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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole ~\decofourright\\septembre 2012}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip
 
Le propriétaire d'une brasserie située dans le quartier d'affaire d'une grande ville effectue une enquête auprès des 500~derniers clients. Il souhaite connaître le nombre de fois qu'ils viennent au restaurant et le choix effectué entre un menu seul et un menu accompagné d'une boisson (vin, bière, sodas, \ldots).
 
Il obtient les résultats suivants :

\medskip

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]18\,\% des clients viennent une seule fois par semaine et parmi ceux-ci 90\,\% prennent un menu seulement.
\item[$\bullet~~$]125 clients ne prennent qu'un menu seul. Parmi eux 20 clients viennent entre 2 et 5 fois par semaine. 
\item[$\bullet~~$]45\,\% des clients prennent un menu et une boisson et viennent plus de 5 fois par semaine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau des effectifs suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox[width=5cm,trim = l]{\footnotesize Commande \\\footnotesize effectuée}{\footnotesize Nombre \\ \footnotesize de fois}&Un menu seulement&Un menu et une boisson&TOTAUX \\ \hline
Une seule fois par semaine	&	&	&\\ \hline 
Deux à cinq fois par semaine&	&141&\\ \hline 
Plus de 5 fois par semaine	&	&	&\\ \hline 
TOTAUX						&	&	&500\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Quel pourcentage représente le nombre de clients venant de 2 à 5 fois par semaine parmi les clients prenant un menu seulement? 
\item Dans les questions suivantes, on présentera les résultats sous forme décimale. 
Le propriétaire considère que ce tableau constitue un échantillon représentatif de la clientèle de sa brasserie. Ainsi, en rencontrant un client au hasard, quelles sont les probabilités des évènements suivants : 

$A$ : \og Le client prend un menu seulement \fg, 

$B$ : \og Le client vient 2 à 5 fois par semaine\fg,
 
$C$ : \og Le client est venu une fois et a commandé un menu seul \fg.
 
\item Décrire par une phrase les évènements suivants : $A \cap B$ ; $A \cup B$ ; $\overline{A}$ puis, déterminer la probabilité de chacun de ces évènements. 
\item Le propriétaire rencontre un client qui n'a choisit qu'un menu seul. Quelle est la probabilité qu'il vienne plus de cinq fois par semaine ? 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\begin{center}
 
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}\end{center} 

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Une brasserie vend des boissons rafraîchissantes. Son responsable note les ventes six jours de suite. Durant ces six jours, la température maximale est passée de 20\,\degres C à 32\,\degres C.
 
Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Jour &1\up{er} &2\up{e} &3\up{e} &4\up{e} &5\up{e} &6\up{e}\\ \hline 
Température en\,\degres C $\left(x_{i}\right)$&20 &22 &24 &28 &30 &32\\ \hline 
Nombre de boissons vendues $\left(y_{i}\right)$&44 &64 &80 &120 &152 &170\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétrée représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal.
 
On prendra pour unités graphiques : 

\hspace{1cm} 1 cm pour 1\,\degres C en abscisses, et on graduera l'axe des abscisses à partir de 16.

\hspace{1cm} 1 cm pour 10 boissons vendues en ordonnées. 
\item Justifier que l'on peut envisager un ajustement affine de ce nuage de points. 
\item Vérifier, par le calcul, que la droite $(d)$ d'équation $y = 10,5x - 166$ passe par le 1\up{er} point et le 6\up{e} point. Tracer cette droite.
 
On considèrera dans la suite que cette droite constitue un bon ajustement affine du nuage de points. 
\item En utilisant cette droite, déterminer graphiquement le nombre de boissons vendues si la température maximale est de 29\,\degres C. Laisser apparents les traits de construction. 
\item Déterminer, par le calcul, la quantité de boissons qu'il peut espérer vendre si une température maximale de 34\,\degres C est annoncée.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Le gérant de cette brasserie a estimé que les coûts de fonctionnement étaient donnés par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~200], par :

\[ f(x) = 100\text{e}^{\np{0,0055}x},\]

 où $x$ représente le nombre quotidien de boissons servies.
  
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de $f$ est donnée en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, où $f'$  désigne la dérivée de la fonction $f$. 
\item Déterminer le signe de $f'(x)$. En déduire le tableau de variation de $f$. 
\item Le prix moyen d'une boisson est de 2~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la recette obtenue pour la vente quotidienne de $x$ boissons. 
		\item Sur la feuille annexe, dans le même repère que $\mathcal{C}_{f}$, tracer la droite $(d)$ d'équation $y = 2x$. 
		\item Déterminer à l'aide du graphique le nombre de boissons à partir duquel le gérant réalise un bénéfice.
		 
Expliquer votre démarche.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} 

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.025cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-20,-40)(260,480)
\multido{\n=0+2}{131}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,480)}
\multido{\n=0+20}{14}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,480)}
\multido{\n=0+4}{121}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(260,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=40]{->}(0,0)(0,0)(260,480)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=40](0,0)(0,0)(260,480)
\multido{\n=0+20}{13}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(260,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{200}{2.71828 0.0055 x mul exp 100 mul}
\uput[d](200,290){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[u](256,0){$x$}\uput[r](0,474){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}