\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage{scratch3} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} %\definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}% \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{pst-eucl} \usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl \usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pst-slpe,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,pgfplots} \usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{colortbl} %\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Brevet professionnel}, %pdftitle = {Année 2011}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Brevet - Série technologique et professionnelle} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Métropole} \lfoot{\small septembre 2011} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet - Métropole~\decofourright\\[7pt] Série technologique et professionnelle - septembre 2011}} \end{center} \vspace{0.5cm} Cette épreuve comporte trois parties : Partie 1: OBLIGATOIRE 12 points Partie 2 : AU CHOIX (A ou B) 12 points Partie 3 : OBLIGATOIRE 12 points Présentation et rédaction 4 points \medskip \textbf{\Large PARTIE 1 : NUMÉRIQUE (OBLIGATOIRE) \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \begin{minipage}{0.7\linewidth} On dispose d'une roue sur laquelle on a inscrit des lettres dans des secteurs identiques. On fait tourner la roue. Lorsque la roue s'arrête de tourner, quelle est la probabilité que la flèche indique une voyelle ? Justifier. \textbf{Toute trace écrite (calcul, schéma, explication, \ldots) sera prise en compte.} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.27\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2.6) \pscircle(0,0){2}\psline[linewidth=2pt]{->}(0,2.6)(0,2.1) \rput(1.2;18){E} \rput(1.2;54){D}\rput(1.2;90){C}\rput(1.2;126){B} \rput(1.2;162){A}\rput(1.2;196){J}\rput(1.2;232){I}\rput(1.2;268){H} \rput(1.2;304){G}\rput(1.2;340){F} \multido{\n=0+36}{10}{\psline(2;\n)} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Des statistiques, lors d'un match de football, ont montré que l'équipe A a réussi 80\,\% de ses passes. \medskip \begin{enumerate} \item L'équipe A a tenté $500$ passes pendant ce match. Combien a-t-elle réussi de passes ? \item Écrire $80\,\%$ sous forme d'une fraction irréductible, \item L'équipe B a réussi les $\dfrac{7}{10}$ de ses passes. Comparer $\dfrac{7}{10}$ et $80\,\%$. 10 10 \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip La distance de freinage $D_f$, en mètre, d'un véhicule, peut se calculer avec la formule : \[D_f = 0,007 y^2\] où $y$ est la vitesse du véhicule en km/h. La vitesse d'un véhicule est de $110$ km/h. Calculer sa distance de freinage. Arrondir le résultat au mètre près. \medskip \textbf{Exercice 4} \medskip \begin{enumerate} \item Une voiture consomme $4$ litres d'essence pour faire $100$ km. Quelle est la quantité d'essence, en litre, .consommée pour faire $250$~km ? \item Cette voiture roule à une vitesse de $108$ km/h. Convertir cette vitesse en mètre par seconde. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 5} \medskip \begin{minipage}{0.52\linewidth} Le schéma ci-contre représente les mesures (en mètre) de terrains et de chemins lors de l'aménagement d'un lotissement. Quelle est la mesure de $L$ ? Justifier. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(6.6,3) \psframe[linewidth=1.1pt](0,0.6)(6.6,2.2) \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(0,0.4)(6.6,0.4)\uput[d](3.3,0.4){85} \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(0,2.4)(0.8,2.4)\uput[u](0.5,2.4){5} \psline(0.8,2.2)(0.8,0.6) \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(0.8,2.4)(2.3,2.4)\uput[u](1.55,2.4){$L$} \psline(2.3,2.2)(2.3,0.6) \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(2.3,2.4)(3.2,2.4)\uput[u](2.75,2.4){15} \psline(3.2,2.2)(3.2,0.6) \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(3.2,2.4)(4.7,2.4)\uput[u](3.95,2.4){$L$} \psline(4.7,2.2)(4.7,0.6) \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(4.7,2.4)(5.7,2.4)\uput[u](5.2,2.4){15} \psline(5.7,2.2)(5.7,0.6) \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(5.7,2.4)(6.6,2.4)\uput[u](6.15,2.4){10} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \textbf{Exercice 6} \medskip \begin{minipage}{0.67\linewidth} Le volume $V$ d'un réservoir peut se calculer avec la formule suivante : \[V = L \times p \times h\] Calculer le volume du réservoir en cm$^3$. Convertir le résultat en litre. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.3\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(4.5,3.7) %\psgrid \pspolygon(0,3.3)(0,0.8)(1.8,0.6)(1.8,3.1) \psline(1.8,0.6)(2.5,0.8)(2.5,3.3)(1.8,3.1) \psline(2.5,3.3)(0.7,3.5)(0,3.3) \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,0.6)(1.8,0.4)\uput[d](0.9,0.5){\small $L = 60$\, (cm)} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.8,0.4)(2.5,0.6)\uput[dr](2.15,0.5){\small $p = 30$ (cm)} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(2.7,0.8)(2.7,3.3)\uput[r](2.7,2.05){\small $h = 70$ (cm)} \end{pspicture} \end{minipage} \bigskip \textbf{\large PARTIE 2: A -DOMINANTE GÉOMÉTRIQUE \hfill (12 points)} \medskip Un couvreur doit réaliser la toiture de la maison ci-dessous. Il doit proposer un devis au propriétaire et déterminer la pente d'un toit rectangulaire. \medskip \textbf{Première partie: devis} \medskip \begin{enumerate} \item Le schéma ci-dessous, représente une vue de profil de la maison. \medskip \begin{minipage}{0.45\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(0,-2)(6,4) %\psgrid \psframe(1.1,0.7)(4.8,2.5)%AEDB \psline(4.8,2.5)(1.1,3.9)(1.1,2.5)%DCB \uput[dl](1.1,0.7){A} \uput[ul](1.1,2.5){B} \uput[ur](1.1,3.9){C} \uput[ur](4.8,2.5){D} \uput[dr](4.8,0.7){E} \uput[d](2.95,0.5){7 m} \uput[l](0.9,1.6){5,5 m} \uput[r](5,1.6){3 m} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.1,0.5)(4.8,0.5) \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.9,0.7)(0.9,2.5) \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5,2.5)(5,0.7) \rput(3,-1.2){Vue de profil} \end{pspicture} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.53\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(0,-1)(7,4.2) %\psgrid \pspolygon(0,3.2)(0,0.4)(3,0.2)(3,1.7) \psline(3,1.7)(0,1.9) \pspolygon(3,0.2)(6.4,0.7)(6.4,2.2)(3,1.7) \psline(0,3.2)(3.4,3.7)(6.4,2.2) \psline(4.45,0.42)(4.45,1.22)(4.95,1.31)(4.95,0.5) \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3.2,0.05)(6.6,0.58)\uput[r](4.9,0.22){12 m} \rput(3,-0.6){Vue en perspective} \end{pspicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Donner les longueurs BD et BC. \item Montrer que la longueur CD, arrondie au cm, est égale à 7,43 m. \end{enumerate} \item Le mètre carré d'ardoises revient à $65$~\euro{} pose comprise. Quel prix va-t-il proposer au propriétaire pour couvrir le toit ? \textbf{Toute trace écrite (calcul, schéma, explication ... ) sera prise en compte.} \end{enumerate} \medskip \textbf{Deuxième partie: réalisation de la toiture} \medskip Pour que le projet soit réalisable, la pente du toit doit vérifier certaines conditions. \medskip \begin{minipage}{0.51\linewidth} \begin{enumerate} \item 1\up{re} méthode: utilisation de la pente par mètre. \begin{enumerate} \item Dessiner le triangle BCD en utilisant l'échelle suivante: \textbf{2 cm sur le plan correspondent à une longueur réelle de 1 mètre.} \item Sur le schéma ci-contre, la longueur b$p$ correspond à la pente par mètre lorsque l'on mesure une longueur de 1 mètre à l'aide de la règle. Appliquer cette méthode au dessin de la question a. pour trouver la pente par mètre. \item Pour que le projet soit réalisable, il faut une pente par mètre supérieure ou égale à 0,3 m. Le couvreur peut-il réaliser cette toiture ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\linewidth} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(6,4.3) %\psgrid \psline(0.6,4.3)(0.6,0) \psline(0.6,4.3)(6,0) \psline(0.6,4.1)(6,-0.2) \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.4,4.3)(0.4,1)\uput[l](0.4,2.15){$p$} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.6,0.4)(4.8,0.4)\uput[d](2.7,0.45){$1$~m} \psframe(0.5,0.6)(4.8,1) \multido{\n=0.70+0.05}{81}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,1)(\n,0.9)} \multido{\n=0.70+0.25}{17}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,1)(\n,0.8)} \multido{\n=0.7+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,1)(\n,0.7)} \rput(2.4,1.2){règle} \end{pspicture*} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate}[start=2] \item 2\up{e} méthode: utilisation de l'angle. Déterminer, au degré près, la valeur de l'angle $\widehat{\text{BDC}}$. Justifier. \item Pour que le projet soit réalisable, il faut un angle entre la toiture et l'horizontale, au minimum de $17\degres$. Le couvreur peut-il réaliser cette toiture? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large PARTIE 2 : B - DOMINANTE STATISTIQUE \hfill (12 points)} \medskip \textbf{Exercice 1 :} \medskip Kévin a souscrit depuis un an la formule PERSO chez un opérateur de téléphonie. Dans cette formule, il paie en fonction du nombre de minutes de communication. \medskip \begin{enumerate} \item Les tarifs de la formule PERSO sont décrits dans le tableau ci-dessous. Les durées de communication sont comptabilisées sur le mois. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Durée (en min)&0 à 15& 15 à 30&30 à 45&45 à 60\\ \hline Prix (en \euro)& 0,45 \euro/min&1,50 \euro{} plus 0,30 \euro/min&4,50 \euro{} plus 0,20 \euro/min&6,75 \euro{} plus 0,15 \euro/min\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer le prix à payer si on téléphone 10 minutes dans le mois. \item Calculer le prix à payer si on téléphone 40 minutes dans le mois. \item Le prix à payer est-il proportionnel à la durée en minutes ? Justifier. \end{enumerate} \item Les factures mensuelles des communications de Kévin sont les suivantes: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois&Janvier&Février &Mars&Avril &Mai& Juin\\ \hline Prix (en €) &13,10 &6,30&5,85&10,20&9,90&15,75\\ \hline \end{tabularx} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois&Juillet &Août&Septembre&Octobre&Novembre&Décembre\\ \hline Prix (en €)&10,20&12,90& 12,50&13,10&9,90&12,50\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quel est le prix moyen mensuel payé par Kévin? Arrondir le résultat à l'unité. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2 :} \medskip \begin{enumerate} \item Les durées de communication, sur 12 mois, de Kévin sont regroupées dans le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois&Janvier &Février &Mars&Avril &Mai& Juin\\ \hline Durée (en min)& 43 &14 &33&29& 28& 60\\ \hline \end{tabularx} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Mois &Juillet &Août &Septembre &Octobre &Novembre &Décembre\\ \hline Durée (en mn)&29 &42 &40&43 &28&40\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Combien y-a-t-il de mois où la durée de communication est supérieure à $45$~minutes ? \item On regroupe les durées de communication dans un tableau. Compléter ce tableau situé en ANNEXE 1. \item Tracer l'histogramme situé en ANNEXE 1. \item Quel est le nombre de communications dont la durée est inférieure à 30 minutes? \item Exprimer ce résultat en pourcentage .Arrondir le résultat à l'unité. \end{enumerate} \item Kévin envisage de changer de formule. Son opérateur propose trois forfaits bloqués : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item 30 minutes à 10~\euro \item 45 minutes à 15~\euro \item 60 minutes à 20~\euro \end{itemize} Quel forfait va-t-il choisir ? Justifier. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large PARTIE 3: PROBLÈME (OBLIGATOIRE)\hfill (12 points)} \medskip \textbf{PARTIE A :} \medskip \begin{enumerate} \item Un plongeur entre dans l'eau et descend de 6 mètres par minute. \begin{enumerate} \item Au bout de 2 minutes, à quelle profondeur se situe le plongeur? Écrire votre calcul. \item Compléter le tableau 1 situé en ANNEXE 2. \item Placer les points sur le graphique de l'ANNEXE 2. \item Relier les points pour représenter la descente du plongeur. \end{enumerate} \item Combien de temps le plongeur a-t-il mis pour atteindre une profondeur de 24 m ? Laisser les traits de construction apparents. \item Convertir ce temps en secondes. Écrire votre calcul. \item Le point O correspond à l'origine du repère. La droite (OB) est-elle la représentation graphique d'une fonction linéaire? Justifier. \item Pendant combien de temps, le plongeur est-il resté ensuite à une profondeur de 30 m ? \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B :} \medskip Lorsque le plongeur remonte vers la surface, sa vitesse doit être inférieure à 15 mètres par minute. \medskip \begin{enumerate} \item Recopier sur la copie d'examen et compléter la phrase: Entre le point C et le point D, le plongeur est remonté de mètres, en minutes. \item Calculer sa vitesse de remontée (en mètre par minute). Écrire vos calculs. 3. A-t-il respecté la vitesse à ne pas dépasser? Justifier. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE C :} \medskip Pour éviter des accidents lors de la remontée, les plongeurs doivent parfois effectuer des paliers de décompression pendant lesquels ils restent à la même profondeur. \medskip \begin{enumerate} \item Le plongeur a effectué un palier entre les points D et E situés sur le. graphique de l'ANNEXE 2. Indiquer la durée et la profondeur de ce palier. \item La profondeur et la durée minimale d'un palier de décompression dépendent de la durée de la plongée. À l' aide du tableau 2 de l'ANNEXE 2, indiquer si le plongeur a effectué le bon palier. Justifier. \end{enumerate} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE 1} \end{center} \textbf{\large PARTIE 2: B - DOMINANTE STATISTIQUE Exercice 2 1. b)} \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Durée (en min)&Effectifs (nombre de mois)&Fréquences en \% arrondies à l'unité\\ \hline [0 ; 15[&1&\\ \hline [15; 30[&4&\\ \hline [30; 45[&6&\\ \hline [45; 60]&1&\\ \hline Total&12&100\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{c.} \psset{xunit=0.1cm,yunit=0.1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(0,-5)(90,70) \multido{\n=0+3.75}{25}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,70)} \multido{\n=0+3.75}{20}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(90,\n)} \uput[u](80,0){durée en min} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](67.5,60)(82.5,67.5)\rput(75,63.75){1 mois} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=15,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(90,70) \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center}\textbf{ANNEXE 2} \end{center} \textbf{\large PARTIE 3 PROBLÈME (OBLIGATOIRE)} \medskip \textbf{PARTIE A : Tableau 1 1. b.} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps (en min)& 0& 1& 2&&5\\ \hline Profondeur (en m)&&&& 18& 30\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{c.} Une profondeur de 6 m correspond à une altitude de $- 6$ m. \begin{center} \psset{unit=0.3cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,3)(42,-32) \multido{\n=0+1}{43}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,-32)} \multido{\n=0+-1}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(40,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,1)(42,-32) \uput[u](41,0){$x$}\uput[r](0,0.5){$y$} \psline(5,-30)(25,-30)(30,-3)(35,-3)(40,0) \uput[dl](5,-30){B} \uput[dr](25,-30){C} \uput[ul](30,-3){D} \uput[ul](35,-3){E} \uput[u](40,0){F} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{PARTIE C : Tableau 2} \textbf{2. } \begin{minipage}{0.3\linewidth} Durée de la plongée : durée en minutes entre le moment où le plongeur pénètre dans l'eau et le moment où il commence à remonter. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.67\linewidth} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multirow{2}{4cm}{Durée de la plongée \\(en min)}& \multicolumn{2}{|c|}{Durée du palier (en min)}\\ \cline{2-3} &à 3 m& à 6 m\\ \hline 10&&\\ \hline 15&&\\ \hline 20&2&\\ \hline 25&4&\\ \hline 30&9&\\ \hline 35&17&\\ \hline 40&24&\\ \hline 45& 31& 1\\ \hline \end{tabularx} \end{minipage} \end{document}