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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet - série technologique et professionnelle}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Métropole gr. Nord}
\lfoot{\small septembre 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet - Métropole gr. Nord série technologique et professionnelle~\decofourright\\[7pt]
septembre 2006}}
\smallskip

\textbf{\large PREMIÈRE PARTIE (obligatoire) Calcul numérique  - 12 POINTS}\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer : $A = 7- 2 \times 8.$
\item Calculer : $B = 3\sqrt 4 - 5\sqrt 9 + \sqrt{121}$.
\item Calculer $C$. Le résultat sera exprimé sous la forme d'une fraction irréductible.

\[C = \dfrac74 - \dfrac{11}{5}.\]

\item  Écrire sous la forme d'une puissance de 10 :

\[D = \dfrac{\left(10^3\right)2 \times 10^{-5}}{ 10^{-9} \times 10^3}.\]

\item Résoudre l'équation suivante:
\[3x - 8 = 10\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne : $P(x) = 4x (5x - 2) + (2x + 3)^2$.

Remplacer $x$ par 2 dans l'expression de $P(x)$, puis calculer $P(2)$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le volume d'un cône est donné par la formule:

\[V= \dfrac13 \pi R^2 h.\]

Calculer le volume $V$ d'un cône de rayon $R = 2$ cm et de hauteur $h = 3,5$~cm.

Donner le résultat en cm$^3$, arrondir au centième.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

450 élèves sont inscrits dans un établissement scolaire. Ils sont soit demi-pensionnaires soit internes soit externes :
\begin{itemize}[label = $\bullet~$]
\item Les $\dfrac35$ sont demi-pensionnaires,
\item 30\,\% du total des élèves sont internes,
\item les élèves restants sont des externes.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de demi-pensionnaires.
\item Calculer le nombre d'internes.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En déduire le nombre d'externes.
		\item Exprimer ce résultat en pourcentage du nombre total d'élèves .
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large DEUXIÈME PARTIE (au choix ) A Statistiques - 12 POINTS}\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On étudie la taille des élèves d'un collège et on répartit les résultats dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Taille (en cm)&Effectifs : ni&Fréquences en \%&Centre des classes: $x_i$&Produits
$n_ix_i$\\ \hline
[135~;~145 [& 65&10&\ldots&\ldots\\ \hline
[145~;~155 [&195&\ldots&\ldots&\ldots\\ \hline
[155~;~165 [&260&\ldots&\ldots&\ldots\\ \hline
[165~;~175 [&\ldots&\ldots&170&\ldots\np{22100}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter la colonne des effectifs.
\item Compléter la colonne des fréquences.
\item Compléter les deux dernières colonnes du tableau.
\item Calculer la taille moyenne en cm des élèves de ce collège.

Rappel de la formule permettant de calculer la valeur moyenne :

$\overline{x} = \dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_4x_4}{N}$

\item Combien d'élèves mesurent au moins 155 cm ?
\item Combien d'élèves mesurent moins de 155 cm ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les commandes du premier semestre 2003 d'une société de matériel aéronautique se répartissent de la façon suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Commande 				&Fréquences en \%	&Angles en degrés\\ \hline
Hélicoptères			&\ldots				&83\\ \hline
Matériel informatique	&30					&\ldots\\ \hline
Total					&100				&360\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter la deuxième colonne.
\item Compléter la troisième colonne. Arrondir à l'unité.
\item Compléter le diagramme circulaire ci-dessous.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.7,-2.7)(2.7,2.7)
\pscircle(0,0){2.7} \psline(2.7;135)
\rput(2;105){Hélicoptères}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large DEUXIÈME PARTIE (au choix ) B Géométrie - 12 POINTS}\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle en C tel que : AC = 3 cm et BC = 4 cm.

Construire ce triangle.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}

Soit un triangle CRI rectangle en I tel que : 

CR = 6,2 cm et CI = 3,2 cm .
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3.8)
\pspolygon(0.2,0.2)(5.4,0.2)(0.2,3.3)%%IRC
\uput[dl](0.2,0.2){I} \uput[dr](5.4,0.2){R} \uput[ur](0.2,3.3){C}
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle CRI ?
		\item Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la mesure de IR en cm. (Arrondir au dixième)
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur du $\cos \widehat{\text{C}}$. (Arrondir au millième)
\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{C}}$. (Arrondir au degré)
\item Placer le point E, milieu du segment [CI].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite parallèle à (IR) passant par E ; elle coupe (CR) en F.
		\item Dans les triangles CEF et CIR, on peut écrire: 
		\[\dfrac{\text{CE}}{\text{CI}} = \dfrac{\text{CF}}{\text{CR}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{IR}}.\]

Cette égalité correspond :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item à la relation de Thalès.
\item à la propriété de Pythagore.
\item à une relation trigonométrique.
\end{itemize}

Barrer les mentions inutiles
		\item En déduire la mesure de [CF].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large TROISIÈME PARTIE (obligatoire) Problème - 12 POINTS}\end{center}

\medskip

Pour la location de cassettes vidéo, un vidéo club propose les conditions suivantes : 

\begin{description}
\item[ ] Proposition A : 3~\euro{} par cassette louée.
\item[ ] Proposition B : abonnement de 9~\euro, plus 1,50~\euro{} par cassette louée.
\end{description}

\medskip

\textbf{I Étude de la proposition A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de cassettes louées: 		$x$		&1	&2	&3	& 5	&10\\ \hline
Prix à payer avec la proposition A :$y_1$	& 3	&	&	& 15&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Posons $y_1$ le prix à payer avec la proposition A et $x$ le nombre de cassettes louées.

Exprimer $y_1$ en fonction de $x$.
\item Dans le repère donné en annexe 1, utiliser les résultats du tableau précédent pour tracer la droite $D_1$ d'équation $y = 3 x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II Étude de la proposition B}

\medskip

Le prix à payer avec la proposition B peut s'exprimer par : $y_2 = 1,5x + 9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de cassettes louées: $x$				&1 		&3 	&5 	&10\\ \hline
Prix à payer avec la proposition B : $y_2$	&10,5	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On a tracé dans le repère de l'annexe 1 la droite $D_2$ d'équation $y = 1,5 x + 9$ qui représente le prix à payer avec la proposition B.
\item Soit I le point d'intersection des deux droites.

Déterminer graphiquement les coordonnées de I. (Laisser les traits de construction)
I(6~;~ \ldots).
	\begin{enumerate}
		\item En déduire à partir de combien de cassettes la proposition B devient-elle plus intéressante.
		\item En déduire la proposition la plus intéressante si je choisis d'emprunter 8 cassettes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1}

\bigskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(11,31)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(10,30)
\multido{\n=0.0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,30)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,30)}
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(10,\n)}
\multido{\n=0+2}{16}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(10,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,9)(10,24)
\uput[u](8.9,0){Nombre de cassettes}\uput[r](0,29.5){Prix en \euro}
\rput(9.5,24){\red $D_2$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}