\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}\usepackage{amsfonts} \usepackage{fancybox} \usepackage{enumitem} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \scrollmode {\pagestyle{empty}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\R{\mathbb R} \def\C{\mathbb C} \def\CM{\mathcal C\mathcal M(I,\C)} \def\CI{\mathcal C^\infty} \def\KI{\mathcal K(I)} \def\N{\mathbb N} \def\Z{\mathbb Z} \def\E{\mathcal E} \def\M{\mathcal M} \def\CP{{\mathcal C\mathcal M}_{2\pi}} \def\Un{${(u_n)}_{n \in \N}$} \def\n{\Vert\hspace{-.1em}\vert} \def\egi{\underset{n\to +\infty}{=}} \def\eqi{\underset{n\to +\infty}{\sim}} \geometry{margin=2.5cm} \usepackage[french]{babel} \begin{document} \noindent \section{Présentation du jeu.} \subsection{Les règles du jeu.} Le \og tournoi \fg{} est un jeu comportant une suite de manches (appelées \og duels \fg) opposant deux joueurs, jamais plus. Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu'aucun d'entre eux n'aura été déclaré vainqueur, et forment ainsi une suite ($J_0, J_1, \ldots$) aussi longue qu'il faudra, ce qui nous conduit à considérer une suite infinie de joueurs notée ${(J_n)}_{n\in \N}$. Le premier duel oppose $J_0$ et $J_1$, le vainqueur reste en jeu et se voit opposer $J_2$ qui entre pour le deuxième duel. Plus généralement, le $n$-ième duel ($n \geqslant 2$) oppose le joueur $J_n$, qui entre alors en jeu, au vainqueur du duel précédent, le perdant quittant le jeu. On convient enfin que le premier joueur qui remporte $N$ duels, nécessairement consécutifs, est déclaré vainqueur et que le jeu prend fin. $N$ est un entier fixé à l'avance, au moins égal à 2, et valable pour tout le déroulement du tournoi. Le but de ce problème est de rendre compte de ce type de jeu en en proposant diverses modélisations probabilistes. On s'intéressera ainsi plus particulièrement à la durée du jeu, c'est-à-dire au nombre de duels ayant eu lieu avant la proclamation du vainqueur. \subsection{Les règles communes aux différentes modélisations aléatoires.} La succession des duels en parfaitement décrite si on connait, pour chacun, les numéros des participants etle numéro du gagnant, cela tant que le jeu continue, c'est-à-dire tant qu'aucun des joueurs n'a été déclaré vainqueur. On supposera que chaque duel est un jeu de hasard, on considèrera ainsi le $n$-ième duel comme un épreuve aléatoire $\mathcal E_n$, dont on observera les résultats possibles. On présupposera, sans chercher à l'expliciter, l'existence d'un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal A, P)$ permettant de modéliser le jeu et on s'attachera à décrire l'univers des possibles, c'est à dire les issues des différentes épreuves, ainsi que la manière dont on affecte des probabilités aux résultats observés. Les modèles proposés devront respecter les règles suivantes : \medskip \begin{enumerate} \item Le premier duel : la probabilité que le résultat de $\E_1$ soit 1 ($J_1$ est le gagnant du premier duel) est $p$, où $p$ est un élément de $]0~;~1[$ fixé dans tout le problème, le résultat étant 0 avec la probabilité $(1-p)$. \item Les duels successifs : \begin{enumerate} \item Pour $n\geqslant 2$, l'épreuve $\mathcal E_n$, si elle a lieu, ne depend de celles qui l'on précédées que par le numéro du joueur opposé à $J_n$ (celui qui a remporté le duel précédent). \item La probabilité pour $J_n$ de remporter ce duel (le résultat est $n$) est égale à $p_n$, où ${(p_k)}_{k\geqslant 2}$ est une suite d'éléments de $]0~;~1[$, le joueur qui lui est opposé étant vainqueur avec une probabilité $1-p_n$.\end{enumerate}\end{enumerate} On admettra par ailleurs que, pour toute suite ${(\mathcal A_n)}_{n\in\N}$ d'évènements disjoints et dont la réunion est de probabilité 1, il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ vérifiant : \[\forall n \in \N,\quad P[X=n]=P(\mathcal A_n)\] \end{enumerate} \section{Préliminaires.} On se propose ici de démontrer divers résultats qui pourront être utilisés dans la suite du problème. \subsection{Résultat 1.} ${(x_n)}_{n\in \N}$ et ${(y_n)}_{n\in \N}$ sont deux suites à termes positifs vérifiant : \[x_n\eqi y_n\] \begin{enumerate} \item Justifier, pour tout $\varepsilon$ strictement positif, l'existence d'un entier naturel non nul $n_0$ tel que pour tout $n$ supérieur ou égal à $n_0$ on ait : \[\left\vert \sum_{k=0}^n x_k -\sum_{k=0}^n y_k\right\vert\leqslant \left\vert\sum_{k=0}^{n_0-1} (x_k -y_k)\right\vert +\varepsilon\sum_{k=n_0}^n x_k\] \item En déduire que, si la série de terme général $x_n$ est divergente, on a : \[\sum_{k=0}^n x_k\eqi \sum_{k=0}^n y_k\] \end{enumerate} \subsection{Résultat 2.} \begin{enumerate} \item ${(u_n)}_{n\in \N}$ est une suite à termes positifs telle que la série de terme général $u_n$ soit convergente. \begin{enumerate} \item Montrer qu'on définit une suite de réels par la relation : $$\forall n \in \N, v_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$$ Quelle est la nature de cette suite ?\\ \item Justifier pour tout entier naturel $n$ non nul : $$\sum_{k=1}^n k u_k=\sum_{k=0}^{n-1} v_k - n v_n$$ \item Montrer que si la série de terme général $v_n$ est convergente, alors la série de terme général $n u_n$ est convergente. \item Montrer que si la série de terme général $nu_n$ est convergente alors la suite de terme général $nv_n$ converge vers 0. \textit{Indication :} On pourra éventuellement, après l'avoir justifiée, utiliser la relation : \[\forall n \in \N^*, v_{n-1}=\sum_{k\geqslant n} (v_{k-1}-v_k)\] pour majorer l'expression $nv_{n-1}$, lorsque $n$ est un entier naturel non nul.\\ \item En déduire que les séries de termes généraux respectifs $n u_n$ et $v_n$ sont simultanément convergentes et de même somme. \end{enumerate} \item Dans cette question, $X$ désigne une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal A, P)$ prenant ses valeurs dans $\N$. Déduire de ce qui précède qu'elle admet une espérance si et seulement si la série de terme général $P[X>n]$ est convergente et qu'on a alors l'égalité : \[E[X]=\sum_{n=0}^{+\infty} P[X>n]\] \end{enumerate} \subsection{Résultat 3.} ${(a_n)}_{n\in \N}$ est une suite à termes positifs telle que la série entière $\sum a_n x^n$ admette un rayon de convergence $R$ strictement positif. On note : \[\forall x \in ]-R,R[,\quad f(x)=\sum_{n\geqslant 0} a_n x^n\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f(x)$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $R$ sur $[0,R[$ si et seulement si $f$ est majorée sur $[0,R[$. \end{enumerate} On suppose dans la suite de cette partie que l'une de ces conditions équivalentes est réalisée et on note $L$ la limite. \medskip \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel : $$\sum_{k=0}^n a_k R^k\leqslant L$$ \item En déduire que la série de terme général $a_n R^n$ est convergente.\\ \item Montrer que la série entière est normalement convergente sur $[-R,R]$. En déduire que : \[\sum_{n\geqslant 0} a_n R^n= \lim_{x \to R^-} f(x)\] \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Première modélisation : le cas particulier $N=2$.} Dans cette section on observe la suite des numéros des différents vainqueurs successifs. L'univers des possibles est alors l'ensemble des listes (éventuellement infinies) représentant les numéros des joueurs vainqueurs aux différents combats. Ainsi : $(0,2,3,3)$ représentera un jeu de 4 combats remportés successivement par $J_0$, $J_2$, $J_3$ et $J_3$ qui est alors déclaré gagnant du tournoi, ce qui met fin à celui-ci. On note $D_n$, pour $n$ au moins égal à 2, l'évènement : $\og$ le jeu s'arrête à l'issue du $n$-ième duel$\fg$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Expliciter $D_2$ à l'aide de la modélisation proposée.\\ 1. \item Plus généralement, expliciter $D_{n+1}$ lorsque $n$ est un entier au moins égal à 2. \end{enumerate} \item Dans cette question on suppose que, pour tout $n \geqslant 2$, $p_n$ est égal à $p$.\\ \begin{enumerate} \item Calculer $P(D_n)$ pour $n$ supérieur ou égal à 2. Vérifier que $\bigcup_{n\geqslant 2}D_n$ est un évènement de probabilité 1. Interpréter ce résultat. \item On peut alors considérer une variable aléatoire $T$ égale au nombre de duels qui ont effectivement eu lieu lorsque le jeu s'arrête. Calculer, après avoir justifié leurs existences, son espérance et sa variance. \end{enumerate} \item On revient au cas général où, pour tout $i$ au moins égal à 2, $p_i$ est un réel élément de $]0,1[$. On pose pour tout $n$ au moins égal à 2 : \[\beta_n=\prod_{i=2}^n p_i\] Exprimer, pour $n$ au moins égal à 2, $\displaystyle\sum_{k=2}^n P(D_k)$ en fonction de la suite ${(\beta_k)}_{k\geqslant 2}$. En déduire que $\bigcup_{n\geqslant 2}D_n$ est un évènement de probabilité 1 si et seulement si $\beta_n$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini.\\ Lorsque cette condition est vérifiée on définira $T$ comme à la question 2.b. et on posera, pour $n\geqslant 2$ : \[u_n=\beta_n-\beta_{n+1}\] Jusqu'à la fin de cette section 3. on suppose qu'il existe un réel $\alpha$ strictement positif tel que, pour tout $i$ au moins égal à 2, l'égalité suivante soit vérifiée : \[p_i=1-\dfrac{1}{i^\alpha}\] \item Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $\bigcup_{n\geqslant 2}D_n$ soit un évènement de probabilité 1. \textit{Indication : } on pourra s'intéresser à la suite de terme général $-\ln(\beta_n)$. \item Dans cette question, $\alpha$ est égal à 1. Donner une loi de $T$. $T$ admet-elle une espérance ? \item Dans cette question on suppose : $0< \alpha < 1$. \begin{enumerate} \item Justifier l'équivalence lorsque $n$ tend vers l'infini : \[\sum_{k=2}^n(-\ln(p_k))\sim \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^\alpha}\] \item Après avoir justifié pour tout entier $k$ au moins égal à 2 l'inégalité : \[\dfrac{1}{k^\alpha}\leqslant \int_{k-1}^k\dfrac{1}{x^\alpha}dx\leqslant \dfrac{1}{{(k-1)}^\alpha}\] démontrer l'équivalence lorsque $n$ tend vers l'infini : \[\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k^\alpha}\sim\dfrac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}\] \item En déduire que, pour tout $c$ réel strictement positif, la suite de terme général $\ln(n^c u_n)$ tend vers $-\infty$ puis que la série de terme général $nu_n$ est convergente. Que peut-on en conclure pour l'espérance de $T$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Deuxième modélisation : le cas où les probabilités sont constantes.} Dans cette section et jusqu'à la fin du problème $N$ est un entier supérieur ou égal à 3 et on suppose, pour tout $n$ supérieur ou égal à 2 : $p_n=p$. On notera : $q=1-p$. Pour tout $n$ entier naturel, on note $A_n$ l'évènement $\ll$le joueur $J_n$ participe à au moins un duel$\gg$ et $G_n$ l'évènement $\ll$ le joueur $J_n$ est vainqueur du tournoi$\gg$. \subsection{Cas particulier : $N=3$ et $p=1/2$.} \begin{enumerate} \item Montrer que : \[\forall n \in \N, P(G_n)=\dfrac{1}{8}P(A_n)\] \item Montrer que les évènements $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont des évènements certains.\\ \item \begin{enumerate} \item Dans cette question, $n$ est un entier supérieur ou égal à 4. On introduit les évènements $A_{n,k}$ \og le $n$-ième duel a lieu et oppose $J_n$ et $J_{n-k}$ \fg. Montrer que la probabilité de $A_{n,k}$ est nulle si $k$ est différent de 1 ou de 2. En déduire alors pour $n\geqslant 4$ : \[P(A_n)= \dfrac{1}{2}P(A_{n-1}) + \dfrac{1}{4}P(A_{n-2})\] \item On désigne par $r_1$ et $r_2$ ($r_1n] x^n\] Vérifier qu'elle est continue sur $[-1,1]$ et dérivable sur $]-1,1[$. \item En utilisant la relation $(\mathcal R)$ et en s'inspirant des techniques de calcul mises en oeuvre à la question 2.b. de la section 4.2, démontrer, pour tout $x$ de $[-1~;~1]$, la formule : \[\left(1 - x+\dfrac{p}{1-p}{{(x(1 - p))}^N}\right) Q(x)=1-{(x(1-p))}^N\] \item Vérifier que les deux polynômes : \[1-X+\dfrac{p}{1-p}{(X(1 - p))}^N \text{ et } 1-{(X(1 - p))}^N\] admettent dans $\C$ une seule racine commune et que celle-ci est simple et réelle. En déduire la relation : \[Q(x)=1-\dfrac{1}{p} -\dfrac{1}{pB(x)}\text{ avec } B(x)=\sum_{k=1}^{N-1} p{(1-p)}^{k-1}x^{k}-1\] \end{enumerate} \subsection{Etude des racines de $B$.} \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $B$ sur $\R^+$. Calculer $B(1)$. En déduire que $B$ admet une unique racine réelle positive $\rho_N$ élément de $]1,+\infty[$ et que cette racine est simple.\\ \item En utilisant le lemme, montrer que les racines complexes de $B$ sont de module strictement supérieur à $\rho_N$. \item D'après ce qui précède, les pôles de $Q$ sont en particulier de module strictement supérieur à 1. Aurait-on pu prévoir directement ce résultat ? \end{enumerate} \subsection{Recherche d'équivalent.} On note $\{z_1,\ldots, z_m\}$ les racines de $B$ dans $\C$ de multiplicités respectives $\nu_k$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier l'existence d'une famille de complexes non nuls telle que, pour tout complexe $z$ de module inférieur ou égal à 1 on ait : $$\dfrac{1}{B(z)}=\sum_{k=1}^m \sum_{s=1}^{\nu_k}\dfrac{\lambda_{k,s}}{{(z-z_k)}^s}$$ \item Dans cette question $s$ et $k$ sont fixés et $z$ désigne un complexe de module inférieur ou égal à 1.\\ \item \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité : $$\dfrac{1}{{(z_k-z)}^s}=\sum_{n\geqslant 0} C_{n+s-1}^{s-1} \dfrac{z^n}{z_k^{n+s}}$$ \item En déduire, pour tout k, l'existence d'un polynôme $P_k$ de degré inférieur ou égal à $\nu_k-1$ tel que : $$\sum_{s=1}^{\nu_k}\dfrac{\lambda_{k, s}}{{(z-z_k)}^s}=\sum_{n\geqslant 0} \left(\dfrac{P_k(n)}{z_k^{n}}\right) z^n$$ \item En déduire une expression de $a_{n+1}$ pour $n\geqslant 1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer, à l'aide des questions précédentes, l'existence d'un réel $K$ tel qu'on ait : \[a_{n+1}\eqi \dfrac{K}{{\rho_N}^{n}}\] \item Donner une expression de $K$ en fonction de $p$, $B$ et $\rho_N$. En déduire un équivalent à l'infini de $P[T = n]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}