\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage{scratch3} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-eucl} \usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl \usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,pgfplots} \usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{colortbl} \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet}, pdftitle = {Année 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small L'année 2024} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Polynésie - voie professionnelle} \lfoot{\small 9 septembre 2024} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet - Polynésie - Voie professionnelle~\decofourright\\[7pt] 9 septembre 2024 }} \end{center} \textbf{Information:} Dans tout le sujet, le symbole F représente l'unité franc CFP{}. \bigskip \textbf{\large Exercice 1 \hfill 18 points} \smallskip Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Pour chaque question, \textbf{recopier} sur la copie, sans justifier, la réponse choisie: Réponse A, Réponse B ou Réponse C. \begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \begin{tabular}{|m{5.3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}m{2.5cm}|}} \hline \multicolumn{1}{|c|}{Questions}&\multicolumn{3}{|c|}{Réponses proposées}\\ \cline{2-4} &Réponse A&Réponse B&Réponse C\\ \hline \textbf{1.} Soit la fonction $f$ définie par: \[f(x) = -3x - 4\] La représentation graphique de $f$ est: & \psset{unit=0.4cm} \begin{pspicture*}(-2.5,-6)(4,8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-5.9)(4,8) \multido{\n=-2+2}{4}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=gray](\n,-6)(\n,8)} \multido{\n=-6+2}{7}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=gray](-2,\n)(4,\n)} \psplot[plotpoints=500,linecolor=blue]{-1}{4}{4 3 x mul sub} \end{pspicture*} & \psset{unit=0.4cm}\begin{pspicture*}(-2.5,-6)(4,8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-5.9)(4,8) \multido{\n=-2+2}{4}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=gray](\n,-6)(\n,8)} \multido{\n=-6+2}{7}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=gray](-2,\n)(4,\n)} \psplot[plotpoints=500,linecolor=blue]{-1}{4}{3 x mul 4 sub} \end{pspicture*} & \psset{unit=0.4cm}\begin{pspicture*}(-4.5,-6)(2,8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4.5,-5.9)(2,8) \multido{\n=-4+2}{4}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=gray](\n,-6)(\n,8)} \multido{\n=-6+2}{7}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=gray](-4,\n)(2,\n)} \psplot[plotpoints=500,linecolor=blue]{-4}{2}{4 3 x mul add neg} \end{pspicture*}\\ \hline \textbf{2.} On considère la fonction $f$\newline définie par : $f(x) = 3x + 4$ L'image de 1 par $f$ est :&12&4&7\\ \hline \textbf{3.} Il y a 13 cartes trèfles dans un jeu de 52 cartes. La probabilité de tirer un trèfle est :&$\dfrac14$&$\dfrac{1}{52}$&$\dfrac{1}{13}$\\ \hline \textbf{4.} Une réduction de $20\,\%$ est\newline accordée sur un article de sport de \np{3000}~F. Le montant de cette réduction est de : &600 F&60 F&\np{3020} F\\ \hline \textbf{5.} On considère l'équation $2x + 6 = 0$. La solution de cette équation est :&$-3$& 0 &3\\ \hline \textbf{6.} Il y a $71$~km entre Papeete et Teahupo'o. Le bus met deux heures pour effectuer ce trajet. La vitesse moyenne du bus en km/h est de:&142 km/h&71 km/h&35,5 km/h\\ \hline \end{tabular} \end{center} \bigskip \textbf{\large Exercice 2 \hfill 20 points} \smallskip Pour sa préparation physique sur une plage, une athlète effectue, en courant, un circuit dont le plan est représenté par la figure ci-dessous. \begin{center} \begin{tabular}{|m{7.6cm}|m{5.7cm}|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{Figure} & \multicolumn{1}{c|}{Informations et données}\\ \hline \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(0,-0.5)(7.5,4) \psline[ArrowInside=->,linewidth=1.25pt](0.3,0.2)(2.5,0.2)(2.5,3)(6.9,3)(0.3,0.2)%DEBCD \uput[ul](2.5,1.1){A} \uput[ul](2.5,3){B} \uput[r](6.9,3){C} \uput[dl](0.3,0.2){D} \uput[dr](2.5,0.2){E} \end{pspicture}&Le départ se fait en E. \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Les droites (DC) et (BE)\newline se coupent en A. \item Les droites (BC) et (DE) sont\newline parallèles. \item ABC est un triangle rectangle\newline en B. \end{itemize} AE $= 6$ m ; AB $= 10$ m ; BC $= 24$ m et\newline AD $=15,6$ m.\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item À l'aide du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ABC, calculer AC. \textbf{Exprimer} le résultat en m. \item Voici deux propositions de méthodes permettant de calculer DE. Une seule méthode est correcte. \textbf{Indiquer} sur la copie le numéro de cette méthode. Justifier la réponse. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Méthode \no 1}} &\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Méthode \no 2}} \\ \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Les droites (DC) et (BE) se coupent en A. \item (BC) // (DE) \end{itemize} On a $\dfrac{\text{AE}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{BC}}$\rule[-10pt]{0pt}{0pt}, donc $\dfrac{6}{10} = \dfrac{\text{DE}}{24}$\rule[-10pt]{0pt}{0pt} et DE $ = \dfrac{6 \times 24}{10} = 14,4$~m\rule[-10pt]{0pt}{0pt} & \vspace{0.4cm} ADE est un triangle rectangle en E. D'après le théorème de Pythagore, on a : DE$^2 = \text{AD}^2 + \text{AE}^2$ DE$^2 = 15,6^2 + 6^2$ DE$^2 = 243,36 + 36$ DE$^2 = 279,36$ Donc DE $=\displaystyle \sqrt{279,36} \approx 16,7$~m\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item \textbf{Calculer} la longueur du parcours EBCDE. \textbf{Exprimer} le résultat en m. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 3 \hfill 18 points} \smallskip Lors d'une compétition de surf, quand une compétitrice surfe une vague, cinq juges attribuent une note entre 0 et 10. \begin{center} \fbox{\parbox{0.8\linewidth}{ \begin{list}{$\bullet$}{Détermination du score pour chaque vague:} \item La plus grande note et la plus petite note sont éliminées. \item Le score de la vague surfée est la moyenne des trois notes restantes arrondie au dixième. \end{list}}} \end{center} Lors de la compétition Tahiti Pro à Teahupo'o, une surfeuse a obtenu les scores suivants en finale pour la 4\up{e} vague surfée : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline Numéro du juge&Notes sur 10\\ \hline 1 &6,7\\ \hline 2 &5,4\\ \hline 3 &7,5\\ \hline 4 &8,2\\ \hline 5 &7,7\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Expliquer, à l'aide d'un calcul, pourquoi le score obtenu par cette surfeuse est 7,3 pour la 4\up{e} vague. \item Pour la suite de la compétition, les juges calculent les scores des compétitrices pour toutes les vagues surfées. Deux surfeuses ont obtenu les scores suivants en finale à la compétition de Teahupo'o : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Épreuve &Vague \no 1& Vague \no 2 &Vague \no 3&Vague \no 4&Vague \no 5\\ \hline Score de la\newline surfeuse 1 &6,8 & 8,5 &8,8 & 6,7 & 7,4\\ \hline Score de la\newline surfeuse 2 & 1,9 & 4,8 & 0,2 & 7,3 & 7,3\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Détermination du résultat de fin de session par surfeuse :} \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Le résultat d'une surfeuse est la somme des deux meilleurs scores. \item Le plus grand résultat désigne la gagnante. \end{itemize} \begin{enumerate} \item \textbf{Calculer} le résultat de la surfeuse 1. \textbf{Écrire} le calcul sur la copie. \item La surfeuse 2 a obtenu le résultat de $14,6$. \textbf{Indiquer} qui de la surfeuse 1 ou de la surfeuse 2 a remporté la finale. \textbf{Justifier} la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 4 \hfill 26 points} \smallskip Mathis pratique le surf à Teahupo'o. Il pèse $70$~kg et est de niveau intermédiaire. Son surfboard a les dimensions suivantes : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Longueur : 5 pieds et 11 pouces \item Largeur : 19 pouces \item Épaisseur : 2,6 pouces $ = 6,5$ cm \end{itemize} \medskip À l'aide des données et de l'exemple de calcul suivants: \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|m{1cm}|X|} \cline{1-1}\cline{3-3} &&\\ \begin{list}{\textbullet}{Données:} \item 1 pied $= 30,5$ cm \item 1 pouce $= 2,5$ cm \end{list} && \begin{list}{\quad}{Exemple de calcul:} \item 3 pieds et 5 pouces \item $3 \times 30,5 + 5 \times 2,5$ \item $= 104$ cm \end{list}\\ \cline{1-1}\cline{3-3} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item \textbf{Calculer} la largeur du surfboard. \textbf{Détailler} le calcul. \textbf{Exprimer} le résultat en cm. \item \textbf{Calculer} la longueur du surfboard. \textbf{Détailler} les calculs. \textbf{Exprimer} le résultat en cm. Le volume du surfboard de Mathis, en cm$^3$, en fonction de l'épaisseur, en cm, est donné par: \begin{center}Volume $= \np{4523} \times$ épaisseur.\end{center} \item \textbf{Calculer} le volume de ce surfboard. \textbf{Détailler} le calcul. \textbf{Exprimer} le résultat en cm$^3$. \item \textbf{Exprimer} ce volume en litres, arrondi au dixième (donnée : 1L $= \np{1000}~$cm$^3$). Le volume d'un surfboard détermine la flottabilité. Le choix d'une planche adaptée est essentiel pour obtenir de bons résultats. Le choix du volume d'un surfboard est lié à la masse et au niveau du surfeur. \textbf{Données :} Volume (en L) d'un surfboard, suivant la masse du surfeur et de son niveau (Confirmé, Intermédiaire et Débutant). \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Masse en kg&\textbf{Confirmé} &\textbf{Intermédiaire} &\textbf{Débutant}\\ &Volume en L&Volume en L&Volume en L\\ \hline 55&19,80&23,65&37,95\\ \hline 60& 21,00&25,20&40,80\\ \hline 65&22,75&27,30&44,20\\ \hline 70&24,50&29,40&47,60\\ \hline 75&26,25&31,50&51,00\\ \hline 80&28,00&33,60&54,40\\ \hline 85&29,75&35,70&57,80\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Le volume du surfboard de Mathis est de $29,40$ L. \item Indiquer si ce surfboard est adapté pour Mathis. \textbf{Justifier} la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 5 \hfill 18 points} \smallskip \begin{minipage}{.65\linewidth} Mathis veut personnaliser son surfboard avec un motif géométrique. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Indiquer}, sur la copie, la valeur qu'il faut mettre sur les pointillés du programme ci-contre pour que la figure soit un triangle équilatéral. \textbf{Justifier} la réponse. Pour former son motif, Mathis hésite entre les trois motifs de triangles suivants : \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{.3\linewidth} \begin{scratch}[scale=0.8] \blockinit{quand \greenflag est cliqué} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{\ldots} fois} { \blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degré} } \end{scratch} \end{minipage} \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline motif 1 &motif 2& motif 3\\ \hline \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.2,0)(2.2,1.9) \def\tri{\pspolygon(1;-30)(1;90)(1;210)} \rput(-1.2,0.8){\tri}\rput(1.2,0.8){\tri} \end{pspicture}& \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.2,0)(2.2,1.9) \def\tri{\pspolygon(1;-30)(1;90)(1;210)} \rput(-0.86,0.8){\tri}\rput(0.86,0.8){\tri} \end{pspicture}& \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2.2,0)(2.2,1.9) \def\tri{\pspolygon(1;-30)(1;90)(1;210)} \rput(-0.3,0.8){\tri}\rput(0.3,0.8){\tri} \end{pspicture}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Il décide de réaliser un programme Scratch pour chaque motif. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Programme 1 : & Programme 2 : & Programme 3 :\\ \begin{scratch}[scale=0.7] \blockinit{quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois} { \blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés} } \blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois} { \blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés} } \end{scratch} & \begin{scratch}[scale=0.7] \blockinit{quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois} { \blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés} } \blockmove{avancer de \ovalnum{40} pas} \blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois} { \blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés} } \end{scratch} & \begin{scratch}[scale=0.7] \blockinit{quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois} { \blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés} } \blockpen{relever le stylo} \blockmove{avancer de \ovalnum{140} pas} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois} { \blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés} } \end{scratch} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item \textbf{Associer} le programme Scratch correspondant à chaque motif. \textbf{Écrire} les réponses sur la copie. \end{enumerate} Mathis a choisi le motif 2, mais il s'aperçoit que le motif n'est pas assez grand pour recouvrir son surfboard. Il décide donc de faire un motif avec cinq triangles au lieu de deux, comme schématisé ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,1.6) \def\tri{\pspolygon[linecolor=blue](1;-30)(1;90)(1;210)} \multido{\n=1+1.732}{5}{\rput(\n,0.5){\tri}} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate}[resume] \item Parmi les trois programmes Scratch suivants, \textbf{indiquer} celui qui correspond au motif de Mathis. \textbf{Écrire} la réponse sur la copie. \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Programme 1 : &Programme 2 :& Programme 3 :\\ \begin{scratch}[scale=0.7] \blockinit{quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{5} fois} {\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois} {\blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degré} \blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} } } \end{scratch}& \begin{scratch}[scale=0.7] \blockinit{quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{5} fois} {\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois} {\blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degré} } \blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} } \end{scratch}& \begin{scratch}[scale=0.7] \blockinit{quand \greenflag est cliqué} \blockpen{effacer tout} \blockpen{stylo en position d'écriture} \blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois} {\blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} \blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degré} } \blockrepeat{répéter \ovalnum{5} fois} {\blockmove{avancer de \ovalnum{100} pas} } \end{scratch}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}