. \begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.6cm,radius=2pt,arrowsize=3pt 3} \def\xmin{-2} \def\xmax{15} \def\ymin{-2} \def\ymax {8} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=gray, subgridcolor=lightgray] \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!20](0,0)(-1,8) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!20](14,0)(13,8) \psline[linewidth=1.2pt](-3,0)(16,0) \psline[linewidth=1.2pt](0,7)(13,5)% \uput[u](6.5,6){$\cdots$ m} \psline{<->}(0,1)(13,1) \uput[u](6.5,1){40 m} \uput[d](6.5,0){SOL} \psline[linestyle=dashed](0,5)(14,5) \uput[d](13,0){S} \uput[ur](0,7){K} \uput[dr](0,5){O} \uput[ul](13,5){L} \uput[d](11,-1){\emph{\textbf{Le schéma n'est pas à l'échelle}}} \uput[r](1,7.5){Départ} \uput[l](13,4){Arrivée} \psframe(0,0)(0.3,0.4) \psframe(13,0)(12.7,0.4) \psframe(0,5)(0.3,5.4) %\psline{<->}(-1.5,0)(-1.5,7) \uput[l](-1.5,3.5){$\cdots$ m} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Compléter le schéma de l'ANNEXE 1 avec les données ci-dessus. \item Calculer la hauteur KO dans le triangle KOL rectangle en O.\\ Arrondir le résultat au dixième. \end{enumerate} On admet que KO = $4,9$ m. \begin{enumerate}[resume] \item Calculer à quelle hauteur LS se trouve la plateforme d'arrivée. \end{enumerate} Pour des raisons de sécurité, la pente d'une tyrolienne ne doit pas dépasser 8\,\%. Le calcul de cette pente pour la tyrolienne représentée sur le schéma ci-dessus se fait à l'aide de la formule: \[\dfrac{\text{KO}}{\text{OL}}\times 100\] \hfill{} avec $\text{KO}=4,9$ m et $\text{OL}=40$ m\hfill~ \begin{enumerate}[resume] \item Calculer la pente de la tyrolienne. \item Indiquer si les normes de sécurité sont respectées pour l'utilisation de la tyrolienne.\\ Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 4 \hfill 16 points} \medskip Maeva, étudiante de 20 ans, réside à Papeete. Elle souhaite faire un aller-retour dans la journée à Moorea en empruntant un catamaran assurant la liaison entre les deux îles. Sur l'île, elle circulera avec son vélo. Voici un extrait de la brochure des tarifs du catamaran : \begin{center} \begin{tabular}{|l| r | r|} \hline Billet & Aller simple & Aller-retour \\ \hline \multicolumn{3}{| l |}{\cellcolor{lightgray!30} Personne}\\ \hline Adulte & \np{1160}~F~~ & \np{2250}~F~~\\ \hline Enfant (2 à 12 ans) / Étudiant (-- 26 ans) & \np{605}~F~~ & \np{1180}~F~~\\ \hline Senior (plus de 60 ans) & \np{950}~F~~ & \np{1870}~F~~\\ \hline \multicolumn{3}{| l |}{\cellcolor{lightgray!30} 2 Roues}\\ \hline Moto & \np{1000}~F~~ & \np{1980}~F~~\\ \hline Vélo & \np{250}~F~~ & \np{480}~F~~\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer le coût du voyage aller-retour pour Maeva et son vélo.\\ Exprimer le résultat en F{}. \end{enumerate} Finalement, pour moins de fatigue, Maeva décide de louer un vélo électrique sur place à Moorea. La location du vélo électrique seul sur place coûte \np{4500}~F par jour. \begin{enumerate}[resume] \item Vérifier que le billet aller-retour pour Moorea et la location du vélo électrique pour la journée coûteront \np{5680}~F à Maeva. \end{enumerate} Maeva trouve alors une publicité pour des vélos électriques. Voici le détail des tarifs: \begin{center} \fbox{\parbox{0.85\linewidth}{ Le tarif du package pour une personne inclut le trajet aller-retour maritime Papeete/Moorea et la location du vélo électrique.\\ \textbf{Tarif du package 1 journée, 8 heures:}\\ Adulte: \np{5500}~F \qquad Enfant de 12/16 ans: \np{5200}~F\\ \textbf{Tarif du package 1/2 journée, 3 heures:}\\ Adulte: \np{4800}~F \qquad Enfant de 12/16 ans: \np{4500}~F }} \end{center} \begin{enumerate}[resume] \item Indiquer le coût pour Maeva si elle choisit un package 1 journée. \item Indiquer la solution la moins chère pour Maeva (prendre un billet aller-retour et louer un vélo électrique à Moorea ou bien prendre un package 1 journée).\\ Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 5 \hfill 18 points} \medskip Un circuit autour de l'île de Moorea pour admirer les fonds marins est proposé à bord d'un catamaran à coque vitrée. Le circuit du bateau est dessiné en pointillés ci-dessous: \begin{center} \psset{unit=1cm,radius=0pt,arrowsize=3pt 3} \def\xmin{-1} \def\xmax{10} \def\ymin{-1} \def\ymax {10} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-1,-1)(10,9) \Cnode*[radius=2pt](4,8){A} \Cnode*[radius=2pt](4,2){B} \Cnode*(0,2){C} \Cnode*(0,0){D} \Cnode*(8,0){E} \Cnode*[radius=3pt](8,8){F} \psline[linestyle=dashed](A)(B)(C)(D)(E)(F)(A) \Cnode*[radius=3pt](6,8){G} \Cnode*[radius=3pt](8,6){H} \psline[linewidth=1.3pt](G)(F)(H) \uput[ul](A){A} \uput[dr](B){B} \psline[linewidth=3pt,arrowinset=0]{->}(5,9.25)(7,9.25) \uput[u](6,9.45){Sens du circuit} \uput[r](8,7){\textbf{20 pas}} \uput[d](7,8){\textbf{20 pas}} \uput[ur](6,8){départ} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer la longueur AB exprimée en nombre de pas.\\ Expliquer la méthode utilisée. \item Compléter le programme Scratch de l'ANNEXE 2 permettant au bateau d'effectuer un tour de circuit en partant du point \og départ \fg{}. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 - à rendre avec la copie} \end{center} \textbf{Exercice 2: question 1} \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{tabular}{|*5{c|}} \hline & A & B & C & D\\ \hline 1 & \textbf{Aliment} & \textbf{Quantité} & \textbf{Prix unitaire en F} & \textbf{Prix en F}\\ \hline 2 & Pièce de Pua'a roti & 1 & $\cdots$ & $\cdots$ \\ \hline 3 & Paquet de Fri fri & $\cdots$ & 500 & $\cdots$ \\ \hline 4 & Poisson perroquet & $\cdots$ & \np{1200} & $\cdots$ \\ \hline 5 & Paquet de Taro & $\cdots$ & \np{800} & $\cdots$ \\ \hline 6 & Tas de Fe'i & 1 & $\cdots$ & $\cdots$ \\ \hline 7 & Bouteille de \og Miti haari \fg{} & 1 & $\cdots$ & $\cdots$ \\ \hline 8 & \multicolumn{2}{c|}{~~} & \textbf{PRIX TOTAL en F} & $\cdots$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 3: question 1} \begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.6cm,radius=2pt,arrowsize=3pt 3} \def\xmin{-3} \def\xmax{16} \def\ymin{-2} \def\ymax {9} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) %\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=gray, subgridcolor=lightgray] \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!20](0,0)(-1,8) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!20](14,0)(13,8) \psline[linewidth=1.2pt](-3,0)(16,0) \psline[linewidth=1.2pt](0,7)(13,5) \uput[u](6.5,6){$\cdots$ m} \psline{<->}(0,1)(13,1) \uput[u](6.5,1){40 m} \uput[d](6.5,0){SOL} \psline[linestyle=dashed](0,5)(14,5) \uput[d](13,0){S} \uput[ur](0,7){K} \uput[dr](0,5){O} \uput[ul](13,5){L} \uput[d](11,-1){\emph{\textbf{Le schéma n'est pas à l'échelle}}} \uput[r](1,7.5){Départ} \uput[l](13,4){Arrivée} \psframe(0,0)(0.3,0.4) \psframe(13,0)(12.7,0.4) \psframe(0,5)(0.3,5.4) \psline{<->}(-1.5,0)(-1.5,7) \uput[l](-1.5,3.5){$\cdots$ m} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 2 - à rendre avec la copie} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 5: question 2} \begin{center} \begin{scratch} \blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas} \blockmove{tourner de \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de \ovalnum{80} pas} \blockmove{tourner de \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de \ovalnum{...} pas} \blockmove{tourner de \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas} \blockmove{tourner de \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas} \blockmove{tourner de \turnleft{} de \ovalnum{...} degrés} \blockmove{avancer de \ovalnum{...} pas} \blockmove{tourner de \turnright{} de \ovalnum{90} degrés} \blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas} \end{scratch} \end{center} \end{document}