\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage{scratch3} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}% \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{pst-eucl} \usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl \usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pst-slpe,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,pgfplots} \usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{colortbl} %\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Brevet professionnelle}, %pdftitle = {Année 2011}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Brevet - voie professionnelle} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Polynésie} \lfoot{\small juin 2011} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet - Polynésie~\decofourright\\[7pt] Voie professionnelle - juin 2011}} \end{center} \vspace{0.5cm} Cette épreuve comporte trois parties : Partie 1: OBLIGATOIRE 12 points Partie 2 : AU CHOIX (A ou B) 12 points Partie 3 : OBLIGATOIRE 12 points Présentation et rédaction 4 points \medskip Takina, 23 ans, vit sur l'atoll de Apataki dans les Tuamotu nord. Il partage son temps de travail entre trois activités principales: \begin{itemize} \item production de coprah \item petite ferme perlière familiale \item pêche lagonaire \end{itemize} \textbf{PARTIE 1 \hfill 12 points} \medskip \textbf{Trajet en bateau pour se rendre au \og secteur\fg} Pour produire le coprah, il faut commencer par se rendre en bateau au motu familial, au \og secteur \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Takina quitte le village à 06 h 30 et arrive au motu à 08 h 15. Combien de temps le trajet a-t-il duré ? \item Pour ce trajet de 30 km, le moteur consomme 15 L d'essence. Calculer, en L/km, la consommation moyenne du moteur. \item Takina a remarqué qu'en allant moins vite, il pouvait abaisser sa consommation d'essence jusqu'à 0,3 L/km. Calculer, en L, la quantité d'essence qu'il aurait donc économisée en étant moins pressé. \medskip \textbf{Production de coprah} \medskip Pour obtenir le coprah, Takina procède en trois étapes : \begin{enumerate} \item Rassembler les cocos tombés \item Fendre la noix à la hache \item Extraire la pulpe de la noix \end{enumerate} Sur une journée de travail de 8 heures, Takina passe : \begin{itemize} \item la moitié de son temps sur l'étape 1 \item un cinquième $\left(\dfrac15 \right)$ du temps sur l'étape 2 \item le reste de son temps sur l'étape 3 \end{itemize} \item Calculer, en heure, le temps passé par Takina sur chaque étape, au cours d'une journée. \begin{itemize} \item Étape 1 : \item Étape 2 : \item Étape 3 : \end{itemize} \item On propose le tableau suivant: \begin{center} \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \og On dit...... \fg &Écriture fractionnaire &Écriture décimale&Pourcentage\\ \hline La moitié &$\dfrac12$ & &\\ \hline Le cinquième &$\dfrac15$ & &\\ \hline Les trois dixièmes & &0,3&$30\,\%$\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \end{center} \begin{enumerate} \item En utilisant ce tableau, dites quel pourcentage de son temps Takira passe-t-il à extraire la pulpe de la noix. (Entourer la bonne réponse) \item Compléter ce tableau. \end{enumerate} \medskip \textbf{L'eau potable au secteur} \medskip Takinaa installé une citerne en plastique sur le motu. Cette citerne récupère l'eau de pluie qui ruisselle sur le toit du fare. \item La citerne a la forme d'un cylindre de diamètre $D =1,20$ m et de hauteur $h = 1,60$ m. Calculer, en m$^3$, le volume de cette citerne. Arrondir au centième. Rappel: $V_{\text{cylindre}} = \pi \times R^2 \times h$ avec $\pi \approx 3,14$ et $R$ rayon du cylindre. \item Si la citerne est pleine, de combien de litres d'eau potable Takina dispose-t-il ? Rappel: 1m$^3 =\np{1000}$~L \end{enumerate} \bigskip \textbf{PARTIE 2 \hfill 12 points} \medskip Takina travaille également dans la petite ferme perlière familiale. Le local technique, petite construction en bois qui sert notamment d'atelier de greffe, est posé sur un pâté de corail dans le lagon. \begin{center}\textbf{Sujet A : Géométrie}\end{center} \smallskip \begin{minipage}{0.48\linewidth} Le plan de la construction est représenté ci-contre, en vue de dessus: Le local technique est divisé en deux parties rectangulaires: \begin{itemize} \item L'atelier de greffe (8 m $\times$ 4 m) \item Le ponton (6 m $\times$ 3 m) \end{itemize} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5.3,3.6) \rput(2.5,3.5){Plan du local technique} \rput(4.9,3.1){Lagon} \pscurve(0,1)(1,0.3)(2,0.2)(3,0.15)(4,0.25)(4.5,0.5)(4.7,0.8)(4.4,1.2)(4.6,2)(4.8,2.5)(4.6,2.8)(4.2,3)(3,3.1)(2,3.3)(1,3.15)(0,1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,0.8)(4.3,1.9)\rput(2.8,1.35){Atelier de greffe} \psframe(2,1.9)(4.3,2.8)\rput(3.15,2.35){Ponton}\rput(1.2,2.4){Corail} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le périmètre extérieur de l'ensemble de la construction. \item Calculer l'aire de l'ensemble de la construction. \item On souhaite dessiner le local technique à l'échelle 1/100. \begin{enumerate} \item Compléter les phrases suivantes: \og A l'échelle 1/100, toutes les dimensions sont divisées par \ldots \fg \og Une longueur de 1 m sera donc représentée par un segment de \ldots cm \fg. \item Terminer le plan du local à l'échelle 1/100. Vous travaillerez au compas et à la règle. Laisser les traits de construction apparents. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(5.3,3.6) %\psgrid \pscurve(0,1)(1,0.3)(2,0.2)(3,0.15)(4,0.25)(4.5,0.5)(4.7,0.8)(4.4,1.2)(4.6,2)(4.8,2.5)(4.6,2.8)(4.2,3)(3,3.1)(2,3.3)(1,3.15)(0,1) \psline(2.35,0.8)(4.3,0.8)(4.3,1.6)\psframe(4.3,0.8)(4.1,1) \end{pspicture} \end{center} \medskip \emph{Le bilan de la récolte est représenté par les deux tableaux ci-dessous} : \begin{minipage}{0.48\linewidth} \begin{center}Huîtres greffées par Takina\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&Effectif& Fréquen\-ce (\,\%)&Angle (\degres)\\ \hline \footnotesize Qualités A ou B&882&29,4&\\ \hline Qualité C &591&&71\\ \hline Qualité D &769&25,6&\\ \hline Rejets &758&&\\ \hline TOTAL &\np{3000}&100&360\\ \hline \end{tabularx} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \begin{center}Huîtres greffées par Heimiri\end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{~}&Effectif& Fréquen\-ce (\,\%)\\ \hline \footnotesize Qualités A ou B &640 & \\ \hline Qualité C &504 &25,2\\ \hline Qualité D &476 & \\ \hline Rejets & &19\\ \hline TOTAL & &100\\ \hline \end{tabularx} \end{minipage} \medskip \textbf{Réparation du ponton} \medskip Le ponton de la ferme a subi quelques dommages lors du passage d'une dépression tropicale, il y a quelques mois. Takina doit de toute urgence renforcer la structure, car elle risque de s'effondrer. Il s'agit de fixer des renforts en bois sur les poteaux verticaux qui soutiennent le ponton, comme le montre le dessin ci-dessous. %fig Le schéma ci-dessous est une représentation simplifiée du ponton, avec uniquement le premier renfort. 6m %fig \item En utilisant la propriété de Pythagore dans le triangle ABC, calculer la longueur du renfort [BC]. Arrondir le résultat au centième. \item En déduire la longueur totale de bois qui sera nécessaire pour renforcer le ponton. \item Le bois n'est disponible au village qu'en morceaux de 6 m. Combien de morceaux seront nécessaires à Takina pour effectuer les travaux? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Sujet B : Statistiques} \medskip Pour espérer récolter des perles, Takina doit d'abord greffer ses huîtres, puis les laisser dans l'eau un an et demi environ. Lors de la récolte, les perles obtenues sont triées par qualités: \begin{itemize} \item Qualité A : Très belles perles, très peu de défauts. \item Qualité B : Belles perles, quelques défauts. \item Qualité C : Perles moyennes, plusieurs défauts. \item Qualité D : Perles de mauvaise qualité, invendables. \end{itemize} Parfois, l'huître ne contient pas de perle (on parle alors de \og rejet \fg). Lors de la dernière campagne, \np{5000} huîtres ont été greffées. Takina en a personnellement greffées \np{3000}, et c'est sa sœur, Heimiri, qui a greffé le reste. %%%%%%%% \medskip \begin{minipage}{0.68\linewidth} \begin{enumerate} \item Compléter les colonnes \og effectif\fg{} et \og fréquence\fg{} des deux tableaux. Arrondir au dixième. \item On veut construire un diagramme circulaire représentant le bilan de Takina. Compléter la colonne \og angle \fg du tableau. Arrondir à l'unité. Finir la construction du diagramme circulaire ci-contre: \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{0.3\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(-2,2) \pscircle(0,0){2} \psline(2;0)\psline(2;71)\rput(1.2;35.5){Qualité C} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate}[start=3] \item Parmi les huîtres greffées par Takina : \begin{itemize} \item Combien de perles de qualités A ou B ont été récoltées ? \item Combien de perles sont vendables ? \item Quel est le pourcentage de perles vendables ? \end{itemize} \item Parmi les huîtres greffées par Heimiri : \begin{itemize} \item Quel est le pourcentage de rejets? \item Quel est le pourcentage de perles vendables? \end{itemize} \item On souhaite comparer l'efficacité des deux greffeurs: Entre Takina et Heimiri, \begin{itemize} \item lequel a le plus faible pourcentage de rejets? \item lequel a le plus grand nombre de perles vendables? \end{itemize} Lequel semble être le meilleur greffeur ? Expliquer. \end{enumerate} \textbf{TROISIÈME PARTIE: 12 POINTS} Takina a construit un parc à poissons en face de sa maison, près de la passe principale de l'atoll. Il vide le parc chaque semaine. Le poisson est vendu sur place. Il a passé un accord avec le commerçant du village: le commerçant fournit gratuitement $50$~L d'essence à Takina chaque semaine à condition que ce dernier lui vende tout son poisson au prix de $350$ XPF / kg. \medskip \begin{enumerate} \item Sachant que l'essence coûte 160 XPF 1L, calculer le prix de 50 L d'essence. \item Compléter l'affirmation suivante: \og Même si le parc ne contenait aucun poisson, Takina aurait quand même \og gagné \fg \item On a représenté la droite $D_1$ qui donne la somme gagnée par Takina en fonction de la masse de poisson pêché. Compléter, par lecture graphique, le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline Masse de poisson (kg) & 0& 10& 60& \\ \hline Gain (XPF) &\np{8000}&&\np{18500}&\\ \hline \end{tabularx} Tableau 1 : Poisson vendu au village \end{center} Le poisson pourrait être expédié à Tahiti \ldots Takina a pris contact avec un acheteur de Papeete qui est prêt à lui acheter son poisson à $750$ XPF / kg, tout en prenant le coût du fret à sa charge. \item Combien gagnerait Takina s'il expédiait 10 kg de poisson à Papeete ? \item Pour 10 kg de poisson, est-il plus intéressant de vendre au village ou d'expédier en ville? \item Compléter le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline Masse de poisson (kg) & 0 &10 & &60\\ \hline Gain (XPF) & & & \np{30000}&\\ \hline \end{tabularx} Tableau 2 : Poisson expédié en ville \end{center} \item Placer sur le graphique les quatre points du tableau 2 et relier ces points. On nommera $D_2$ cette droite. \begin{center} \psset{unit=0.175cm ,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-8,-7)(70,50) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=50,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(70,50) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,8)(70,32.5) \multido{\n=0+5,\na=0+5000}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(70,\n)\uput[l](0,\n){\footnotesize\np{\na}}} \multido{\n=0+5}{15}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,50)} \uput[u](57,0){Masse de poisson (kg)}\uput[d](67.5,31){\red $D_1$} \uput[r](0,50){Gain (XPF)} \end{pspicture} \end{center} \item Déterminer, par lecture graphique. la masse de poisson qui rapporterait le même gain, que le poisson soit vendu au village ou expédié à Tahiti. Quel serait ce gain? Laisser apparents les traits de lecture. \item Retrouver cette masse $M$ en résolvant l'équation suivante : \[750 M = 350 M + \np{8000}.\] \item Takina a calculé qu'en moyenne, il pêche $34$ kg de poisson chaque semaine. A-t-il raison de continuer à vendre son poisson au village ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{document}