% préambule APMEP - Annales %%% Auteurs % tapuscrit : Denis Vergès % relecture : % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : %%% \documentclass[11pt,a4paper,french]{article} %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \fi \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %%% chargement des packages utiles \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} %\usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage[pstricks]{tablvar} \usepackage{esvect} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyvrb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{scratch3} %%% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %%% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} %%% Définitions ou redéfinitions \newcommand{\euro}{\eurologo{}} % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} % \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%% Redéfinitions \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \providecommand{\up}{\textsuperscript} %%% Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} %%% Formatage du pdf \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{hyperref} \else \usepackage[dvips]{hyperref} \fi \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Diplôme national du brevet}, pdftitle = {Brevet -- sujet}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % packages ajoutés \begin{document} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\headheight}{14pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Diplôme national du brevet} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{30 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet~\decofourright\\[7pt] Série professionnelle\\[7pt]Métropole 30 juin 2026}} \end{center} \vspace{10mm} \begin{center} \begin{tabular}{|p{0.60\textwidth}|p{0.25\textwidth}|}\hline \textbf{Partie 1 – Automatismes} \newline 20 min (calculatrice interdite) & \textbf{6 points} \\ \hline \textbf{Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes} \newline 1 h 40 (calculatrice autorisée) & \textbf{14 points} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{10mm} \begin{center} \textbf{À l'issue de la partie 1, les copies sont ramassées.} \end{center} \vspace{5mm} L'usage de la calculatrice avec mode examen actif ou sans mémoire \og type collège \fg est \textbf{interdit} pour la partie 1 et \textbf{autorisé} pour la partie 2. L'utilisation du dictionnaire est interdite. \vspace{10mm} \begin{center} \textbf{\large Partie 1 -- Automatismes -- 6 points -- 20 minutes} \end{center} Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante. Pour cette partie, aucune justification n’est demandée. Pour les questions à choix multiples, une seule réponse est exacte. \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante}.\\ \textbf{Pour cette partie, aucune justification n’est demandée. Pour les questions à choix multiples, une seule réponse est exacte.}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 1} Recopier les quatre nombres de la liste suivante qui divisent 15. \[1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 7 \quad 10 \quad 12 \quad 15\] \medskip \textbf{Question 2} Recopier le calcul qui permet de déterminer le périmètre d’un carré de côté 3 cm. \[3 \times 3\qquad 4 + 4 + 4 \qquad 3 + 3 + 3 + 3\qquad 3 \times 2 \] \medskip \begin{minipage}{0.8\linewidth}\textbf{Question 3} Donner le nom du solide représenté ci-contre. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.2\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.4,- 1)(1.4,3) \psellipticarc(0,0)(1.3,0.45){180}{360} \psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.3,0.45){0}{180} \psline(-1.28,0)(0,2.4)(1.28,0) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0) \psline[linestyle=dashed](0,-1)(0,3) \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \textbf{Question 4} Écrire la fraction $\dfrac25$ sous forme de pourcentage. \medskip \textbf{Question 5} Exprimer $72$ minutes en heure et minute. \medskip \textbf{Question 6 } Parmi les quatre représentations graphiques ci-dessous, choisir celle qui représente une situation de proportionnalité. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{XX} \textbf{Situation 1}&\textbf{Situation 2}\\ \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.5,-3)(3.5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-3)(3.5,3) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{3.5}{x 2 mul neg} \end{pspicture*}& \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.5,-3)(3.5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-3)(3.5,3) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{3.5}{1 x 2 mul sub} \end{pspicture*}\\ \textbf{Situation 3}&\textbf{Situation 4}\\ \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.5,-3)(3.5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-3)(3.5,3) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{3.5}{x 2 mul 3 div 1 sub } \end{pspicture*}& \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-3.5,-3)(3.5,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.5,-3)(3.5,3) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-3.5,2)(3.5,2) %\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{3.5}{ 2 } \end{pspicture*}\\ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 7} Déterminer la médiane de la série de nombres : 19\quad 15\quad 8\quad 22\quad 12 \medskip \textbf{Question 8} Déterminer la solution de l’équation : $2x + 3 = 15$ \medskip \textbf{Question 9} Le vélo part de la case de coordonnées A7. La flèche située sous le vélo indique le sens de déplacement initial. On applique le programme de déplacement ci-dessous. \newpage $\bullet~$Avancer de 5 cases $\bullet~$Répéter 2 fois \hspace{2cm} \begin{tabular}{|l} Tourner de $90\degres$ vers la gauche \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3,arrowlength=1.4,arrowinset=0.3}\psline[linewidth=3pt]{->}(0,0)(.6,0)(0.6,0.7)\\ Avancer de 2 cases \end{tabular} \medskip Indiquer les coordonnées de la case d’arrivée. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I&J\\ \hline 1&&&&&&&&&&\\ \hline 2&&&&&&&&&&\\ \hline 3&&&&&&&&&&\\ \hline 4&&&&&&&&&&\\ \hline 5&&&&&&&&&&\\ \hline 6&&&&&&&&&&\\ \hline 7&$\underset{\to}{\footnotesize\text{vélo}}$&&&&&&&&&\\ \hline 8&&&&&&&&&&\\ \hline 9&&&&&&&&&&\\ \hline 10&&&&&&&&&&\\ \hline 11&&&&&&&&&&\\ \hline 12&&&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \begin{center} \textbf{Restitution de la copie à l’issue de la partie 1} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Partie 2 - Raisonnement et résolution de problèmes - 14 points - 1 h 40} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.}\\ \textbf{La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.}\ \textbf{Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en compte dans la notation.}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 2 points} \medskip Dans un parc zoologique, les animaux sont répartis par secteurs. Le parc compte \np{1500} animaux au total. Le soigneur animalier doit recenser le nombre d’animaux présents dans chaque secteur. Les résultats sont donnés dans le diagramme circulaire ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) %\psgrid \pscircle(0,0){4} \psline(4;-6.48)\psline(4;90)\psline(4;162)\psline(4;293.04)\psline(4;-43.92) \rput(3.5;-56){96}\rput(3.5;227.52){546}\rput(3.5;126){300}\rput(3.5;48.24){402} \rput(2.4;-56){\og Aquatiques \fg} \rput(2.4;227.52){\og Oiseaux \fg} \rput(2.4;126){\og Reptiles \fg} \rput(2.4;48.24){\og Herbivores \fg} \rput(2.4;-25){\og Fauves \fg} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Indiquer le nombre d’animaux présents dans le « Secteur Herbivores ». \item Le parc zoologique compte \np{1500} animaux au total. Calculer le nombre d’animaux du « Secteur Fauves ». \item Montrer que le pourcentage d’animaux du « Secteur Oiseaux », par rapport au nombre total des animaux du parc, est 36,4\,\%. \item Les soigneurs des « Secteurs Oiseaux » et « Secteurs Reptiles », affirment que leurs deux secteurs réunis représentent plus de la moitié de la totalité des animaux présents dans le parc. \textbf{Indiquer si cette affirmation est vraie. Justifier la réponse.} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip Le zoo dispose d’un bassin cylindrique dont la hauteur est 2,8 m et le rayon 7~m. Le schéma ci-dessous représente ce bassin. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(13,6.5) %\psgrid \psellipse(4.5,5.8)(4.5,0.4) \psellipticarc(4.5,4.8)(4.5,0.4){180}{360} \psellipticarc(4.5,1)(4.5,0.4){180}{360} \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4.5,5.8)(9,5.8) \uput[u](6.75,5.8){$R = 7$~m} \rput(6.5,0.1){Le schéma n’est pas à l’échelle} \psline(0,1)(0,5.7)\psline(9,1)(9,5.7) \psline[linewidth=0.4pt](9,5.8)(11.5,5.8) \psline[linewidth=0.4pt](9,4.8)(11.5,4.8) \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(10,5.8)(10,4.8)\uput[r](10,5.3){0,2 m} \psline[linewidth=0.4pt](9,1.)(11.5,1.) \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(10,4.8)(10,1)\uput[r](10,3.15){Hauteur d'eau $h$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la hauteur d’eau dans le bassin est $2,6$~m. \item Calculer, en mètre cube (m$^3$), le volume d’eau contenu dans le bassin. Arrondir le résultat à l’unité. On rappelle que le volume d’un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ est : \[V = \pi \times R^2 \times h .\] \item On considère que le volume d’eau total du bassin est égal à $400$~m$^3$. Tous les 6 mois, le soigneur doit renouveler un cinquième de l’eau. Montrer que le soigneur doit retirer $80$~m$^3$ d’eau. \item Après avoir retiré $80$~m$^3$ d’eau et afin de remplir à nouveau le bassin, le soigneur utilise une alimentation en eau dont le débit est 4 m$^3$ par heure. On note $x$ le temps exprimé en heure (h). On nomme $f$ la fonction qui à $x$ associe le volume d’eau, en mètre cube (m$^3$), versé dans le bassin. La représentation graphique de cette fonction est donnée en ANNEXE 1. Parmi les trois expressions suivantes, recopier sur la copie celle qui correspond à la fonction représentée en ANNEXE 1: \[f(x) = 4x \qquad f(x) = 4x + 80 \qquad f(x) = 80x + 4\] \item Le soigneur ouvre l'alimentation en eau, le soir et la laisse fonctionner pendant 12 h. À l’aide de l’ANNEXE 1, déterminer graphiquement si le volume d’eau aura retrouvé sa valeur initiale égale à 400 m$^3$. On laissera apparent les traits utiles à la lecture. \textbf{Justifier la réponse}. \item Le volume total du bassin est $432$~m$^3$. On considère que le volume d’eau de départ est $320$~m$^3$ quand le soigneur démarre l’alimentation en eau. Calculer au bout de combien d’heures le bassin débordera. \textbf{Justifier la réponse}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \medskip La clôture de l’enclos des petits animaux de la ferme pédagogique doit être changée. Cet enclos a la forme dessinée en gras ci-dessous : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item A appartient au segment [LP] et N appartient au segment [LI], \item les droites (NA) et (IP) sont parallèles. \end{itemize} Les dimensions connues, en mètres, sont : \begin{minipage}{0.35\linewidth} LP = 60 m LA = 40 m IP = 46 m IN = 23 m (Le schéma n’est pas à l’échelle) \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.65\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8.5,8.8) %\psgrid \psline[linestyle=dashed](0.2,2)(7.7,7.7)(5.7,0.6)%ILP \psline(0.2,2)(5.7,0.6)%IP \psline[linewidth=2pt](5.7,0.6)(0.2,2)(2.8,4)(6.4,3)%PINA \psarc[linewidth=2pt](6.05,1.8){1.25}{-106}{74} \uput[ul](0.2,2){I} \uput[ul](2.8,4){N} \uput[dr](7.7,7.7){L} \uput[ur](6.4,3){A} \uput[d](5.7,0.6){P} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Justifier que la longueur AP est égale à 20 m. \item Déterminer, en mètre (m), le périmètre du demi-cercle de diamètre [AP]. Arrondir à l’unité. On rappelle la formule du périmètre d’un cercle de rayon $R$, de diamètre $D$. \[P = 2\pi R = \pi \times D\] \item Parmi les propositions suivantes, recopier sur la copie celle qui est exacte. Le quadrilatère APIN est : \begin{center} un losange\qquad un parallélogramme\qquad un trapèze\end{center} \item En utilisant le théorème de Thalès, calculer, en mètre, la longueur NA. Arrondir à l’unité. \item Vérifier par un calcul que la longueur totale, en mètre, arrondie à l’unité, de grillage nécessaire pour entourer l’enclos des petits animaux est $131$~m. \item Le grillage est vendu en rouleaux de $12$ mètres. Justifier qu’il est nécessaire d’acheter $11$ rouleaux pour entourer l’enclos. \item Le parc zoologique dispose d’un budget de $700$~\euro{} pour l’achat du grillage. Chaque rouleau coûte 54~\euro. Préciser si ce budget sera suffisant. \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 4 \hfill 2 points} \medskip Dans la volière du « Secteur Oiseaux », le parc possède : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item 12 aras, \item 15 perruches, \item 5 cacatoès, \item 8 ibis. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Indiquer le nombre total d’oiseaux présents dans la volière. \item Le vétérinaire doit vacciner les oiseaux. Il prélève un oiseau au hasard dans la volière. Calculer la probabilité que l’oiseau prélevé soit un ara. On donnera le résultat sous forme décimale. \item Le parc reçoit cinq cacatoès supplémentaires. Montrer que la probabilité que l’oiseau prélevé soit un cacatoès est égale à $\dfrac29$. \textbf{Justifier la réponse}. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 - À rendre avec la copie} \medskip \emph{Cette feuille doit être détachée du sujet et placée à l’intérieur de la copie. Ne pas inscrire de signe distinctif sur l’annexe (nom, établissement, signature...)} \end{center} \medskip \textbf{EXERCICE 2} \bigskip \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-2,-6)(25,100) \multido{\n=0+2}{13}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,100)} \multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(25,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(25,100) \uput[u](22.2,0){Temps(en h)}\uput[r](0,98){Volume d'eau versé dans le bassin (en m$^3$)} \uput[dl](0,0){O} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{4 x mul} \end{pspicture*} \end{center} \end{document}