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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat Hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\septembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En 2002, une enquête sur les habitudes alimentaires a été effectuée auprès de \nombre{2000}~personnes, réparties selon quatre classes d'âge (les 12-17 ans, les 18-24 ans, les 25-44 ans, les 45-64 ans). 

Recopier et compléter le tableau, sans justifier, sachant que :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Les 12-17 ans représentent $\dfrac{1}{5}$ des personnes interrogées. 
\item[$\bullet~$] Les 25-44 ans représentent 25\:\% des personnes interrogées. 
\item[$\bullet~$] 30\:\% d'entre elles mangent du poisson au moins deux fois par semaine. 
\item[$\bullet~$] Parmi les 700~personnes qui ont entre 45 et 64 ans, 392 mangent du poisson au plus une fois par semaine. 
\item[$\bullet~$] Parmi les 622 personnes qui mangent du poisson au moins deux fois par semaine, 80 ont entre 12 et 17 ans. 
\end{itemize}


\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}p{2cm}|}
\multicolumn{4}{r}{\emph{(Source : Inpes, baromètre santé nutrition $2002$)}}\\ \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Mange du poisson au moins deux fois par semaine& Mange du poisson au plus une fois par semaine&Total \\ \hline
12-17 ans 	&80	&	&400 \\ \hline
18-24 ans	&	&	&  \\ \hline
25-44 ans	&	&	&  \\ \hline
45-64 ans	&	&	&  \\ \hline
TOTAL		&622&	&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On interroge au hasard une personne parmi les \np{2000} ayant participé à l'enquête. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. On considère les évènements suivants : 

\begin{itemize}
\item $A$ : \og la personne interrogée mange du poisson au moins deux fois par semaine \fg 
\item $B$ : \og la personne interrogée a entre 12 et 17 ans \fg
\end{itemize} 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités $p(A)$ et $p(B)$. Les résultats seront donnés sous forme décimale exacte.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$ ; calculer sa probabilité. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$ ; calculer sa probabilité.
	\end{enumerate} 
\item On interroge au hasard une personne parmi les 12-17 ans. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Déterminer la probabilité $p_{1}$ que la personne interrogée mange du poisson au moins deux fois par semaine. 
\item On interroge au hasard une personne parmi celles qui mangent du poisson au moins deux fois par semaine. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Déterminer la probabilité $p_{2}$ que la personne interrogée ait entre 45 et 64 ans (arrondir à $10^{-2}$ près). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Nuage de points}

\medskip
 
Dans une étude effectuée entre 1970 et 2004 par l'\textbf{\emph{International Obesity TaskForce}}, à propos du surpoids chez les enfants anglais âgés de 7 à 11~ans, apparaissent les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5,2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 			&1974 	&1984 	&1994 	&1998 	&2002\\ \hline 
Rang : $x_{i}$	&4 		&14 	&24 	&28 	&32 \\ \hline
Pourcentage d'enfants souffrant de problème de poids : $y_{i}$& 7\:\%&8\:\% &13\:\% &20\:\% &27\:\% \\ \hline
\multicolumn{6}{l}{Le rang $x = 0$ représente l'année 1970}
\end{tabularx}

\medskip

Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$ de cette série statistique dans le repère orthogonal fourni en annexe. 

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur I $ =  [0~;~+ \infty[$ par : 
 
\[f(x) = \text{exp}\left(0,001x^2+0,018x + 1,7\right)~ \text{que l'on notera :}~f(x) = \text{e}^{0,001x^2 + 0,018x + 1,7}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 

Montrer que la fonction dérivée de $f$ est donnée par 

$f'(x) =  (0,002x +0,018)\text{e}^{0,001x^2 + 0,018x + 1,7}$. 

Étudier le signe de $f'(x)$ sur I. 
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur I. 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques suivant ; on fera figurer les valeurs arrondies à $10^{-1}$ près. 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&4 	&10	&14	&20	&24	&28 &32 &34 &36 &38 &40 &42\\ \hline
$f(x)$ 	&	&6	&	&	&	&15	&	&	&	& 	& 	&	&68\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le même repère que le nuage de points sur l'\textbf{annexe}. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Application}

\medskip
 
On admet que $f(x)$ fournit une bonne approximation du pourcentage d'enfants souffrant d'un problème de poids, lorsque le rang de l'année est compris entre 0 et 42.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Par le calcul, déterminer quel serait le pourcentage d'enfants souffrant d'un problème de poids en 2007 ? 
\item Par lecture graphique, déterminer en quelle année plus de la moitié des enfants souffrirait d'un problème de poids. Faire apparaitre les traits de construction utiles sur le graphique.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(50,85)
\multido{\n=0.0+0.2}{251}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+2}{26}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,80)}
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\rput(25,82.5){\large ANNEXE  Exercice \no 2}
\uput[d](50,0){$x$}\uput[l](0,80){$y$}
\end{pspicture}
\end{landscape}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%