\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\everymath{\displaystyle}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat technologique Hôtellerie},
pdftitle = {Polynésie juin  2009},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\textheight 23,5cm 
\voffset -1.5cm \oddsidemargin 0pt 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Polynésie~\decofourright\\juin 2009}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

À compter du 1\up{er} janvier 2010, le directeur d'un palace décide de louer à l'année certaines de ses plus belles chambres. Il propose à ses plus fidèles clients deux types de contrats de location.

\smallskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{l X}
1\up{er} contrat :& \np{20000}~\euro{} la première année puis une augmentation de 5\,\% tous les ans.\\
&On note $u_{n}$ le montant de la location au 1\up{er} janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi, $u_{0} = \np{20000}$.\\
2\up{e} contrat :& \np{20000}~\euro{} la première année puis une augmentation de \np{1150}~\euro{} tous les ans.\\
&On note $v_{n}$ le montant de la location au 1\up{er} janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi, $v_{0} = \np{20000}$.
\end{tabularx}

\medskip
 
\emph{Les résultats seront arrondis au centime d'euro.}

\medskip
 
\textbf{I Étude du 1\up{er} contrat :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le prix $u_{1}$ de la location d'une chambre le 1\up{er} janvier 2011 avec le premier contrat ? Et $u
_{2}$ celui au 1\up{er} janvier 2012 ? 
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Quelle est sa raison ? Justifier. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Combien coûtera la location à l'année en 2019 ? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II Étude du 2\up{e} contrat :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Quel est le prix $v_{1}$ de la location d'une chambre le 1\up{er} janvier 2011 avec le deuxième contrat ? Et $v_{2}$ 
celui au 1\up{er} janvier 2012 ?
\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. 
\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? Quelle est sa raison ? Justifier. 
\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Combien coûtera la location à l'année en 2019 ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{III Comparaison :}

\medskip

Un client fidèle décide de prendre une location au premier janvier 2010 pendant 10 ans. À quel contrat doit-il souscrire pour que sa dépense totale soit minimale ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points} 

\medskip

\textbf{I Étude d'une série statistique :}

\medskip
 
Un restaurateur s'intéresse, chaque mois de l'année 2008, au nombre moyen de couverts servis par jour dans son établissement. Il relève les données suivantes :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Mois						&Janvier	&Février	&Mars	&Avril	&Mai	&Juin \\ \hline
Rang $x_{i}$				& 1 		&2 			&3 		&4 		&5 		&6 \\ \hline
Nombre de couverts $y_{i}$	& 18 		&29 		&32 	&36 	&41 	&44\\ \hline \hline
Mois 						&Juillet 	&Août 		&Sept. 	&Octob. &Novem. &Décem.\\ \hline 
Rang $x_{i}$				& 7 		&8 			&9 		&10 	&11 	&12 \\ \hline
Nombre de couverts $y_{i}$	& 44 		&48 		&48 	&50 	&53 	&52\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique, dans un repère orthogonal (O~;~I,~J) d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses : 1~cm pour 1~mois. 
\item sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour 5~couverts.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item Un ajustement affine est-il pertinent ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{II Étude d'une fonction :}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~12] par :

\[f(x) = 10\ln \left( x^2 + 6x\right).\]

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le même repère (O~;~I, J).

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ s'exprime par $f'(x) = 10 \times \dfrac{2x + 6}{x^2 +6x }$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~12].
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs arrondies à $10^{-1}$).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	  &1	&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9		&10		&11		&12 \\ \hline

$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	& 	& 	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
  
\item Tracer $\mathcal{C}_{f}$ dans le même repère que le nuage de points.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{III Application :}

\medskip

En admettant que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ constitue un bon ajustement du nuage de points et que la tendance affichée se confirme jusqu'au mois de février 2009, donner une estimation du nombre moyen de couverts servis par jour dans ce restaurant en février 2009. Justifier. 
\end{document}