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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des  collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers}} 
\rfoot{\small{juin 2009}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2009 \decofourright\\ 
Centres étrangers I}}\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

Calculatrice autorisée \hfill 2 heures 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1}
 
\medskip

\emph{Pour les questions $1$ et $2$ écrire les différentes étapes de calcul.} 

\medskip

On pose
	
\medskip
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{2}{15} \times\dfrac{9}{4}$ & $B = \dfrac{25 \times 10^6 \times 3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^2}$ & $C = 3\sqrt{72} - 5 \sqrt{2}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible. 
\item Calculer $B$ et donner une écriture scientifique du résultat, puis une écriture décimale de ce résultat. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la valeur décimale arrondie au millième de $C$. 
		\item  Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt{2}$ où $a$ est un entier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2}
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Développer $(x- 1)^2$. 

Justifier que $99^2 = \nombre{9801}$ en utilisant le développement précédent. 
\item Développer $(x -1)(x+ 1)$.
 
Justifier que $99 \times 101 = \nombre{9999}$ en utilisant le développement précédent.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 3}
 
\medskip
  
Durant une compétition d'athlétisme, les 7 concurrents ont couru les 200~m avec les temps suivants (en secondes) : 

\[20,25~~ ;~~ 20,12 ~~;~~ 20,48 ~~;~~ 20,09 ~~;~~20,69~~;~~ 20,19~~  \text{et}~~ 20,38. \]
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'étendue de cette série ? 
\item Quelle est la moyenne de cette série (arrondie au centième) ? 
\item Quelle est la médiane de cette série ? 
\item Quelle est la vitesse moyenne de l'athlète classé premier, en mètres par seconde (m/s), (arrondie au millième) ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques}\hfill 12 points} 

\medskip
 
\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

Soient un cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 5~cm, [AB] un diamètre de ce cercle et M un point de $\mathcal{C}$ tel que BM = 4,2~cm. 
\begin{enumerate}
\item Faire une figure. 
\item Montrer que ABM est un triangle rectangle. 
\item Quelles sont les mesures, arrondies au degré, des angles $\widehat{\text{ABM}}$ et $\widehat{\text{AOM}}$ ? 
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2 :} \emph{Dans cet exercice toutes les dimensions sont données en cm. }

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(8,8)
\pspolygon(0,0)(5.6,0)(7.7,2.6)(3.85,7.2)
\psline(1.6,3.1)(4.85,3.1)(6.1,4.5)
\psline(5.6,0)(3.85,7.2)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](5.6,0){B} \uput[ur](7.7,2.6){C} \uput[l](2.1,2.6){D} 
\uput[l](1.65,3.1){A$'$} \uput[r](4.85,3.1){B$'$} \uput[r](6.1,4.5){C$'$} \uput[ur](2.85,4.5){D$'$} 
\uput[u](3.85,7.2){S}\uput[d](3.85,1.3){O}
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(2.1,2.6)(7.7,2.6)%ADC
\psline[linestyle=dashed](5.6,0)(2.1,2.6)(3.85,7.2)(3.85,1.3)%BDSO
\psline[linestyle=dashed](1.65,3.1)(6.1,4.5)(2.85,4.5)(4.85,3.1)%A'C'D'B'
\psline[linestyle=dashed](1.65,3.1)(2.85,4.5) 
\end{pspicture}}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{La pyramide SABCD ci-contre est telle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item la base ABCD est un carré de centre O tel que AC = 12. 
\item les faces latérales sont des triangles isocèles en S. 
\item la hauteur [SO] mesure 8.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
(la figure n'est pas aux dimensions réelles) }

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Dans le triangle SOA rectangle en O, montrer que SA = 10. 
\item Sachant que AB $= 6\sqrt{2}$, montrer que l'aire du carré ABCD est 72 cm$^2$. 
\item Montrer que le volume de la pyramide SABCD est égal à 192~cm$^3$. 
\item Soient A$'$ un point de [SA] et B$'$ un point de [SB] tels que SA$'$ =  SB$'$ = 3. Montrer que (AB) et (A$'$B$'$) sont parallèles. 
\item La pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une réduction de la pyramide SABCD, calculer le coefficient de réduction. 
\item Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points} 

\medskip
 
Pour la saison 2008-2009, le théâtre \og MODECIA \fg{} propose les tarifs suivants :

\medskip

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item Tarif A : 150~\euro{} la carte permettant d'assister à tous les spectacles. 
\item Tarif B : 75~\euro{}  l'abonnement pour la saison qui permet d'acheter une place pour 6~\euro.
\item Tarif C : 19~\euro{}  la place \og  plein tarif \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau figurant dans l'annexe 1, qui sera à remettre avec votre copie. 
\item  Si $x$ est le nombre de spectacles auxquels Marc assiste durant la saison, écrire, en fonction de $x,~ P_{\text{A}}(X),~ P_{\text{B}}(x)$ et $P_{\text{C}}(x)$, le prix que devrait payer Marc, suivant le tarif utilisé. 
\item  Parmi ces trois fonctions y a-t-il une fonction linéaire ? Si oui laquelle ? 
\item  Dans l'annexe 2, qui sera à remettre avec votre copie, on a tracé les représentations graphiques $\left(T_{\text{A}}\right)$ et $\left(T_{\text{C}}\right)$ des fonctions  $P_{\text{A}}$ et $ P_{\text{C}}$. Tracer la représentation graphique $\left(T_{\text{B}}\right)$ de la fonction $P_{\text{B}}$ dans le repère de l'annexe 2. 
\item  Si on dispose de 100~\euro, lire graphiquement le nombre de spectacles auxquels on peut assister avec le tarif C (laisser apparaître les tracés sur le graphique). 
\item  Retrouver graphiquement le tarif le plus intéressant pour voir huit spectacles. 
\item  Résoudre l'inéquation : 	$19x > 6x + 75$.
 
En déduire le nombre de spectacles pour lequel le tarif B est plus intéressant que le tarif C. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

\textbf{À remettre avec la copie}

\begin{flushleft} \textbf{Problème :}\end{flushleft} 

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de spectacles&3	&8	&14\\ \hline
Tarif A				&	&	&\\ \hline
Tarif B				&	&	&\\ \hline
Tarif C				&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.075cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(15.5,170)
\multido{\n=0.0+0.5}{32}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,170)}
\multido{\n=0+5}{35}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(15.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(15.5,170)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(15.5,170)
\psline(0,150)(15.5,150)
\psline(0,0)(8.94737,170)
\uput[d](14.5,150){$T_{\text{A}}$} \uput[r](9,170){$T_{\text{C}}$}
\uput[d](15.5,0){$x$} \uput[l](0,170){$y$}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}