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%Tapuscrit : Denis Vergés
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\juin 2013}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Un hôtel propose trois formules d'hébergement : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] nuit avec petit-déjeuner ; 
\item[$\bullet~~$] demi-pension ; 
\item[$\bullet~~$] pension complète.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le directeur de l'hôtel s'intéresse aux durées des séjours de ses clients pendant l'année 2012 et les classe en deux catégories : séjour d'une semaine ou moins, ou séjour de plus d'une semaine.
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]\np{5000} clients ont fréquenté l'hôtel en 2012 ;
\item[$\bullet~~$]65\,\% des clients ont séjourné une semaine ou moins ; 
\item[$\bullet~~$]18\,\% des clients ont séjourné en pension complète ; 
\item[$\bullet~~$]\np{3800} clients ont choisi la demi-pension, et parmi ceux-ci, 30\,\% sont restés plus d'une semaine ; 
\item[$\bullet~~$]420 clients ont séjourné en pension complète pendant plus d'une semaine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\scriptsize Séjours &\scriptsize  Nuit avec petit-déjeuner&\scriptsize Demi-pension &\scriptsize Pension complète&
\scriptsize Total\\ \hline 
\scriptsize Une semaine ou moins&&&&\\ \hline 
\scriptsize Plus d'une semaine&&&&\\ \hline 
\scriptsize Total&&&&\np{5000}\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On prélève une fiche au hasard parmi les \np{5000} fiches des clients ayant fréquenté l'hôtel en 2012.
 
Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
 
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
 
$A$ : \og La fiche est celle d'un client qui a séjourné en pension complète \fg{} ; 

$B$ : \og La fiche est celle d'un client qui a séjourné plus d'une semaine \fg{} ;
 
$C$ : \og La fiche est celle d'un client qui a séjourné en formule \og Nuit avec petit-déjeuner \fg pendant une semaine ou moins \fg. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$. Calculer sa probabilité. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$. Calculer sa probabilité.
	\end{enumerate} 
\item On prélève au hasard la fiche d'un client ayant séjourné en pension complète.
 
Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
 
Calculer la probabilité que le client soit resté plus d'une semaine. 

\emph{On donnera le résultat arrondi au millième.} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

Un restaurateur propose chaque jour à midi son \og menu du jour \fg{} au prix de 18~euros. Il accueille quotidiennement entre $2$ et $20$ personnes.
 
On admet que la fonction $c$ dont la courbe est donnée en annexe modélise le coût unitaire de fabrication d'un repas (exprimé en euros) en fonction du nombre de repas servis.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique fourni en annexe : 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de repas à servir pour que le coût unitaire de fabrication d'un repas soit minimal.
		 
Quel est ce coût minimal ? 
	\end{enumerate} À partir de combien de repas servis, le restaurateur fera-t-il un bénéfice ? 
	
Expliquer la démarche mise en œuvre. 
\item On admet que la fonction $c$ représentée en annexe est définie sur l'intervalle [2~;~20] par :
 
\[c(x) = x - 14 + \dfrac{100}{x}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Pour 8 repas fabriqués et servis, calculer le coût unitaire de fabrication d'un repas.
		\item Calculer : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le coût total de fabrication des 8 repas ; 
\item[$\bullet~~$]le chiffre d'affaires obtenu pour ces 8 repas servis; 
\item[$\bullet~~$]le bénéfice ainsi réalisé par le restaurateur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate} 
\item On suppose que $x$ repas sont fabriqués et servis ($x$ entier compris entre $2$ et $20$). 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, en fonction de $x$, l'expression du chiffre d'affaires réalisé. 
		\item Montrer que le résultat réalisé par le restaurateur est égal à : 
		
		$- x^2 + 32x - 100$. 
		
(On rappelle que le résultat représente le chiffre d'affaires diminué du coût)
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [2~;~20] par 

\[f(x) = - x^2 + 32x - 100.\]
 
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [2~;~20]. 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(x)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [2~;~20]. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~20].
	\end{enumerate} 
\item Combien de repas le restaurateur doit-il servir pour réaliser un bénéfice maximal ?
 
Quel est alors ce bénéfice ? 
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à remettre avec la copie) : courbe représentative de la fonction \boldmath $c$ \unboldmath}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(21,40)
\multido{\n=0.0+0.5}{41}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,40)}
\multido{\n=0+2}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.9,-0.9)(21,40)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{20}{x 14 sub 100 x div add}
\uput[r](0,39){Coût unitaire}\uput[dl](0,0){O}  
\uput[u](19.5,0){Nombre de repas }
\end{pspicture} 
\end{center} 
\end{landscape}



\end{document}