\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small 17 novembre 2011} \lfoot{\small{CAPES externe}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{CAPES épreuve 1 session 2012}} \end{center} \vspace{0,5cm} \hrule \begin{center}\textbf{\large Problème 1 : continuité uniforme}\end{center} \hrule \medskip Étant donnée une fonction $f$ de variable réelle définie sur un intervalle $I$ d'intérieur non vide, on dit que $f$ est uniformément continue sur $I$ lorsque : \[\forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall (x,~ y) \in I^2, \:\left(|x - y| \leqslant \eta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leqslant \epsilon \right)\] \begin{enumerate} \item Écrire à l'aide de quantificateurs la proposition \og $f$ n'est pas uniformément continue sur $I$ \fg. \item On rappelle qu'une fonction $f$ est lipschitzienne de rapport $k$, où $k$ est un réel strictement positif, si pour tout couple $(x,~y)$ d'éléments de $I$ on a : \[|f(x) - f(y)| \leqslant k|x - y|.\] Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur 1. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tous réels $x$ et $y$ on a : \[\left||y| - |x| \right| \leqslant |y - x|\] \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: \[f(x) = \dfrac{1}{1 + |x|} \] Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tous réels positifs $x$ et $y$ on a : \[\sqrt{x + y} \leqslant \sqrt{x} + \sqrt{y} \quad \text{et} \quad \left|\sqrt{x} - \sqrt{y}\right| \leqslant \sqrt{|x - y|}\] \item Montrer que la fonction $g :\: x \longmapsto \sqrt{x}$ est uniformément continue sur $\R_{+}$. \item Montrer que la fonction $g$ n'est pas lipschitzienne sur $\R_{+}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En considérant les deux suites de réels $\left(x_{n}\right)_{n \in \N}$ et $\left(y_{n}\right)_{n \in \N}$ définies pour tout entier $n$ par $x_{n} = \sqrt{n+1}$ et $y_{n} = \sqrt{n}$, montrer que la fonction $h :\: x \longmapsto x^2$ n'est pas uniformément continue sur $\R$. \item La fonction $h$ est-elle lipschitzienne sur $\R_{+}$ ? \item Soit $F$ un application uniformément continue de $\R_{+}$ dans $\R$. On se propose de montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in \R_{+}$ : \[F(x) \leqslant ax + b\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'existence d'un réel $\eta_{1}$ strictement positif tel que : \[\forall (x,~y) \in \left(\R_{+}\right)^2, \: \left(|x - y| \leqslant \eta_{1} \Rightarrow |F(x) - F(y)| \leqslant 1 \right)\] Soit $x_{0} \in \R_{+}$. \item Soit $\eta_{0}$ le plus petit entier tel que $\dfrac{x_{0}}{\eta_{0}} \leqslant \eta_{1}$ ; justifier l'existence de $\eta_{0}$ et exprimer $n_{0}$ en fonction de $x_{0}$ et de $\eta_{1}$. \item Montrer que : \[\left|F\left(x_{0}\right) - F(0)\right| \leqslant \sum_{k=0}^{n_{0} - 1} F \left(\dfrac{(k + 1)x_{0}}{n_{0}}\right) - F \left(\dfrac{kx_{0}}{n_{0}}\right)\] \item Conclure. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les fonctions polynômes de degré supérieur ou égal à 2 sont-elles uniformément continues sur $\R$ ? \item La fonction exponentielle est-elle uniformément continue sur $\R$ ? \end{enumerate} \item \textbf{Théor\`eme de Heine} Soit $I = [a~;~b]\: (a < b)$ un segment de $\R$. On se propose de démontrer le théorème de Heine\footnote{Eduard Heine (1821-1881), mathématicien allemand} : \emph{si une fonction $G$ est continue sur $I$ alors elle est uniformément continue sur $I$.} \medskip On suppose dans la suite que $G$ est une fonction continue sur $I = [a~;~b]$ et que $G$ n'est pas uniformément continue sur $I$. \begin{enumerate} \item Justifier qu'il existe un réel $\epsilon > 0$ et deux suites $\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ et $\left(y_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ d'éléments de $I$ tels que pour tout entier $n \geqslant 1$ : \[\left|x_{n} - y_{n} \right| \leqslant \dfrac{1}{n}\quad \text{et} \quad \left|G\left(x_{n}\right) - G\left(y_{n}\right) \right| > \epsilon\] \item Justifier qu'il existe deux sous-suites $\left(x_{\sigma(n)} \right)_{n \geqslant 1}$ et $\left(y_{\sigma(n)} \right)_{n \geqslant 1}$ convergentes telles que pour tout entier $n \geqslant 1$ : \[\left|(x_{\sigma(n)} - y_{\sigma(n)}\right| \leqslant \dfrac{1}{n}\quad \text{et}\quad \left|(G\left(x_{\sigma(n)}\right) - G\left(y_{\sigma(n)}\right)\right| > \epsilon\] \item Montrer que : \[\lim_{n \to + \infty} x_{\sigma(n)} = \lim_{n \to + \infty} y_{\sigma(n)}\] \item Conclure. \item Soit $J$ un intervalle d'intérieur non vide. Si une fonction $G$ est uniformément continue sur tout intervalle $[a~;~b]$ inclus dans $J,\: G$ est-elle nécessairement uniformément continue sur $J$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \hrule \begin{center}\textbf{\large Problème 2 : marches aléatoires}\end{center} \hrule \medskip \begin{center}\textbf{Partie A} : quelques résultats d'analyse\end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la suite $\left(H_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ définie par : \[H_{n} = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $k \geqslant 1$ : \[\dfrac{1}{k + 1} \leqslant \int_{k}^{k+1}\dfrac{1}{t}\:\text{d}t \leqslant \dfrac{1}{k}\] \item En déduire que pour tout $n \geqslant 1$ : \[\ln (n + 1) \leqslant H_{n} \leqslant 1 + \ln (n)\] puis que \[H_{n} \underset{+ \infty}{\sim} \ln (n)\] \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(K_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ définie par : \[K_{n} = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}\] Montrer, à l'aide des outils de terminale scientifique, que la suite $\left(K_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ converge ; on notera $K$ la limite de cette suite (on ne demande pas de calculer $K$). \item On pose pour tout entier naturel $n$ non nul: \[a_{n} = \dfrac{\sqrt{n}}{4^n}\binom{2n}{n}\] On admet la formule de Stirling\footnote{James Stirling (1692-1770) mathématicien écossais} : \[n! \underset{+ \infty}{\sim} \binom{n}{\text{e}}^n\sqrt{2\pi n}\] Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)_{n\in \N^{\star}}$ converge vers $\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$ ; \item Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, on a : \[\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} - 1 = \dfrac{\left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right)^2}{2\sqrt{n}\sqrt{n+1}}\] \item En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N^{\star}}$ est croissante et que pour tout entier $n \geqslant 1$ : \[a_{n} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\] \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a : $(a + b)^2 \geqslant 4ab$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul: \[\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right)^2\leqslant \dfrac{1}{4\sqrt{n(n + 1}}\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ : \[0 \leqslant a_{n+1} - a_{n} \leqslant \dfrac{1}{8n(n + 1)\sqrt{\pi}}\] \item Montrer que pour tout entier $k \geqslant 1$ et tout entier $p \geqslant k$ \[0 \leqslant a_{p} - a_{k} \leqslant \dfrac{1}{8k\sqrt{\pi}}\] \item En déduire que, pour tout entier $k$ non nul: \[0 \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} - a_{k}\leqslant \dfrac{1}{8k\sqrt{\pi}}\] \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{Partie B} : marche aléatoire sur une droite\end{center} Soit $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ un axe gradué. Dans la suite du problème, tous les instants considérés sont des nombres entiers naturels. Une particule située sur un point d'abscisse $k \in \Z$ saute à chaque instant sur le point d'abscisse $k + 1$ ou sur le point d'abscisse $k - 1$, avec la même probabilité. Chaque saut est indépendant du précédent. La particule est à l'origine à l'instant $t = 0$. On note $O_{k}$ la variable aléatoire égale à 1 si la particule est à l'origine à l'instant $t = k$ et $0$ sinon et $U_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de passages en O de la particule entre les instants 1 et $2n$ ( $n \geqslant 1$). \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer la variable $U_{n}$ en fonction des variables $O_{k}$. \item Pour tout $k \geqslant 1$, : montrer que \begin{enumerate} \item $P\left(O_{2k+1} = 1\right) = 0 $ ; \item $P\left(O_{2k} = 1\right) = \dfrac{1}{4k}\binom{2k}{k} = \dfrac{a_{k}}{\sqrt{k}}$. \end{enumerate} \item Calculer l'espérance mathématique $E\left(U_{n}\right)$ de la variable aléatoire $U_{n}$ et montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : \[E\left(U_{n}\right) = \dfrac{(2n + 1)}{4^n}\binom{2n}{n} - 1\] \item En déduire un équivalent de $E\left(U_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{Partie C} : marche aléatoire sur un plan\end{center} \medskip Un plan est rapporté à un repère \Oij. Une particule située sur un point de coordonnées $(k~;~l) \in \Z^2$ saute à chaque instant sur l'un des points de coordonnées $(k + 1~;~l + 1),\: (k + 1~;~l - 1),\: (k - 1~;~l + 1)$ ou $(k - 1~;~l - 1)$ avec la même probabilité (c'est-à-dire qu'à chaque étape, la particule se déplace selon la diagonale d'un carré). Chaque saut est indépendant du précédent. La particule est à l'origine à l'instant $t = 0$. On note $O_{k}$ la variable aléatoire égale à 1 si la particule est à l'origine à l'instant $t = k$ et $0$ sinon et $U_{n}$ la variable aléatoire égale au nombre de passages en O de la particule entre les instants $1$ et $2n$ ($n \geqslant 1$). \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer la variable $U_{n}$ en fonction des variables $O_{k}$. \item Pour tout $k \geqslant 1$, calculer $P\left(O_{2k+1} = 1\right)$ et $P\left(O_{2k} = 1\right)$. \item Montrer que l'espérance de $U_{n}$ est donnée par : \[E\left(U_{n}\right) = \sum_{k=1}^n \dfrac{a_{k}^2}{k}.\] \item Montrer que pour tout entier $k \geqslant 1$ on a : \[\dfrac{1}{\pi k} - \dfrac{1}{4\pi k^2} \leqslant \dfrac{a_{k}^2}{k} \leqslant \dfrac{1}{\pi k}\] \item En déduire un équivalent de $E\left(U_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \bigskip \hrule \begin{center}\textbf{\large Problème 3 : équation de Pell-Fermat}\end{center} \hrule \medskip On se propose de déterminer s'il existe des entiers strictement positifs $m$ et $n$ ($m < n$) vérifiant l'égalité: \[\sum_{k=1}^{m}k = \sum_{k=m}^{n}k.\] \begin{enumerate} \item Montrer que ce problème peut se ramener à la recherche d'entiers $x, y, m$ et $n$ ($0 < m < n$) tels que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2n + 1\\ y& =&2m\\ x^2 - 2y^2 &=& 1 \end{array}\right.\] On note dans ce qui suit $(E)$ l'équation $x^2 - 2y^2 = 1$ d'inconnue $(x~;~y) \in \left(N^{\star}\right)^2$. On range les solutions de $(E)$ dans l'ordre croissant des $y$. \item Écrire un algorithme permettant d'obtenir les solutions de $(E)$ pour $y \leqslant 100$. \item Déterminer la plus petite (au sens de l'ordre choisi) solution de $(E)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe deux suites d'entiers $\left(x_{n}\right)_{n\in \N^{\star}}$ et $\left(y_{n}\right)_{n\in \N^{\star}}$ telles que, pour tout entier $n$ non nul : \[\left(3 + 2\sqrt{2} \right)^n = x_{n} + y_{n}\sqrt{2}\] \item Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. \item Montrer que les suites $\left(x_{n}\right)_{n\in \N^{\star}}$ et $\left(y_{n}\right)_{n\in \N^{\star}}$ sont strictement croissantes et tendent vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: \left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ est solution de $(E)$. On se propose de montrer que l'ensemble $S = \left\{\left(x_{n}~;~y_{n}\right),\:n \in N^{\star}\right\}$ est l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. On suppose qu'il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers positifs solutions de $(E)$ n'appartenant pas à $S$ et on note $(X~;~Y)$ le plus petit (au sens de l'ordre choisi) de ces couples. \item Montrer qu'il existe un unique entier $N$ tel que $y_{N} < Y < y_{N+1}$. \item Justifier à l'aide de l'algorithme que $N \geqslant 2$. \item Montrer que : \[x_{N} + y_{N}\sqrt{2}< X + Y\sqrt{2} < x_{N+1} + y_{N+1}\sqrt{2}\] \item En déduire que: \[x_{N-1} + y_{N-1} \sqrt{2} < (3X - 4Y) + (3Y - 2X)\sqrt{2} < x_{N} + y_{N}\sqrt{2}\] \item Montrer que : \begin{enumerate} \item $3X - 4Y > 0$ ; \item $3Y - 2X > 0$ ; \item $3Y - 2X < Y$ ; \item $(3X - 4Y~;~3Y - 2X)$ est solution de $(E)$. \end{enumerate} \item Conclure. \item Donner les cinq premiers couples d'entiers $(x~;~y)$ (au sens de l'ordre choisi) solutions de $(E)$ puis les valeurs correspondantes de $m$ et $n$. \end{enumerate} \end{document}