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%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\septembre 2009}}

\vspace{0,5cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip
 
Un traiteur propose différents types de repas allant de la formule \og sandwich-boisson \fg{} à 5 \euro{} au \og repas tout compris \fg{} à 23~\euro.
 
Le graphique ci-dessous représente le nombre de repas vendus en avril 2008 en fonction de leur prix de vente.

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.09cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(25,60)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5](0,0)(25,55)
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(25,\n)}
\uput[d](12.5,-5){Prix de vente en euros}
\rput{90}(-2,27.5){Nombre de repas vendus}
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.9,0)(5.1,40)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.9,0)(8.1,30)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.9,0)(10.1,20)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](11.9,0)(12.1,50)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](14.9,15)(15.1,15)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](17.9,0)(18.1,20)
\psframe*[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](22.9,0)(23.1,35)
\rput(12.5,60){MOIS D'AVRIL }
\end{pspicture} 

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau des effectifs suivants: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{7}{X|}}\hline
Prix en euros &&&&&& \\ \hline%
Nombre de repas vendus&&&&&& \\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip

\item  Calculer le chiffre d'affaires réalisé par le traiteur au mois d'avril 2008 pour la vente de ces repas. 
\item  Quel est le prix moyen d'un repas vendu au cours de ce mois? 

 
\item Au hasard, on choisit un repas vendu en avril 2008.
 
On considère les évènements:
 
A : \og le prix de vente de ce repas est de 15~\euro \fg
 
B : \og le prix de vente de ce repas est d'au moins 10~\euro \fg 

C : \og le prix de vente de ce repas n'atteint pas le prix moyen du mois \fg.
 
On donnera les résultats demandés dans cette question sous la forme d'une fraction irréductible. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements A, B et C. 
		\item Traduire par une phrase chacun des évènements $\overline{\text{B}}$ et B~$\cap$~C, puis en donner la probabilité.
	\end{enumerate} 
\item On choisit un repas vendu en avril 2008 dont le montant est inférieur ou égal à 18~\euro.
 
Quelle est, arrondie à $10^{-2}$ près, la probabilité de l'évènement D : \og Le repas ne fait pas partie des formules \og sandwich-boisson \fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45 kilogrammes de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On désigne par $x$ le nombre de kilogrammes de truffes traités chaque semaine et par $f(x)$ le coût unitaire de revient en euros.
 
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle ]0~;~45] et sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ est la suivante :

\psset{xunit=0.1250cm,yunit=0.0065cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-7.5,-100)(90,1100)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(90,1100)
\multido{\n=0.0+2.5}{37}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,1100)}
\multido{\n=0+50}{23}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(90,\n)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000]{0}{45}{x dup mul 60 x mul sub 975 add}
\uput[u](75,0){$x$ en kilogrammes}
\uput[r](0,1050){$y$ en euros}\uput[u](11.25,440){\textcolor{blue}{$\mathcal{C}_{f}$}}
\end{pspicture}
\end{center} 


Estimer à l'aide du graphique :
 
\begin{enumerate}
\item  le coût unitaire de revient lorsque l'entreprise conditionne 10~kilogrammes de truffes; 
\item  le nombre de kilogrammes traités si le coût unitaire de revient est 300~\euro{} ; 
\item le nombre de kilogrammes à conditionner pour que le coût unitaire de revient soit minimal. Quel est alors ce coût?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450~\euro.
 
On admet dans la suite du problème, que la fonction $f$ est définie sur ] 0~;~45] par :
\[ f(x) = x^2 - 60 x + 975\] 
\begin{enumerate}
\item Justifier que le coût de production total $C(x)$ pour $x$ kilogrammes de truffes est :

\[C(x) = x^3 - 60x^2 + 975 x.\]
	 
\item  Exprimer le bénéfice $B(x)$ réalisé par le fabricant pour $x$~kg de truffes conditionnés et vendus. 
\item Déterminer la fonction dérivée $B'$ de la fonction $B$ et montrer que 

$B'(x) = (- 3 x + 15)(x - 35)$. 
\item Étudier le signe de $B'(x)$.
 
En déduire le tableau de variations de la fonction $B$. 
\item  Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	& 5 &10 &15 &20 &25 &30	&35 &40 &45  \\ \hline%
$B(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip

\item  Représenter la fonction $B$ dans un repère orthogonal (O~;~I~;~J) (unités : 1~cm pour 5~kg en abscisse et 1~cm pour \nombre{1000}~\euro{} en ordonnée). 
\item  À l'aide du graphique, déterminer pour quelles productions de truffes l'exploitation est bénéficiaire ? 
\item Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du fabricant est-il maximal ? Quel est alors ce bénéfice maximal? 
\end{enumerate}

\end{document}