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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat Hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
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\cfoot{\thepage}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\[4pt]septembre 2006}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip

Un restaurateur veut acheter des tables et des chaises pour son restaurant.

Il veut au moins $15$~tables et $70$ chaises.

Un fournisseur A lui propose un lot de 1 table et 6 chaises pour $75$~\euro.

Un fournisseur B lui propose un lot de 1 table et 4 chaises pour $60$~\euro.

On désigne par $x$ le nombre de lots A et $y$ le nombre de lots B achetés par le restaurateur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O~;~I,~J) (unité : 1 cm).

(On ne prendra que les abscisses et les ordonnées positives).

Sur l'annexe 1, tracer les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ d'équations respectives  \mbox{$y = -x + 15$} et $y = -1,5x + 17,5$.
\item	Soit le système (S) :	$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y&\geqslant& 15\\
3x + 2y &\geqslant &35\\
x&\geqslant&0\\
y & \geqslant&0
\end{array}\right.$

Vérifier que les contraintes sur $x$ et $y$ pour qu'il y ait suffisamment de tables et de chaises se traduisent par le système (S) avec $x$ et $y$ entiers.
\item	Dans le repère de l'annexe 1, déterminer l'ensemble des points du plan dont les coordonnées  vérifient le système (S) en hachurant la partie du plan qui ne convient pas.
\item	On note $C$ le coût de $x$ lots A et $y$ lots B.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $C$ en fonction de $x$ et de $y$.
		\item 	Montrer que $y = - \dfrac{5}{4}x + 19$ est une équation de la droite $D$ correspondant à un coût $C$ de \np{1140}~\euro.
		\item 	Tracer $D$ dans le repère de l'annexe 1.
		\item 	Déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B à acheter pour que le coût soit minimum.
		
Quel est ce coût minimum ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes.

\emph{Tous les résultats seront arrondis à l'unité près.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~45] par
 
\[f(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 + 15x^2.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (O~;~I,~J).

On prendra, sur une feuille de papier millimétré, comme unités graphiques 1~cm pour 5~unités sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 500~unités sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = x(- x + 30)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $f$  sur l'intervalle [0~;~45].
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&5	&10	&15	&20	&25	&30			&35	&40	&45\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&\np{4500}	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Calculer $f'(0)$. Que peut-on en déduire pour la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un producteur de cuisines équipées produit et vend chaque mois $x$ cuisines équipées d'un certain modèle.

On admet que le bénéfice mensuel en euros est donné par $B(x) = -\dfrac{1}{3}x^3 + 15x^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Utiliser la partie A afin de déterminer pour quelle valeur de $x$ le bénéfice est maximum.

Quel est le bénéfice maximum ?
\item Déterminer graphiquement les quantités de cuisines équipées produites et vendues correspondant à un bénéfice d'à peu près \np{3500}~\euro.
\item Déterminer dans quel intervalle doit être choisi $x$ pour que le bénéfice soit supérieur à \np{3500}~\euro.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.66cm,yunit=0.66cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(18,23)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0pt,gridcolor=orange,gridwidth=1.25pt,subgridwidth=0.6pt,subgridcolor=orange](0,0)(18,23)
\uput[l](0,23){$y$}\uput[d](18,0){$x$}
\uput[ur](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(18,23)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}