\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,booktabs} %\usepackage{scratch3} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{colortbl} %\definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}% \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{pst-eucl} \usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl \usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pst-slpe,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,pgfplots} \usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{colortbl} \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet technologique}, pdftitle = {Année 2000}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Brevet - série technologique} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Métropole gr. Est} \lfoot{\small septembre 2000} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet - Métropole gr. Est série technologique ~\decofourright\\[7pt] septembre 2000}} \smallskip \textbf{\large PREMIÈRE PARTIE (obligatoire) Calcul numérique - 12 POINTS}\end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip La hauteur $h$ d'un cône est donnée par la formule: $h = \dfrac{3V}{\pi R^2}$. $V$ est le volume du cône. $R$ le rayon de la base. Calculer $h$ au cm près pour $V = 753,6$ cm$^3$ et $R = 12$ cm (on prendra : $\pi \approx 3,14$). \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Compléter après avoir effectué les calculs. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $a$ &$2a$ &$a^2$ &$2a^2$ &$(2a)^2$\\ \hline 2 & & & &\\ \hline $- 3$ & & & &\\ \hline &$\dfrac43$ & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Un baril de lessive LAVAX de 3 kg est affiché 26,40~F. Une réduction de 3 F est accordée à la caisse. À combien revient un kilogramme de lessive Lavax ? \item Sur un baril de lessive BLANCO on peut lire \og 3 kg plus 10\,\% gratuit \fg. Combien de kilogrammes de lessive contient le baril ? \item Si le baril BLANCO coûte 26,40 F, quel est le prix d'un kilogramme de cette lessive ? \item Si on compare les prix par kilogramme de lessive, quel est le baril le plus avantageux ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 4} \medskip Développer et réduire les expressions suivantes : \medskip $A =2 (x - 3y) +3 (x + 4y)$ ; \smallskip $B=(x - 2)^2$. \medskip \textbf{Exercice 5} \medskip Résoudre dans $\R$ les équations suivantes : \medskip \begin{enumerate} \item $5x - 3= 2x + 9.$ \item $\dfrac x2 + 3 = 10$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{\large DEUXIÈME PARTIE (au choix) STATISTIQUES - 12 POINTS}\end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip Les diagrammes en secteurs circulaires ci-dessous donnent la répartition du transport en France en 1986 et 1996. \begin{minipage}{0.48\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(2,4.8) \pscircle(0,0){1.5} \psline(1.5;-30)\psline(1.5;30.4)\psline(1.5;226.2) \rput(2.5;0){\begin{tabular}{c} 27,4\\(voies\\navigables)\end{tabular}} \rput(2.3;120){\begin{tabular}{c} 89,2\\(route)\end{tabular}} \rput(2.2;272){\begin{tabular}{c} 47,2\\(chemin de fer)\end{tabular}} \rput(3;90){\begin{tabular}{c} Trafic en 1986\\en milliard de tonnes\end{tabular}} \end{pspicture} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(2,4.8) \pscircle(0,0){1.5} \psline(1.5;0)\psline(1.5;34.56)\psline(1.5;284.04) \rput(3;90){\begin{tabular}{c} Trafic en 1996\\en milliard de tonnes\end{tabular}} \rput(2.5;15){\begin{tabular}{c} 9,6\,\%\\(voies\\navigables)\end{tabular}} \rput(2.3;130){\begin{tabular}{c} 69,3\,\%\\(route)\end{tabular}} \rput(2.5;-32){\begin{tabular}{c} (chemin\\de fer)\end{tabular}} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de ces graphiques, compléter les tableaux suivants, arrondir les résultats à 0,1 près et détailler les calculs. \begin{enumerate} \item ~ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 1986 &Route &Chemin de fer &Voies navigables &Total\\ \hline Trafic en milliards de tonnes &89,2 &47,2 &27,4 &\\ \hline Pourcentages & & & &100\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Écrire les calculs. \item~ \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 1996 &Route &Chemin de fer &Voies navigables &Total\\ \hline Trafic en milliards de tonnes &158,3 &\cellcolor[gray]{0.2} & &228,4\\ \hline Pourcentages &69,3 & &9,6 &100\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Écrire les calculs. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item De combien de milliards de tonnes le transport par route a-t-il augmenté de 1986 à 1996 ? \item Calculer le pourcentage d'augmentation du transport par route par rapport à 1986 (à 0,1 près). \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Le tableau statistique ci-dessous donne la répartition des élèves d'une école suivant leur taille en centimètres. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Taille(cm) & [100~;~110[ & [110~;~120[& [120~;~13O[ & [130~;~14O[ & [140~;~150[ &Total\\ \hline Effectifs & 12 &20 &35 &27 &8 &102\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Combien d'élèves mesurent au moins 120cm ? Combien d'élèves mesurent moins de 140cm ? Combien d'élèves mesurent entre 110 et 140cm ? \item Tracer l'histogramme de cette série. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{\large DEUXIÈME PARTIE (au choix) GÉOMÉTRIE -- 12 POINTS}\end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,5.6) %\psgrid %%sapin \psline[linewidth=2pt](1.8,0.4)(1.8,4.9)%DS \pscspline(1.8,2.85)(1.7,2.9)(0.3,2.6)(0.25,2.7)(1.5,3.5)(1.55,3.6)(0.5,3.3)(0.3,3.4)(0.8,3.5)(1.5,4.)(1.55,4.1)(0.6,4.1)(0.5,4.1)(1.5,4.4)(1.8,4.9)(2.1,4.4)(3.1,4.1)(2.1,4)(2.8,3.4)(3.2,3.3)(2.2,3.2)(3.3,2.8)(1.8,2.85) %%fin sapin \psline[linestyle=dashed](1.8,4.9)(8.5,0.4)(0,0.4)%SB \psline[linestyle=dashed](5.8,2.2)(1.8,2.2)%OH \pscircle(5.8,2.2){0.25}\uput[r](5.8,2.2){O}\uput[l](1.8,2.2){H} \psline(5.8,2.2)(5.8,0.4)\uput[d](5.8,0.4){A} \psline{cc-*}(5.8,1.7)(5.5,1.4)\psline{cc-*}(5.8,1.7)(6.1,1.4) \psline{cc-*}(5.8,1)(5.5,0.4)\psline{cc-*}(5.8,1)(6.1,0.4) \psframe(1.8,2.2)(2,2.4)\psframe(1.8,0.4)(2,0.6)\uput[d](1.8,0.4){D}\uput[u](1.8,4.9){S} \uput[d](8.5,0.4){B} \psarc(5.8,2.2){0.7}{147}{180} \end{pspicture} \end{center} \smallskip Une personne observe le sommet S d'un arbre. Elle mesure OA $= 1,5$ m OH = 6 m \qquad AB = 3 m. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la distance BD. \item Calculer la hauteur SD de l'arbre. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{SOH}}$ (au degré près). \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip ABCD est un carré de côté 4 cm. Compléter la figure en traçant à l'extérieur du carré un triangle équilatéral AED et un demi-cercle de diamètre [BC]. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,4.6) \psframe(0.2,0.2)(4.2,4.2) \uput[ul](0.2,4.2){A} \uput[ur](4.2,4.2){B} \uput[dr](4.2,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D} \end{pspicture} \end{center} \medskip Calculer : \begin{enumerate} \item La longueur du demi-cercle (au mm près). \item Le périmètre de la figure obtenue (au mm près). \item L'aire du demi-disque (au cm$^2$ près). \item L'aire totale de la figure (au cm$^2$ près), sachant que le triangle EAD a une aire de 7 cm$^2$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{\large TROISIÈME PARTIE (au choix) PROBLÈME -- 12 POINTS}\end{center} \medskip Une séance de cinéma coûte 40 F. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de séances&0&1&&8&\\ \hline Prix en F&&&240&&400\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Soit $x$ le nombre de séances et $y$ le prix correspondant. \item Exprimer $y$ en fonction de $x$. \item Tracer sur la figure de l'annexe la représentation graphique de la fonction qui à $x$ associe $y = 40x$. \item Il est possible d'acheter une carte d'abonnement qui permet de payer chaque séance demi-tarif. La droite tracée sur la figure ci-dessous représente, pour quelqu'un qui bénéficie d'une carte d'abonnement, la somme payée en fonction du nombre de séances. À l'aide de ce graphique, compléter: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Nombre de séances&0&5&7&\\ \hline Prix en F&&&&300\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item À l'aide du tableau ci-dessus, déduire le prix de la carte d'abonnement. \item Trouver graphiquement sur la figure ci-après l'abscisse du point d'intersection des deux droites. Vérifier par le calcul en résolvant cette équation où $x$ représente le nombre de séances: \[40x = 20x + 120.\] \item En déduire le nombre de séances au-delà duquel il est intéressant de prendre une carte d'abonnement. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large ANNEXE} \bigskip \psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0375cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-20)(18,420) \multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,420)} \multido{\n=0+5}{4}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,420)} \multido{\n=0+20}{22}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)} \multido{\n=0+100}{5}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(18,420) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(1.5,25) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](0,120)(15,410) \uput[u](15.5,0){Nombre de séances} \uput[r](0,415){Prix (en francs)} \end{pspicture} \end{center} \end{document}