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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Polynésie~\decofourright\\11 juin 2015}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip

Un club de vacances propose à ses clients de découvrir les plages du bassin d'Arcachon au plus près de la nature, à cheval. Ils ont un seul choix possible parmi les options \og \textbf{promenade de deux heures} \fg, \og \textbf{découverte d'une demi-journée}\fg{} et \og \textbf{randonnée d'une journée} \fg. Ils peuvent également n'être intéressés par aucune de ces options.

Chaque vacancier remplit alors une fiche sur laquelle il indique son unique choix.

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Parmi les 600 vacanciers, 50 ne sont intéressés par aucune des options proposées;
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des vacanciers sont des hommes ;
\item[$\bullet~~$] 150 vacanciers ont choisi l'option \og promenade de deux heures \fg{} et, parmi eux, 30\,\% sont des femmes;
\item[$\bullet~~$] 10\,\% des vacanciers intéressés par l'une des options ont choisi l'option \og randonnée d'une journée \fg, dont 30 hommes ;
\item[$\bullet~~$] 10 hommes ne sont intéressés par aucune des options proposées.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il y a 55 vacanciers qui ont choisi l'option \og randonnée d'une journée \fg.
\item Compléter le tableau donné en annexe (à rendre avec la copie), à partir des données ci-dessus.
\item On prélève au hasard une fiche parmi celles complétées par les $600$~vacanciers. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.

On définit les évènements suivants:

\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og la fiche a été remplie par un vacancier ayant choisi l'option promenade de deux heures\fg{} ;
\item[ ] $B$ : \og la fiche a été remplie par un homme \fg.
\end{description}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les probabilités des deux évènements $A$ et $B$.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$. Calculer sa probabilité.
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$. Calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item Maintenant, on prélève au hasard une fiche parmi celles complétées par les vacanciers intéressés par l'une des options.
	
Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
	
Calculer la probabilité de l'évènement : \og la fiche a été remplie par un homme n'ayant pas choisi l'option \og randonnée d'une journée \fg.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\medskip

La levure est un ingrédient essentiel lors de la fabrication de la bière et dans la réussite d'un brassin (contenu de la cuve dans laquelle on brasse la bière).

L'activité des levures lors de la fabrication du brassin est caractérisée par les trois phases successives suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \textbf{phase aérobie :} pendant les 10 premières heures, les levures se développent en présence d'oxygène ;
\item \textbf{phase de fermentation alcoolique ou phase anaérobie :} les levures se reproduisent sans oxygène jusqu'à atteindre une concentration maximale. Elles sont alors en suspension dans le moût;
\item \textbf{phase de sédimentation :} les levures sédimentent progressivement au fond de la cuve. Leur concentration au coeur du brassin diminue jusqu'à s'annuler, ce qui marque la fin de cette phase.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le graphique ci-dessous est issu d'un relevé expérimental de mesures faites au coeur du brassin, donnant la
concentration de levures (en millions par ml) en fonction du temps (en jours) :

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.2cm,dash=4pt 2pt}
\begin{pspicture}(-0.25,-2.5)(7.5,58)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(7.5,55)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5](0,0)(0,0)(7.5,58)
\uput[r](0,56){Concentration de levures (en millions par ml)}
\uput[u](6.5,0){Nombre de jours}
\multido{\n=0.0+0.5}{16}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,58)}
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(7.5,\n)}
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,5)(0.42,10)(0.5,11)(1,17)(1.5,22.5)(2,25.65)(2.5,30.4)(3,37)(3.5,42.5)(4,48.75)(4.35,50.75)(4.5,50.05)(5,42.5)(5.5,27.5)(6,12)(6.2,7.55)(6.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}

À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation de la concentration de levures mesurée au cœur du brassin à la fin de la phase aérobie.
\item Donner une estimation, en jours et heures, du moment où la phase de fermentation alcoolique se
termine. Quelle est alors la concentration de levures présentes au cœur du brassin?
\item Au bout de combien de jours et d'heures peut-on estimer que la phase de sédimentation se termine ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On choisit de modéliser la situation précédente à l'aide de la fonction $f$ définie sur [0~;~6,5] par :

\[f(x) = (- 3,66x + 23,8)\text{e}^{0,5x} - 18,8\]

où $x$ représente le temps (en jours) et $f(x)$ la concentration de levures au coeur du brassin (en millions par ml).

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~6,5]. Sa fonction dérivée est notée $f'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude du modèle}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~6,5] :
		
		\[f'(x) = (- 1,83x + 8,24)\text{e}^{0,5x}.\]
		
		\item Étudier le signe de $f'(x)$, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~6,5].
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~6,5].
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [5~;~6,5].
	\end{enumerate}
À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi au dixième de $\alpha$. Expliquer la démarche.
\item  \textbf{Application}

Selon ce modèle :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en jours et en heures, le moment où la concentration de levures mesurée au cœur du brassin est maximale. Quelle est alors la valeur de cette concentration maximale?
		\item Déterminer au bout de combien de jours et d'heures la concentration de levures mesurée au cœur du brassin est nulle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{4cm}

\textbf{Exercice 1 :}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Fiches	&Intéressés par aucune des options&Intéressés par l'option \og promenade\fg&Intéressés par
 l'option  \og découverte\fg&Intéressés par  l'option \og randonnée\fg&Total\\ \hline
Hommes	&	&	&	&30	&\\ \hline
Femmes	&	&	&	&	&\\ \hline
Total	&50	&	&	&	& 600\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}