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%Tapuscrit : Denis Vergés
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\juin 2012}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

Pour un mariage, un traiteur souhaite proposer deux desserts à ses clients.

\medskip
 
La réalisation du dessert A nécessite 10~\euro{} de matière première et 3~heures de fabrication, la réalisation du dessert B nécessite 20~\euro{} de matière première et 1,5~heures de fabrication.

\medskip
 
Le traiteur dispose d'un budget pour les matières premières limité à 700~\euro, et il dispose d'au plus 120~heures de travail.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ le nombre de desserts A proposés et $y$ le nombre de desserts B proposés. 

Expliquer pourquoi $x$ et $y$ satisfont le système d'inéquations suivants : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x& \geqslant& 0\\ 
y&\geqslant& 0\\ 
10x + 20y &\leqslant& 700\\
3x + 1,5y &\geqslant& 120
\end{array}\right.\]
 
Vérifier que ce système peut s'écrire également : 

\[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x& \geqslant& 0\\ 
y&\geqslant& 0\\ 
y &\leqslant&- \dfrac{1}{2}x +  35\\
y &\geqslant&- 2x +  80
\end{array}\right.\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Tracer les droites suivantes sur le repère fourni en annexe à remettre avec la copie : 

\[\left\{\begin{array}{l c l} 
D_{1}\:  : y &=& - \dfrac{1}{2}x +  35\\ 
D_{2}\:  : y &=& - 2x + 80
\end{array}\right.\]
 
		\item Calculer les coordonnées du point $I$, le point d'intersection entre $D_{1}$ et $D_{2}$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer graphiquement l'ensemble des points du plan dont les coordonnées $(x~;~y)$ vérifient le système (S) (On hachurera les parties du plan qui ne sont pas solutions). 
\item Le traiteur peut-il proposer à ses clients 25 desserts A et 20 desserts B ? 20 desserts A et 30 desserts B ? 
\item Les bénéfices réalisés par le traiteur sont de 6~\euro{} par dessert A et 8~\euro{} par dessert B. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi le bénéfice total $b$ vérifie $b = 6x + 8y$. 
		\item Tracer la droite $d_{240}$ qui correspond à un bénéfice total de $240$~\euro.
		 
Ce bénéfice est-il réalisable par le traiteur ? Justifier votre réponse. 

\item Tracer la droite $d_{400}$ qui correspond à un bénéfice total de 400~\euro.
 
Ce bénéfice est-il réalisable par le traiteur ? Si oui, donner un exemple de répartition du nombre de desserts A et B permettant ce bénéfice. Si non, justifier la réponse. 
\item En déduire le nombre de desserts A et de desserts B à fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

Une agence de voyage cherche à faire une campagne de promotion pendant les week-ends du printemps. 

Elle veut mettre en vente des séjours : \og Histoire et gastronomie au pays du foie gras \fg. 

On appelle $x$ le nombre de séjours vendus par l'agence. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Le coût de production de ces séjours en euros, est donné par la fonction : 
 
\[f(x) = 40x + \dfrac{\np{1000}}{x}\quad  \text{sur l'intervalle}\:\: [2~;~10]\]

\begin{enumerate}
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer $f'(x)$. 
\item Vérifier que $f'(x) = \dfrac{40(x - 5)(x + 5)}{x^2}$. 
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur [2~;~10].
\item Pour combien de séjours le coût de production est-il minimum ? Préciser le coût minimal ainsi obtenu.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Chaque séjour est vendu 110 euros.
 
On rappelle que le bénéfice net est la différence entre la recette et le coût de production. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le bénéfice net de l'agence si elle vend $3$ séjours ? 
\item Quel est le bénéfice net de l'agence si elle vend $7$ séjours ? 
\item On appelle $R(x)$, la recette en euros pour $x$ séjours. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthogonal tel que : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 1 cm représente une unité sur l'axe des abscisses ;
\item[$\bullet~~$] 1 cm représente 50 unités sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
		\item Tracer sur le même graphique la droite $d$ d'équation : $y = 110x$.
	\end{enumerate} 
\item À partir de combien de séjours vendus, l'agence est-elle bénéficiaire ? Justifier graphiquement les résultats.
 
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}

\bigskip
 
{\large \textbf{À remettre avec la copie}}

\vspace{1cm}
 
\textbf{Pour l'exercice 1 question 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.09cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture} (-30,-25)(100,95)
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,95)}
\multido{\n=0+5}{20}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(100,95)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(0,0)(100,95)
\uput[u](98,0){$x$}\uput[r](0,93){$y$}\uput[dl](0,0){\small O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}