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%Tapuscrit : Denis Vergés
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\juin 2007}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

Le directeur d'un hôtel souhaite connaître l'évolution de la fréquentation du site Internet de son établissement. Il consulte les données sur les huit premiers mois de l'année 2006.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Mois &janvier &février &mars &avril &mai &juin &juillet &août \\ \hline
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
Rang $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
Nombre de connexions $y_{i}$ &112 &126 &151 &159 &169 &185 &200 &214\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de connexions entre le mois de janvier et le mois d'août 2006 (arrondir à 1\,\% près). 
\item Représenter graphiquement dans un repère orthogonal (O~;~I,~J) le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique en prenant comme unités :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses : 1~cm pour un mois ; 
\item sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour 10~connexions ; commencer la graduation à $100$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G_{1}$ associé aux quatre premiers mois, et du point moyen $G_{2}$ associé aux quatre derniers mois.
 
Placer ces points sur le graphique puis tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$. 
\item  Montrer qu'une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est $y = 13,75x + 102,625$. 
\item On admet que la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ réalise une bonne approximation du nombre de connexions jusqu'à la fin de l'année 2007. 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, estimer le nombre prévisible de connexions en décembre 2006. 
		\item Déterminer par le calcul durant quel mois on devrait atteindre 500 connexions.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 13 points}

\medskip

\textbf{Partie A (étude mathématique)}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [30~;~120] par :

\[f(x) = 2x - 230 + \dfrac{\np{7200}}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ ; montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme : 

\[f'(x) = \dfrac{2(x - 60)(x + 60)}{x^2}\]
 
\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis construire le tableau de variations sur l'intervalle [30~;~120]. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera les valeurs arrondies à $10^{-1}$ près).
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 		 
$x$& 30 & 40 & 50 & 55 & 60 & 65 & 70 & 90 &120\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&&70\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal pour $x$ appartenant à l'intervalle [30~;~120].
		 
On prendra :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 1 cm pour 10 unités sur l'axe des abscisses,
\item[$\bullet~~$] 1 cm pour 5 unités sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate} 
\item À l'aide du graphique, encadrer par deux entiers consécutifs les solutions de l'équation $f(x) = 35$, en laissant apparaître les traits de construction utiles.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B (étude de coût)}

\medskip
 
Dans un restaurant, le coût moyen unitaire exprimé en euros de fabrication de $x$ repas est donné par la relation :
 
\[C_{M}(x) = 2x - 230 + \dfrac{\np{7200}}{x}\]
 
pour $x$ compris entre $30$ et $120$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la partie A, déterminer le nombre de repas qui donne un coût moyen unitaire minimum.
 
Quel est ce coût ? 
\item Montrer que le coût total exprimé en euros de fabrication de $x$ repas est donné par la relation :
 
\[C(x) = 2x^2 - 230x + \np{7200}.\]
 
\item Le restaurateur propose le repas au prix de $35$~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le bénéfice réalisé $B(x)$ en fonction du nombre x de repas servis. 
		\item Combien doit-il servir de repas pour réaliser un bénéfice? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}