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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{22 juin 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Métropole--La Réunion 22 juin 2015}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~10] par

\[f(x) =  120 \text{e}^{- 0,17x}.\]

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~10].

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ fournie en annexe 1 (à rendre avec la copie), résoudre, sur l'intervalle [0~;~10], l'inéquation $f(x) \leqslant 30$, en laissant apparents les traits de construction.
\item Calculer $f'(x)$, où $f'$désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item Justifier que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~10].
\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$, sur l'intervalle [0~;~10], solution de l'équation $f(x) = 30$. Donner une valeur approchée au centième près de~$\alpha$.
\item Justifier les résultats trouvés graphiquement à la question 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un robot a une valeur initiale de 120~euros au 1\up{er} janvier 2014. D'après un fabricant en matériel pour la restauration, la valeur de ce robot peut être modélisée à l'aide de la fonction $f$ précédemment étudiée. Plus précisément, pour $n$ entier, la valeur du robot en euros au 1\up{er} janvier de l'année $(2014 + n)$ est égale à $f(n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur du robot au 1\up{er} janvier 2017.
\item Calculer, en pourcentage, le taux d'évolution de la valeur du robot entre le 1\up{er} janvier 2014 et le 1\up{er} janvier 2017.
\item Peut-on affirmer que \og le 1\up{er} janvier 2020, le robot aura perdu environ 80\,\% de sa valeur initiale \fg{} ?

Justifier la réponse.
\item À l'aide des résultats de la partie A, préciser à partir de quelle année la valeur du robot sera, au 1\up{er} janvier, en dessous de 30 euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

La directrice d'un hôtel restaurant situé dans la baie du Mont-Saint-Michel organise un évènement
promotionnel afin de faire connaître son établissement. Durant une semaine, elle souhaite que le même
message publicitaire soit diffusé plusieurs fois sur les deux radios locales entre l7~h et 19~h afin d'atteindre les personnes rentrant du travail.

Elle se renseigne donc sur les tarifs proposés par ces deux radios locales :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Normand'FM demande 60~euros pour chaque diffusion du message.
\item[$\bullet~~$] Bret'FM, plus écoutée, réclame 150~euros pour chaque diffusion du message.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La directrice dispose, pour cette semaine de campagne publicitaire, d'un budget de \np{2400}~euros. Elle
souhaite que, sur cette période, le message soit diffusé au moins vingt fois.

Elle souhaite également que le nombre des messages diffusés sur Bret'FM soit supérieur ou égal à celui des messages diffusés sur Normand'FM.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Notons $x$ le nombre de messages diffusés sur Normand'FM et $y$ le nombre de messages diffusés sur
Bret'FM durant cette semaine. On admet que $x$ et $y$ sont des entiers positifs qui satisfont le système
d'inéquations suivant :

\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
y &\geqslant & x\\
x + y &\geqslant & 20\\
60x + 150y &\leqslant & \np{2400}
\end{array}\right.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer ce que traduit chacune des trois inégalités précédentes à l'aide des informations données dans l'énoncé.
		\item Vérifier que ce système peut s'écrire également : 

\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
y &\geqslant & x\\
y &\geqslant & 20 - x\\
y &\leqslant &16 - 0,4x
\end{array}\right.\]		

	\end{enumerate}
\item  La droite $D_3$ d'équation : $y = 16 - 0,4x$ est déjà représentée dans le repère orthogonal donné en annexe 2 (à rendre avec la copie).
	
Dans ce même repère, tracer la droite $D_1$ d'équation $y = x$ et la droite $D_2$ d'équation $y = 20 - x$.
\item Hachurer les parties du plan comportant les points dont les coordonnées $(x~;~y)$ \textbf{ne sont pas solutions} du système (S).
\item Déterminer par lecture graphique les huit couples d'entiers positifs solutions du système $(S)$.
\item On estime que, pendant la semaine de diffusion, le nombre d'auditeurs entre l7~h et 19~h sera de \np{21500} sur Normand'FM et de \np{35000} sur Bret'FM.
	\begin{enumerate}
		\item Lorsque 8 messages sont diffusés sur Normand'FM et 12 sur Bret'FM, calculer le nombre total d'écoutes du message publicitaire durant la semaine.
		\item Parmi l'ensemble des possibilités offertes à la directrice, solutions du système $(S)$, laquelle peut-on lui conseiller afin d'assurer un nombre maximal d'écoutes du message publicitaire ? Expliciter la démarche mise en œuvre.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
 
\textbf{\large Annexe 1 à rendre avec la copie}
 
\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(10.5,125)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,120)}
\multido{\n=0+10}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(10.5,125)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(0,0)(10.5,125)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{2.71828 0.17 x mul neg exp 120 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
 
\textbf{\large Annexe 2 à rendre avec la copie}
 
%\vspace{0.25cm}

\textbf{Exercice 2}

\smallskip

\psset{xunit=0.88cm,yunit=0.44cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(21,21)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,21)}
\multido{\n=0+1}{22}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(21,21)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(21,21)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{16 0.4 x mul sub}
\uput[d](19.5,8.2){$D_3$}\uput[u](20.8,0){$x$}\uput[r](0,20.5){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}