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%Tapuscrit Denis Vergès
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pdftitle = {Métropole groupement II juin 2003},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet technologique}
\lfoot{\small{Métropole groupe Ouest}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet technologique
Métropole groupe Ouest~\decofourright}}\\[7pt]
{\Large \textbf{juin 2003}}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Dans la deuxième partie, les candidats traitent l'un des deux
exercices.\\
(Géométrie ou statistiques).}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Première partie  \hfill 12 points}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants en donnant les détails : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $A = 16 - 14 \times 3 - 4$.
\item $B = 8 \times 3 - 4 \times 2 + 5 \times(- 4)$.
\item $C = \dfrac79 + \dfrac56$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Écriture décimale		&0,02				&0,005	&\ldots\\ \hline
Écriture fractionnaire	&$\dfrac{1}{50}$		&\ldots	&$\dfrac{3}{10}$\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\\ \hline
Notation scientifique	&$2 \times 10^{-2}$	&\ldots	&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

10
3'
VIl; (1,82)2.

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur décimale de $\sqrt{11}$ arrondie à $0,001$.
\item Classer les nombres suivants dans l'ordre croissant:
\[\dfrac{10}{3} \qquad ;\quad \sqrt{11} \qquad ;\quad (1,82)^2.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre chacune des équations suivante 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $3x + 4 = 5$.
\item $6x + 3 = x + 13$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Deuxième partie (au choix) Dominante géométrique\hfill 12 points}
\end{center}

Monsieur Émile Ionaire a décidé de faire construire une maison sur son terrain en bordure d'une rivière: le Don.

Il récupère à la mairie l'extrait cadastral (plan de situation) ci-après (figure A).

%rivièreCommune de Richemont - Propriété de M. Ëmile IONAlRE
\psset{unit=1cm}

\begin{center}
\begin{pspicture}(9.5,6.8)
%\psgrid
\uput[r](0,6.5){Commune de Richemont}\uput[r](5,6.5){Propriété de  M. Émile Ionaire}
\uput[r](0,6.){Extrait de plan cadastral \no 128 K section C.}\uput[r](7.5,6.){\textbf{Aire :\boldmath \np{3064} \unboldmath \textbf{m}$^2$}}
\rput(8.5,4.7){\begin{tabular}{>{\footnotesize}l}
Propriété de M\up{me}\\
Éva Gagnier\\
Section C \no 1494
\end{tabular}}
\rput(1.5,3){\begin{tabular}{>{\footnotesize}l}
Propriété de \\
M. Jack Pote\\
Section C \no 1492
\end{tabular}}
\rput(4.3,2.2){\begin{tabular}{>{\footnotesize}l}
Propriété de \\
M. Émile Ionaire\\
Section C \no 1493\\
\textbf{Aire :}  \np{3064} 
\textbf{m}\boldmath$^2$\unboldmath
\end{tabular}}
\rput(7.1,1){Pont du Gain}
\rput{-22}(5.5,4.2){Rivière Le Don}
\psline(0,0.7)(9.5,0.7)
\psline(0,1.3)(9.5,1.3)
\rput(3.5,1){Route départementale \no 957}
\pscurve[linewidth=1.5pt](6.2,1.3)(5.9,2.3)(5.6,3.3)(3.3,4)(2,4.7)(1,5.8)
\pscurve[linewidth=1.5pt](7.8,1.3)(7.5,2.3)(7.2,3.3)(6,4.7)(4.5,5.2)(3.6,5.5)(2.5,5.8)
\psline[linewidth=1.5pt](2.4,1.3)(3,4.15)
\psline[linewidth=1.5pt](6,4.7)(7,5.6)(9.6,5.6)
\psline[linewidth=1.5pt](0,1.3)(0,3.6)(1.7,5)
\rput(5,0.2){Figure A}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%

Pour financer sa construction, il décide de partager son terrain en trois parcelles géométriques desservies par un chemin d'accès (figure B). Il vend les parcelles 2 et 3 et garde la parcelle 1 pour faire construire sa maison.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9.8,7.4)
%\psgrid
\pspolygon(1,1.6)(4,7.1)(4,1.6)%ABF
\psline(4,4.1)(8.4,4.1)(9.4,1.6)%GCD
\pscurve(4,7.1)(5,7)(6,6.6)(7,6)(8,5.1)(8.4,4.1)
\psline(4.5,4.1)(4.5,1.6)%HE
\psline(4,1.6)(9.4,1.6)%FD
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(0.8,1.6)(0.8,7.1)\uput[l](0.8,4.35){55}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(4.5,4.3)(8.4,4.3)\uput[u](6.45,4.3){40}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(5.2,4.1)(5.2,1.6)\uput[r](5.2,2.85){25}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(1,1.4)(4,1.4)\uput[d](2.5,1.4){30}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(4.5,1.4)(9.4,1.4)\uput[d](6.95,1.4){50}
\psline[linewidth=0.5pt]{|<->|}(1,1)(9.4,1)\uput[d](5.2,1){85}
\rput(5,0.2){Figure B}\rput(6.7,3){Parcelle 1}\rput(2.8,3){Parcelle 3}\rput(5.8,5.4){Parcelle 2}
\uput[dl](1,1.6){A} \uput[u](4,7.1){B} \uput[r](8.4,4.1){C} \uput[dr](9.4,1.6){D}
\uput[dl](4.575,1.6){E} \uput[dr](3.925,1.6){F} \uput[l](4,4.1){G} \uput[dr](4.5,4.1){H}
\psframe(4.5,1.6)(4.7,1.8)\psframe(4,1.6)(3.8,1.8)\psframe(4,4.1)(4.2,4.3)
\rput{90}(4.25,2.85){chemin d'accès}
\rput(8.9,6.7){Cotes en mètre}\rput(8.9,6.3){(GC) // (AD)}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{La figure n'est pas à l'échelle}

Émile Ionaire doit alors définir un certain nombre de dimensions.

En utilisant la figure B, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier puis compléter le tableau ci-dessous en mettant une croix dans la case correspondante.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Rectangle&Triangle rectangle&Trapèze rectangle\\ \hline
ABF (parcelle 3)&&& \\ \hline
EFGH (chemin d'accès)&&& \\ \hline
EHCD (parcelle 1)&&& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer, en mètres, les longueurs BG et GH.
\item En utilisant le théorème de Pythagore, calculer, en mètres, la longueur
AB (arrondie à 0,01).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la formule de la tangente, calculer la mesure de l'angle
BAP (arrondie au degré).
		\item En déduire la mesure de l'angle ABE 
	\end{enumerate}
\item Calculer, en mètres carrés, l'aire :
	\begin{enumerate}
		\item de la parcelle (EHCD) ;
		\item de la parcelle 3 (ABF).
	\end{enumerate}

Rappels : aire d'un triangle : $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$


\phantom{Rappels :} aire d'un trapèze : $\dfrac{(\text{grande base} + \text{petite base}) \times \text{hauteur}}{2}$
\item En vous aidant du plan de situation et sachant que l'aire du chemin
d'accès est égale à 125 m$^2$, calculer l'aire de la parcelle 2. 
\item  Le chemin d'accès doit être goudronné sur une épaisseur de $10$~cm.

Calculer le volume de goudron nécessaire.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large Deuxième partie (au choix) Dominante statistique
\hfill 12 points}
\end{center}


\textbf{Exercice 1}

\medskip

\og \emph{Si tu tries, t'as tout compris} \fg{} document extrait d'un dépliant édité par la Fédération nationale des jeunes pour la nature, septembre 2002.

\og \emph{Chacun de nous jette $434$ kilogrammes de déchets ménagers par an, soit plus de $1$ kilogramme par jour et par personne. En l'espace de $80$ ans, nous avons multiplié notre production de déchets par $6$}.\fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item La répartition de ces déchets par an et par personne est donnée dans le tableau ci-après. Compléter ce tableau.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Types de déchets&Pourcentage&Masse (kg)&\footnotesize Mesure d'angle (arrondie au degré)\\ \hline
Plastiques 			&26	&	&\\ \hline
Métaux				&4	&	&\\ \hline
Verre 				&7	&	&\\ \hline
Journaux, magazines	&9	&	&\\ \hline
Cartons				&	&	&\\ \hline
Déchets organiques	&16	&	&\\ \hline
Divers				&24 &	&87\\ \hline
Total				&100&434&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter cette série statistique par un diagramme circulaire
(ne pas oublier la légende).
\item Calculer, en kilogrammes, la masse de déchets produite par jour et par personne (arrondie au centième). On prendra: 1 an $= 365$ jours.
\item En considérant que $45$ millions de Français produisent des déchets, calculer la masse quotidienne totale de déchets produite en France.

Donner le résultat en kilogrammes puis en tonnes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Une société de dépannage à domicile, dans le cadre d'une enquête sur la qualité de ses services, a mesuré le délai (en minutes) de ses interventions.

Le résultat de cette enquête figure ci-après sous forme d'histogramrne.

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(34,20)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(10,7)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,0)(15,12)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](15,0)(20,18)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](20,0)(25,10)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](25,0)(30,3)
\multido{\n=0+2}{11}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(34,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(34,20)
\uput[d](29,-2){Temps (en min.)}\rput{90}(-4,11){Nombre d'interventions}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\small Délai d'intervention&\small Nombre d'interventions ($n$)&\small Centre de classe ($x$)&\small $n \times x$\\ \hline
[5~;~10[&&&\\ \hline
[10~;~15[&&&\\ \hline
[15~;~20[&&&\\ \hline
[20~;~25[&&&\\ \hline
[25~;~30[&&&\\ \hline
Total&&\cellcolor[gray]{0.2}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien d'interventions ont lieu dans un délai de moins de vingt 
minutes ?
		\item Quel pourcentage du nombre total d'interventions cela représente-t-il ?
		\item Calculer la durée moyenne d'une intervention.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large Troisième partie (obligatoire) Problème \hfill 12 points}
\end{center}

Dans une entreprise, on transfère le liquide contenu dans un réservoir B vers un réservoir A à l'aide d'une pompe (voir schéma ci-dessous).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9.6,5.1)
%\psgrid
\psline(1.2,3.1)(1.2,0.6)(3.3,0.6)(3.3,3.1)
\psline(1.2,2.2)(3.3,2.2)
\psline(3.3,0.7)(4.1,0.7)
\pscircle(4.45,0.7){0.35}\rput(4.45,0.2){pompe}
\psline(4.8,0.7)(5.1,0.7)(5.1,5)(6.1,5)(6.1,4.9)
\psline[linestyle=dotted](6.1,4.9)(5.9,4.2)
\psline[linestyle=dotted](6.1,4.9)(6.1,4.2)
\psline[linestyle=dotted](6.1,4.9)(6.3,4.2)
\psline(5.8,4.5)(5.8,2.8)(8.3,2.8)(8.3,4.5)
\psline(5.8,3.7)(8.3,3.7)
\pspolygon*(4.23,0.42)(4.8,0.7)(4.23,1)
\rput(6.9,2.4){réservoir A}\rput(2.1,0.2){réservoir B}
\rput{90}(0.2,1.5){hauteur du liquide}\rput{90}(0.5,1.5){dans le réservoir B}
\rput{90}(8.9,3.4){hauteur du liquide}\rput{90}(9.2,3.4){dans le réservoir A}
\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(1,0.6)(1,2.2)\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(8.5,2.8)(8.5,3.7)
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Après démarrage de la pompe, on constate que la hauteur du liquide dans le réservoir A augmente de 3~centimètres par minute.

Le réservoir A est vide au départ.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps (en min)						&0&10	&20&30	&40	&50\\ \hline
Hauteur de liquide dans A (en cm)	&0&		&60&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On appelle $x$ le temps de fonctionnement de la pompe (en minutes) et $f(x)$ la hauteur de liquide (en centimètres) dans le réservoir A.

Parmi les expressions suivantes, quelle est celle correspondant à la fonction $f$ :

\[f(x) = - 2x\quad;\quad  J(x) = 3x + 20\quad;\quad f(x) =3x \]

\item Dans le repère ci-après, représenter graphiquement la fonction $f$ pour $x$
variant de $0$ à $50$.

\textbf{Unités graphiques :} Abscisse : 1 cm représente 5 minutes.

\phantom{\textbf{Unités graphiques :}}Ordonnée : 1 cm représente 10 cm de liquide.


\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-5,-8)(80,200)
\uput[r](0,195){Hauteur de liquide en cm}
\uput[d](68,0){Temps en min.}
\uput[d](50,0){B}\uput[l](0,200){A}\uput[d](5,0){\small 5}\uput[l](0,10){\small 10}
\multido{\n=0+2.5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,200)}
\multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,200)}
\multido{\n=0+5}{41}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(80,\n)}
\multido{\n=0+10}{21}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](0,\n)(80,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=210]{->}(0, 0)(0,0)(80,200)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](0,200)(50,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\item  La fonction $f$ est-elle affine ou linéaire? Pourquoi? 
\item  Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour obtenir une hauteur d'eau de $75$~cm dans le réservoir A.

Faire apparaître les tracés sur le graphique et noter la réponse sur la copie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur le graphique, le segment [AB] représente la diminution de la hauteur du liquide dans le réservoir B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau ci-dessous. Le compléter en utilisant le graphique.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps (en min) 						&0 	&10	&	&40	&\\ \hline
Hauteur de liquide dans B (en cm)	&200&	& 80&	& 0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On appelle $x$ le temps de fonctionnement de la pompe (en minutes) et $g(x) $la hauteur de liquide (en centimètres) dans le réservoir B.

Parmi les expressions suivantes, quelle est celle correspondant à la fonction $g$ :

\[g(x) = -4x ;\quad  g(x) =3x + 200 ;\quad  g(x) = -4x + 200.\]

\item La fonction $g$ est-elle affine ou linéaire ? Pourquoi ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour obtenir la même hauteur dans les deux réservoirs.
		\item Faire apparaître les tracés sur le graphique et noter la réponse sur la copie.
		
Quelle est cette hauteur ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}