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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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%%%%
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\[5pt] juin 2008}}

\vspace{0,5cm}

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\
 L'annexe  devra être remise avec la copie.
\end{center}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

L'indice de masse corporelle (IMC) permet de définir trois catégories distinctes de personnes :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  les personnes n'ayant pas de surpoids
\item[$\bullet~$]  les personnes présentant un surpoids
\item[$\bullet~$]  les personnes souffrant d'obésité.
\end{itemize}
Un grand groupe hôtelier a organisé une enquête sur l'obésité auprès de ses \nombre{12000}~employés et stagiaires de plus de $15$~ans. Une partie de cette enquête portant sur l'obésité et l'hypertension laissait apparaître les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 12,4\:\% des \nombre{12000}~personnes interrogées souffrent d'obésité dont 486 ont aussi de l'hypertension artérielle.
\item[$\bullet~$] Il y a \nombre{3504}~personnes qui présentent un problème de surpoids dont \nombre{2644} n'ont pas d'hypertension.
\item[$\bullet~$] 84\:\% des personnes interrogées ne souffrent pas d'hypertension artérielle.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant. Aucun détail de calcul n'est exigé pour cette question.\\

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&{\small Personnes n'ayant pas de surpoids}&{\small Personnes présentant un surpoids}&	{\small Personnes souffrant	d'obésité}&{\small Total}\\ \hline
Personnes souffrant	d'hypertension\newline artérielle&&&&	\nombre{1920}\\ \hline
Personnes n'ayant pas d'hypertension artérielle&&&&\\ \hline
Total\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&&&\nombre{1488}&	\nombre{12000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item On interroge de manière aléatoire une personne parmi les \nombre{12000}~employés et stagiaires. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[]  A : \og la personne interrogée souffre d'hypertension artérielle \fg 
\item[]   B \og la personne interrogée souffre d'obésité \fg 
 \end{itemize}
 Les résultats seront donnés sous forme décimale exacte.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les probabilités $p$(A) et $p$(B). 
		\item   Définir par une phrase l'évènement A~$\cap$~B ; calculer sa probabilité.
		\item   Définir par une phrase l'évènement $\overline{\text{B}}$ ; calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}

\item Dans la suite de l'exercice les résultats seront arrondis au centième.
	\begin{enumerate}
		\item  On interroge au hasard une personne dans la catégorie des personnes n'ayant pas de surpoids. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Déterminer la probabilité $p_{1}$ qu'elle souffre d'hypertension.
		\item  On interroge au hasard une personne parmi celles qui souffrent d'obésité. Chaque personne a la même probabilité d'être interrogée. Déterminer la probabilité $p_{2}$ qu'elle souffre d'hypertension.
		\item  Calculer $\dfrac{p_{2}}{p_{1}}$ et interpréter le résultat obtenu.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}
\def\interA{\cd 1~;~12 \cg}
%\medskip
	
Les parties A, B et C sont indépendantes.
	
%\medskip

\subsubsection*{Partie A :  Nuage de points}

Après de bons résultats obtenus entre 1999 et 2002, le groupe hôtelier a vu le cours de son action chuter les années suivantes. Décidé à retrouver un cours équivalent à l'année 2002, le groupe a lourdement investi pour ouvrir des hôtels en Chine et dans d'autres pays d'Asie. Les résultats du cours boursier de l'action du groupe hôtelier des 9 dernières années sont donnés dans le tableau suivant :\\

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&1999& 2000 &2001 &2002& 2003& 2004& 2005& 2006& 2007\\ \hline
Rang : $x_{i}$&	1&	2&	3&	4&5&	6&	7&	8 &	9\\ \hline
Prix moyen de l'action en euros : $y_{i}$&15&40&52,5&55&52,5& 	47,5&45&39&40\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter sus une feuille de papier millimétré le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ de cette
série statistique dans un repère orthogonal (O ; I,  J) :
\begin{itemize}
\item[]   sur l'axe des abscisses : 1~cm représente une année,
\item[]  sur l'axe des ordonnées: 1~cm représente 10~\euro.
\end{itemize}
\item  Expliquer pourquoi un ajustement affine ne semble pas convenir.
\end{enumerate}

%\medskip

\subsubsection*{Partie B :  \'Etude de fonction}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\interA$ par
$f(x) = 0,5x^3 - 9x^2 + 48x - 25$.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère orthogonal (O ;  I,  J) de la partie A où
\begin{itemize}
\item[] sur l'axe des abscisses 1~cm représente 1~unité,
\item[] sur l'axe des ordonnées 1~cm représente 10~unités.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $\interA$. 
		\item Vérifier que $f'(x) = 1,5 (x - 4) (x - 8)$.
	\end{enumerate}

\item	Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $\interA$.

\item	Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\interA$.

\item	Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques suivant :\\
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$f(x)$&&&&	55&&&&39&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\item Tracer $\mathcal{C}$ dans le même repère que le nuage de points.
\end{enumerate}

%\medskip

\subsubsection*{Partie C: Application}

Dans la suite de l'exercice on admettra que la courbe $\mathcal{C}$ d'équation \\$y = 0,5x^3 - 9x^2 + 48x - 25$ constitue un bon ajustement du nuage de points jusqu'en 2010.

\begin{enumerate}
\item Quel devrait être selon ce modèle le cours moyen de l'action en 2009 ?

\item 	Par lecture graphique, déterminer en quelle année l'action semble retrouver son cours de 2002. Faire apparaître les constructions utiles sur le graphique.
\end{enumerate}

\end{document}

\newpage

\subsubsection*{\centering Figure de l'exercice 2}

\vfill

\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=0.1cm}
\def\xmin {0}   \def\xmax {13}
\def\ymin {0}   \def\ymax {130}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray] (0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,13)
\psaxes[ticksize=-3pt 3pt, labels=all,Dy=10](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psplot[linecolor=red]{1}{12}{x x 0.5 x mul 9 sub mul 48 add mul 25 sub}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,15)(2,40)(3,52.5)(4,55)(5,52.5)(6,47.5)(7,45)(8,39)(9,40)
%\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](1,55)(12,55)
%\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3,arrowscale=2](10,55)(10,0)
\uput*{8pt}[d](10,0){\red 10}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowscale=2](4,0)(4,55)(10,55)(10,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\vfill

\end{document}