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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\juin 2009}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Le gérant d'un restaurant développe une nouvelle formule de restauration rapide, en ouvrant son établissement uniquement le midi. Il propose un menu comprenant un plat et un dessert. Les clients ont le choix entre deux plats (viande ou poisson) et trois desserts (pâtisserie, laitage ou fruit).

Au cours d'un mois où il teste sa nouvelle activité, il recense toutes les commandes pour mieux connaître sa clientèle.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Parmi les $600$~repas servis au cours de ce mois, $72$\:\% comprenaient un plat de viande.
\item $45$\:\% des clients ont pris une pâtisserie ; parmi eux, $44$ avaient choisi le plat de poisson.
\item Parmi les $138$ repas comprenant un fruit comme dessert, $73$ comprenaient du poisson.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant, qui récapitule les résultats de l'enquête.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Pâtisserie	&Laitage&Fruit	&Total\\ \hline
Viande					&			&		&		&\\ \hline
Poisson					&44			&		&73		&\\ \hline
Total					&			&		&138	&600\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  On choisit un de ces clients au hasard. Chaque client a la même probabilité d'être choisi.

On définit les évènements suivants :

$A$ : \og Le client a pris du poisson. \fg

$B$ : \og Le client a pris une pâtisserie. \fg

Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$ (vous donnerez les valeurs exactes).
\item  Dans la suite de l'exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$. Calculer sa probabilité.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$. Calculer sa probabilité.
 	\end{enumerate}
\item  On choisit au hasard un client parmi ceux qui ont mangé de la viande. Calculer la probabilité qu'il ait pris un fruit en dessert.
 \end{enumerate}

\newpage
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Tous les résultats de la partie A seront arrondis à l'unité.}

\medskip

Afin de prévoir son approvisionnement, le gérant de ce restaurant estime que, à la suite de ses efforts de publicité, le nombre de repas servis mensuellement augmentera de 15\,\% tous les mois.

On note $u_{0}$ le nombre de repas servis durant le mois de test ($u_{0} = 600$), $u_{1}$ le nombre de repas servis durant le premier mois d'exploitation, et $u_{n}$ le nombre de repas servis au cours du $n$-ième mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_{1}$ et $u_{2}$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?

Quelle est sa raison ?
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre de repas prévus le sixième mois d'exploitation.
		\item Calculer le nombre de repas prévus le dix-huitième mois d'exploitation. Ce nombre vous parait-il réaliste ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip

Compte tenu des limites imposées par la taille de son restaurant, le gérant étudie une autre estimation du nombre de repas servis le $x$-ième mois. Elle est donnée par la fonction $f$ définie par :
\[f(x) = \np{2000} - \np{1400}\text{e}^{-0,14x},\]

pour $x$ compris dans l'intervalle [0~;~18].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = 196\text{e}^{-0,14x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$  lorsque $x$ varie dans l'intervalle [0~;~18], puis dresser le tableau de variations de $f$.
\item Recopier et compléter le tableau suivant, en arrondissant les valeurs à la dizaine.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&3	&6			&9	&12			&15	&18\\ \hline
$f(x)$	&	&	&\np{1400}	&	&\np{1740}	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\item Représenter, sur une feuille de papier millimétré, la fonction $f$ dans un repère orthogonal (échelles : 1~cm pour 1~unité en abscisses, 1~cm pour $100$~unités en ordonnées).
\item Selon cette nouvelle estimation, combien de repas le gérant prévoit-il de vendre le dix-huitième mois ? (arrondir à l'entier le plus proche)
\item D'après le graphique, à partir de quel mois dépassera-t-il les \np{1800}~repas mensuels ?

On fera apparaître sur le graphique les constructions utiles.
\end{enumerate}
\end{document}