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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet série technologique}
\lfoot{\small{Métropole groupe Ouest (Caen)}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet série technologique
~\decofourright\\[7pt]Métropole groupe Ouest (Caen)  juin 2002}}
\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Partie 1 (Obligatoire)\hfill 12 points}

\medskip

%\textbf{Exercice 1 \hfill}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les calculs suivants en précisant les étapes:

\[A = - 7 - (2 - 7) + 8 \dfrac12 \qquad;\qquad B = 5(3- 8)- 2(-1 - 3)\]
\item On donne les quatre fractions:

\[C= -\dfrac12\quad ; \quad D = \dfrac75\quad ; \quad  E = -\dfrac43\quad ; \quad  F = \dfrac{3}{10}.?\]

	\begin{enumerate}
		\item Ranger ces fractions dans l'ordre croissant.
		\item Calculer : $D + E$.
		\item Calculer : $E \times F$.
		
Les résultats seront donnés sous la forme de fractions irréductibles.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur numérique de l'expression : $G =3,8 \times 10^5 \times 5 \times 10^{-3}$.

Donner le résultat : 
	\begin{enumerate}
		\item sous la forme d'un nombre décimal 
		\item en notation scientifique.
		\end{enumerate}	
\item Développer et réduire: $H = 3(x - 5) + 5x$

\phantom{Développer et réduire: } $J = (x - 2)(x + 3)$
\item Résoudre les équations : 

\[8x - 5 = 3x + 2 \qquad ; \qquad \dfrac52 = \dfrac y3\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie 2 (au choix) Géométrie\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{LES CONSTRUCTIONS DEMANDÉES SE FERONT SUR L'ANNEXE 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.64\linewidth}
On donne la figure ci-contre.

OA = OB = OM

AB $= 6$ cm  \,\,BC $= 9$ cm

Le triangle ABC est rectangle en B.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4,5)\pspolygon(0.2,1.5)(2.2,1.5)(2.2,4.5)%ABC
\psframe(2.2,1.5)(2,1.7)
\psarc(1.2,1.5){1}{180}{360}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(0.2,0.2)(2.2,0.2)\uput[d](1.2,0.2){6}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(2.4,1.5)(2.4,4.5)\uput[r](2.4,3){9}
\uput[l](0.2,1.5){A} \uput[u](1.2,1.5){O} \uput[dr](2.2,1.5){B} \uput[dr](1.2,1){\small M} \uput[ur](2.2,4.5){C}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.2,1.5)(1.2,0.5)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette figure sur l'annexe 1à grandeur réelle, en respectant les cotes notées en cm.
\item Indiquer l'échelle utilisée pour le dessin donné ci-dessus (justifier votre réponse).
\item Tracer la figure symétrique de la figure AMBCA par rapport à l'axe (BC).
\item En utilisant la relation de Pythagore, calculer, en centimètre. la longueur réelle du segment [AC] (arrondir à 0,1).
\item Calculer, en centimètre, le périmètre réel de la figure AMBCA (arrondir à 0,1).
\item En utilisant $\tan \widehat{\text{BAC}}$, calculer, en degré, la mesure de l'angle 
$\widehat{\text{BAC}}$ (arrondir à l'unité).
\item Tracer la bissectrice de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$. Passe-t-elle par le point O ? 

Justifier la réponse.
\item Tracer la droite passant par O et parallèle à (AC). Elle coupe (BC) en D.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadrilatère AODC ?
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire du triangle ABC.
		\item On admet que le point D est le milieu de [BC]. Calculer, en cm$^2$, l'aire du triangle OBD. 		\item Calculer, en cm$^2$ l'aire du quadrilatère AODC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Formulaire :} Périmètre du cercle : $\pi \times D$

\phantom{\textbf{Formulaire :}} Aire du triangle : $\dfrac12 \times b \times h$.

\bigskip

\textbf{\large Partie 2 (au choix) Statistiques\hfill 12 points}

\medskip

Dans un collège de 480 élèves, le bureau du foyer a procédé à deux enquêtes sur la totalité de la population scolaire.

\textbf{Enquête 1 : }Temps consacré chaque semaine par les élèves à regarder.la télévision :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée (en h)&Effectif : $n$\\ \hline
[0~;~4[		&15\\ \hline
[4~;~8[		&60\\ \hline
[8~;~12[ 	&135\\ \hline
[12~;~20[	&150\\ \hline
[20~;~28]	&120\\ \hline
Total		&480\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Enquête 2 :} Les types de musique préférés par les élèves:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Type 				&Effectif \\ \hline
Rock				&120  \\ \hline
Rap/Raï				&110 \\ \hline
Techno				&80 \\ \hline
Variété française	&80 \\ \hline
Variété étrangère	&70 \\ \hline
Autre				&20 \\ \hline
Total				&480 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Répondre aux questions 1. et 2. sur l'annexe 2 (À remettre avec la copie) 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau 1
		\item Calculer, en heure, la durée moyenne hebdomadaire consacrée à regarder la télévision (arrondir à l'unité).
	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau 2.

Répondre aux questions 3. et 4. sur l'annexe 3 (À remettre avec la copie)
\item Représenter les résultats du tableau 2 par un diagramme circulaire (ne pas oublier la légende).
\item Le prix moyen d'un CD a augmenté entre octobre 2001 et juin 2002.

Prix du CD en octobre 2001 : 130 F 

Prix du CD en juin 2002 : 22 euros

1 euro = \np{6,55957}~F.

Calculer, en euro, le montant de l'augmentation (arrondir à 0,01).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie 3 Problème (obligatoire)\hfill 12 points}

\medskip

Dans un atelier de découpe de cartons. on peut fabriquer trois modèles de surfaces $S_1$, \,$S_2$ et $S_3$ d'aires respectives $A_1,\, A_2$ et $A_3$.

Chaque modèle est défini par une (ou deux) cotes fixe(s) et une cote $x$ variable, voir schémas ci-dessous qui ne sont pas à l'échelle (\textbf{les cotes sont en centimètre}).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(14,3.6)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(3.3,0.5)(3.3,1.6)(0.5,3.6)
\psframe(0.5,0.5)(0.7,0.7) \psframe(0.5,1.6)(0.7,1.4) \psframe(3.3,0.5)(3.1,0.7) 
\psline[linewidth=0.3pt](3.3,1.6)(0.5,1.6)
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(0.3,0.5)(0.3,1.6)\uput[l](0.3,1.05){10}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(0.3,1.6)(0.3,3.6)\uput[l](0.3,2.6){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(0.5,0.3)(3.3,0.3)\uput[d](1.9,0.3){24}
\rput(1.9,1.4){$S_1$}
%%
\pspolygon(6,0.5)(9.4,0.5)(6,2.5)
\psframe(6,0.5)(6.2,0.7)
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(5.8,0.5)(5.8,2.5)\uput[l](5.8,1.5){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(6,0.3)(9.4,0.3)\uput[d](7.7,0.3){30}
\rput(7.4,1.4){$S_2$}
%%
\psframe(11.5,0.5)(13.9,2.5)
\psframe(11.5,0.5)(11.7,0.7) \psframe(13.9,0.5)(13.7,0.7)\psframe(13.9,2.5)(13.7,2.3)
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(11.3,0.5)(11.3,2.5)\uput[l](11.3,1.5){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(11.5,0.3)(13.9,0.3)\uput[d](12.7,0.3){20}
\rput(12.7,1.4){$S_3$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans le cas où $x = 24$, calculer, en cm$^2$, les aires $A_1,\,  A_2$ et $A_3$ des surfaces $S_1,\, S_2$ et $S_3$.

\textbf{RAPPEL :} aire du triangle  :  $\dfrac12 \times b \times h$ ;

\phantom{RAPPEL :} aire du rectangle : longueur $\times$ largeur.
\item On donne les quatre fonctions $f, g, h$ et $k$ définies par:

$f(x) = 15x,\quad g(x) = 12x + 240,\quad  h(x) = 20x,\quad  k(x) = 30x.$

Recopier sur votre copie le tableau ci-dessous.

Cocher les cases qui établissent la correspondance existant entre certaines de ces fonctions et les expressions des aires $A_1,\,  A_2$ et $A_3$.

(une case a déjà été cochée et il n'y a qu'une croix par colonne)

On sait que $x$ peut varier de 0 à 40.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&$A_1$	&$A_2$	&$A_3$\\ \hline
$f(x) = 15x$			&		&\Large$\times$&\\ \hline
$g(x) = 12x + 240$		&		&		&\\ \hline
$h(x) = 20 x$			&		&		&\\ \hline
$k(x) =30x$				&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Recopier et compléter le tableau de valeurs, ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 			&0	&18	&25	&40\\ \hline
$f(x) =15x$		&	&	&	&\\ \hline
$g(x) =12x+240$	&	&	&	&\\ \hline
$h(x) =20x$		&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item La fonction $f$ définie par $f(x) = 15x$, pour $x$ variant de 0 à 40, est représentée graphiquement dans l'annexe \no 4. Sur cette annexe et dans le même repère, représenter graphiquement les fonctions $g$ et $h$ (pour $x$ variant de 0 à 40).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Lire graphiquement chacune des valeurs $f(x),\, g(x)$ et $h(x)$ pour $x = 24$ (faire apparaître les tracés qui permettent de lire ces valeurs). Noter les réponses sur votre copie.
		\item Comparer ces valeurs avec celles de $A_1,\,  A_2$ et $A_3$ obtenues à la question 1.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle on a $g(x) = h(x)$. (Faire apparaître le tracé qui permet de lire cette valeur).
		\item Résoudre l'équation : $12 x + 240 = 20 x$.
		\item Comparer avec la valeur obtenue graphiquement.
		\item En déduire la cote x pour laquelle ces surfaces $S_1$ et $S_3$ ont la même aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large ANNEXE \No 1} \end{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,13)
\psline(0,0)(5.6,0)
\uput[l](0,0){A}\uput[r](5.6,0){B}
\end{pspicture}


\newpage

\begin{center}\textbf{\large ANNEXE \No 2} \end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Tableau 1 (Enquête 1) 
	\begin{enumerate}
		\item~
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Durée (en h)& Effectif $n$&  Centre de classe $x$&Produit : $x \times n$\\ \hline
[0~;~4[		& 15 	&2						&30\\ \hline
[4~;~8[		& 60	&						&\\ \hline
[8~;~12[	& 135	&						&\\ \hline
[12~;~20[ 	&150	&						&\\ \hline
[20~;~28]	& 120	&						&\\ \hline
Total 		&480	&\cellcolor[gray]{0.3}	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Calcul de la moyenne :
		
		\bigskip
	\end{enumerate}
\item Tableau 2 (Enquête 2)

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Type &Effectif&Fréquence en \% (arrondi à l'unité)&Angle au centre en degré (arrondi à l'unité)\\ \hline
Rock 				&120	&25	&90 \\ \hline
Rap/Raï 			&110	&	& \\ \hline
Techno				& 80	&	& \\ \hline
Variété française	& 80	&	& \\ \hline
Variété étrangère	& 70	&	& \\ \hline
Autre				& 20	&	& \\ \hline
Total 				&480	&100&360 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large ANNEXE \No 3} \end{center}

\bigskip

\textbf{3. Diagramme circulaire}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\pscircle(0,0){3.2}
\psline(3.2;0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{4.} Solution de la question 4
`
\newpage

\begin{center}\textbf{\large ANNEXE \No 4} \end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.24cm,yunit=0.01cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-50)(50,1000)
\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+2}{26}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+25}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(50,\n)}
\multido{\n=0+50}{21}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=cyan](0,\n)(50,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(50,1000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=200](0,0)(0,0)(50,1000)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](40,600)
\uput[u](51,0){$x$}\uput[r](0,1020){$y$}
\uput[d](2,0){2}\uput[l](0,50){50}
\rput{30}(38,530){\red $f(x)= 15x$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}