\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,booktabs} %\usepackage{scratch3} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} %\definecolor{scrmovedddd}{HTML}{3373cc}% \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{pst-eucl} \usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl \usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pst-slpe,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pgf,tikz,pgfplots} \usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{colortbl} \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Brevet technologique}, pdftitle = {Année 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Brevet - série technologique} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Polynésie} \lfoot{\small septembre 2007} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet - Polynésie série technologique~\decofourright\\[7pt] septembre 2007}} \smallskip \textbf{\Large PREMIÈRE PARTIE (obligatoire) ACTIVITÉS NUMÉRIQUES\\[7pt] 12 POINTS}\end{center} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer et donner le résultat sous forme d'une fraction la plus simple possible: \[A = \dfrac83 - \dfrac43 \times \dfrac52 \qquad \qquad B = \dfrac13 + \left(\dfrac56 - \dfrac12 \right).\] \item Calculer $C$ et $D$. Donner les résultats en écriture scientifique et en écriture décimale: \[C = 8 \times 10^{-2} \times 4 \times 10^5\qquad \qquad D = 15,3 \times 10^{-2} + 32 \times 10^{-3}.\] \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip On considère les expressions suivantes : \[E = (x - 7)(x + 7) \qquad \qquad F = (2x + 3)^2 \qquad \qquad G = (x + 5)(2x - 3)\] \begin{enumerate} \item Développer et réduire les expressions $E,\, F$ et $G$. \item Calculer $E,\, F$ et $G$ pour $x = 2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre le système suivant : $\left\{\begin{array}{l c l} x+y &=&\np{20700}\\ x-y &=&\np{1400}\\ \end{array}\right.$ \item Manuarii et Teiva sont deux frères, Chaque samedi ils travaillent ensemble dans les jardins du voisinage. À la fin de l'année scolaire ils ont économisé chacun une somme d'argent. On appelle $x$ la somme que possède Manuarii à la fin de l'année et $y$ celle de Teiva. \begin{enumerate} \item Traduire les phrases suivantes par deux équations avec $x$ et $y$. À eux deux les frères possèdent \np{20700}~FCP. Teiva possède à la fin de l'année \np{1400}~FCP de moins que Manuarii. \item Donner la somme économisée par Manuarii et celle de Teiva. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large DEUXIÈME PARTIE (au choix ) A - STATISTIQUES \hfill 12 POINTS}\end{center} \medskip Les données utilisées dans cette partie sont issues du recensement de 2002 de la population polynésienne (source ISPF). Quelques modifications ont été nécessaires pour simplifier les calculs. \medskip \begin{enumerate} \item On donne la répartition de la population en fonction de l'âge dans le tableau suivant, qu'il faudra compléter au fur et à mesure des questions : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Âge &De 0 à 19 ans &De 20 à 39 ans &De 40 à 59 ans&Plus de 60 ans&Total\\ \hline Effectif &\np{97930} &\np{78344} &\np{48965}&\np{19586}& \\ \hline Fréquence en \,\% & &&&8&100 \\ \hline Angle en degré (arrondi à l'unité)&$144\degres$&&&&$360\degres$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier par un calcul que le nombre de polynésiens en 2002 est égal à 244 825. \item Calculer, en donnant les détails, le pourcentage de polynésiens âgés de 0 à 19 ans. \item Compléter la ligne des fréquences en pourcentage sur le tableau. \end{enumerate} \item On veut construire un diagramme circulaire représentant la répartition de la population suivant l'âge, \begin{enumerate} \item Calculer, en donnant les détails, l'angle représentant les polynésiens âgés de plus de 60 ans. Arrondir au degré près. \item Compléter la ligne des angles dans le tableau précédent de cette feuille. Arrondir au degré près. \item Tracer le diagramme circulaire en utilisant un cercle de rayon 4 cm. Ne pas oublier les légendes. \end{enumerate} \item D'après ces données, que peut-on dire, en une phrase, de la population polynésienne? \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{\Large DEUXIÈME PARTIE (au choix ) B - GÉOMÉTRIE \hfill 12 POINTS}\end{center} \medskip \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{minipage}{0.45\linewidth} L'unité est le centimètre. On considère le triangle ABC tel que : AB = 10,4\quad AC = 9,6\quad BC = 4. La figure ci-contre n'est pas à l'échelle. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.53\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3.4) \pspolygon(0.2,0.2)(6.5,0.8)(2,3.2)%ABC \uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[r](6.5,0.8){B} \uput[u](2,3.2){C} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Tracer sur votre feuille une figure avec les vraies mesures, en laissant les traits de construction. \item Calculer AB$^2$, AC$^2$ et BC$^2$. \item En déduire que le triangle ABC est rectangle. Préciser en quel point. \item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ et en déduire une mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$, arrondie au degré près. \item En déduire une mesure de l'angle $\widehat{\text{CAB}}$ au degré près. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip La figure ABCDEFGHIJKL ci-dessous est à l'échelle $\dfrac18$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(14,10) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \pspolygon(1,4)(5,4)(5,3)(9,3)(9,4)(11,4)(13,6)(9,6)(9,7)(5,7)(5,6)(3,6) \uput[dl](1,4){L} \uput[dl](5,4){K} \uput[dl](5,3){J} \uput[dr](9,3){I} \uput[dr](9,4){H} \uput[dr](11,4){G} \uput[ur](13,6){F} \uput[ur](9,6){E} \uput[ur](9,7){D} \uput[ul](5,7){C} \uput[ul](5,6){B} \uput[ul](3,6){A} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau sur cette feuille. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &AB &BC &BE &DE &EF\\ \hline Longueur sur la figure & 1cm &0,5 cm &2 cm &0,5 cm & 2 cm\\ \hline Longueur dans la réalité& & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Pour calculer l'aire de la figure en vraie grandeur, on propose le découpage suivant: \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(14,10) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange] \pspolygon(1,4)(5,4)(5,3)(9,3)(9,4)(11,4)(13,6)(9,6)(9,7)(5,7)(5,6)(3,6) \uput[dl](1,4){L} \uput[dl](5,4){K} \uput[dl](5,3){J} \uput[dr](9,3){I} \uput[dr](9,4){H} \uput[dr](11,4){G} \uput[ur](13,6){F} \uput[ur](9,6){E} \uput[ur](9,7){D} \uput[ul](5,7){C} \uput[ul](5,6){B} \uput[ul](3,6){A} \psline(3,6)(3,4)\psline(11,4)(11,6)\uput[d](3,4){A$'$}\uput[u](11,6){G$'$} \psline(5,7)(5,3)%CJ \psline(9,7)(9,3)%DI \rput(7,0){La figure proposée n'est pas en vraie grandeur} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer l'aire de CDIJ en cm$^2$. \item Calculer l'aire de FGG$'$ en cm$^2$. \item Calculer l'aire de EG$'$GH en cm$^2$. En déduire l'aire de la figure ABCDEFGHIJKL en cm$^2$. On donne les formules suivantes : Aire d'un carré = côté $\times$ côté \phantom{On donne les formules suivantes :} Aire d'un rectangle =longueur $\times$ largeur \phantom{On donne les formules suivantes :}Aire d'un triangle $= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center} \textbf{\Large TROISIÈME PARTIE (au choix ) PROBLÈME \hfill 12 POINTS}\end{center} \medskip Un fournisseur d'accès Internet propose deux formules d'abonnement à ses clients: Formule A: l'heure de connexion est à 900 FCP. Formule B : un abonnement de 4000 FCP par mois et chaque heure est facturée 500 FCP. \medskip \begin{enumerate} \item Teiki se connecte 6 heures par mois. \begin{enumerate} \item Calculer en détaillant, ce qu'il doit payer s'il choisit la formule A. \item Donner ce qu'il doit payer s'il choisit la formule B. \item Quelle formule est la plus avantageuse pour lui ? Justifier. \end{enumerate} \item Remplir le tableau suivant, sur cette feuille : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps de connexion par mois en heures&0 heure &6 heures& 12 heures& 15 heures\\ \hline Prix à payer avec la formule A &&&&\\ \hline Prix à payer avec la formule B &&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Poerava a choisi la formule A. On appelle x le nombre d'heures de connexion. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ le prix à payer par Poerava \item Le mois dernier, Poerava a payé \np{6300}~FCP. Donner la durée de connexion de Poerava. \end{enumerate} \item Poema a choisi la formule B. On appelle $x$ le nombre d'heures de connexion. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ le prix à payer par Poema. \item Le mois dernier, Poema a payé \np{10500} FCP{}.\, Donner la durée de connexion de Poerava. \end{enumerate} \item On souhaite désormais représenter dans un repère le prix à payer pour chacune des deux formules. \begin{enumerate} \item Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal en prenant pour unités: 1 cm pour une heure de connexion sur l'axe des abscisses 1 cm pour \np{1000} FCP sur l'axe des ordonnées On placera l'origine en bas et à gauche. \item On considère désormais les droites (D1) : $y = 900x$ et (D2) : $y = 500x + \np{4000}$ . On admet qu'elles représentent le prix à payer avec chacune des deux formules. \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Tracer ces deux droites dans le repère précédent. \item À quelle formule est associée la droite (D2): $y = 500x+ \np{4000}$ ? Justifier. \item À l'aide du graphique, déterminer le nombre d'heures de connexion pour lequel les deux formules conduisent au même prix. Laisser les traits de construction apparents. \end{itemize} \end{enumerate} \item Résoudre l'équation \[900x = 500x + \np{4000}.\] Que représente la solution obtenue ? \end{enumerate} \end{document}