\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small} \dots\lfoot{\small{CAPES externe 2014}} \rfoot{\small{2014}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{CAPES épreuve 1 session 2014}} \end{center} \vspace{0,5cm} \hrule \begin{center}{\large \textbf{Problème 1 : sommes de Riemann}}\end{center} \hrule \medskip \emph{Dans ce problème, on suppose introduite à l'aide des fonctions en escalier la notion d'intégrale au sens de Riemann d'une fonction.} \begin{center} \textbf{Partie A : convergence des sommes de Riemann} \end{center} Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ une fonction continue sur $[a~;~b]$. Pour tout $n \in \N*$, pour tout $k \in \llbracket0~;~n \rrbracket$, on pose : $x_{k} = a + k \dfrac{b - a}{n}$ et on considère les sommes de Riemann : \[S_{n}(f) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k}\right)\quad \text{et} \quad R_{n}(f) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)\] Dans un premier temps, on se propose de démontrer que les suites $\left(S_{n}(f)\right)_{n \in \N*}$ et $\left(R_{n}(f)\right)_{n \in \N*}$ sont convergentes et de même limite $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(t) \:\text{d}t$. Dans un deuxième temps, on cherche à obtenir une majoration de $\left|\displaystyle\int_{a}^b f(t) \:\text{d}t - (b - a)S_{n}(f)\right|$, pour tout $n \in \N*$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que : \[\forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0,\: \forall(x,~y) \in [a,~ b]^2,\quad |x - y| \leqslant \eta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leqslant \dfrac{\epsilon}{b - a}.\] \item Soit $\epsilon$ un réel strictement positif. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe $N \in \N$ tel que : \[\forall n \geqslant N, \forall k \in \llbracket 0,~ n - 1\rrbracket,\: \forall t \in [x_{k}~;~x_{k+1}],\quad \left|f(t) - f\left(x_{k}\right)\right| \leqslant \dfrac{\epsilon}{b - a}.\] \item En déduire que : \[\forall n \geqslant N, \forall k \in \llbracket 0,~ n - 1\rrbracket,\:\: \left|\displaystyle\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} \left(f(t) - f\left(x_{k}\right)\right) \:\text{d}t\right| \leqslant \dfrac{\epsilon}{n},\] puis que: \[\forall n \geqslant N,\:\: \left|\displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\:\text{d}t - (b - a)S_{n}(f)\right| \leqslant \epsilon.\] \end{enumerate} \item En déduire que $\left(S_{n}(f)\right)_{n \in \N*}$, puis $\left(R_{n}(f)\right)_{n \in \N*}$, convergent vers $\dfrac{1}{b - a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\:\text{d}t$. \item \emph{Application} Soit $\left(u_{n}\right)_{n\in \N*}$ la suite définie par : $\forall n \in \N*, \quad u_{n} = \displaystyle\sum_{j=n+1}^{2n} \dfrac{1}{j}$. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \N*}$ converge vers $\ln 2$. \item Dans cette question, on suppose que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a~;~b]$. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un réel $M$ tel que : $\forall t \in [a~;~ b], \left|f'(t)\right| \leqslant M$. \item En déduire que : $\forall n \in \N*,\: \forall k \in \llbracket 0, n - 1\rrbracket,\: \forall t \in \left[x_{k}~;~x_{k+1}\right],\quad \left|f(t) - f\left(x_{k}\right)\right| \leqslant M\left(t - x_{k}\right)$. \item Démontrer que : \[\forall n \in \N*, \forall k \in \llbracket 0, n - 1\rrbracket, \left| \displaystyle\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} \left(f(t) - f\left(x_{k}\right)\right)\:\text{d}t\right| \leqslant \dfrac{M(b - a)^2}{2n^2} \] puis que : \[\forall n \in \N*,\:\left|\displaystyle\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t - (b - a)S_{n}(f) \right| \leqslant \dfrac{M(b - a)^2}{2n}.\] \end{enumerate} \item \emph{Application : calcul d'une valeur approchée de }$\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{- x^2}\:\text{d}x$ \emph{ par la méthode des rectangles.} \medskip Soit $f$ la fonction définie par : $\forall x \in \R,\: f(x) = \text{e}^{- x^2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer un réel $M$ tel que $\forall x \in [0~;~1],\: \left|f'(x)\right| \leqslant M$. \item Soit $\epsilon \in \R*_{+}$. En utilisant les résultats obtenus dans la question 5, écrire un algorithme qui calcule une valeur approchée à $\epsilon$ près de $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{- x^2}\:\text{d}x$. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{- x^2}\:\text{d}x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B : application à l'étude de suites} \end{center} Soit $f$ une fonction définie sur $]0~;~1]$, continue et décroissante sur $]0~;~1]$. On considère la suite $\left(r_{n}\right)_{ n \in \N*}$ définie par : \[\forall n \in \N*,\:r_{n} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)\] et la fonction $I$ définie sur $]0~;~1]$ par: $\forall x \in ]0~;~1],\: I(x) = \displaystyle\int_{x}^1 f(t)\:\text{d}t$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 2$ et pour tout $k \in \llbracket1,\: n - 1\rrbracket$, on a : \[\dfrac{1}{n} f\left(\dfrac{k + 1}{n}\right) \leqslant \displaystyle\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t)\:\text{d}t \leqslant f\left(\dfrac{k}{n}\right)\] \item En additionnant les inégalités précédentes, démontrer que pour tout entier $n \geqslant 2$, on a : \[I\left(\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{n}f(1) \leqslant r_{n} \leqslant I\left(\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right).\] \item On suppose, de plus, que $\displaystyle\lim_{x \to 0} I(x) = \ell \:(\ell \in \R)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} xf(x) = 0$. Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)_{ n \in \N*}$ converge et préciser sa limite. \item Dans cette question, on pose $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{4} - \dfrac{1}{2}\ln x$, pour tout réel $x \in ]0~;~1]$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $n \in \N*,\: r_{n} = \dfrac{(n + 1)(2n + 1)}{24n^2} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2n} \ln \left(\dfrac{n!}{n^n} \right)$. \emph{On rappelle que la somme des carrés des $n$ premiers entiers naturels est égale à } $\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$. \item En utilisant les questions précédentes, démontrer que la suite $\left(\dfrac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}\right)_{n \in \N*}$ converge et déterminer sa limite. \emph{On rappelle que la fonction } $x \longmapsto x \ln x - x$ est une primitive de la fonction ln sur $\R*_{+}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{flushright} Tournez la page S. V. P. \end{flushright} \begin{center} \textbf{Partie C : une suite d'intégrales} \end{center} \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $n \in \N*$ et tout $k \in \llbracket 0,~ n - 1\rrbracket$, on a : \[\displaystyle\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k + 1)\pi}{n}} |\sin (nx)|\:\text{d}x = \dfrac{2}{n}.\] \item Soit $f$ une fonction continue et croissante sur $[0~;~\pi]$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $n \in \N*$ et tout $k \in \llbracket 0,\: n - 1\rrbracket$, on a : \[\dfrac{2}{n}f\left(\dfrac{k\pi}{n}\right) \leqslant \displaystyle\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k + 1)\pi}{n}} f(x)|\sin (nx)|\:\text{d}x \leqslant \dfrac{2}{n}f\left(\dfrac{(k+1)\pi}{n}\right).\] \item En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x)|\sin (nx)|\:\text{d}x $. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x)|\sin (nx)|\:\text{d}x $. \item Obtiendrait-on le même résultat pour une fonction $f$ continue et décroissante sur $[0~;~\pi]$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie D : une application aux probabilités} \end{center} \begin{enumerate} \item Pour tout couple d'entiers naturels $(k, m)$, on pose $I_{k,\:m} = \displaystyle\int_{0}^1 x^k(1 - x)^m\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $\forall k \in \N*, \forall m \in \N,\quad I_{k,\:m} = \dfrac{k}{m + 1}I_{k-1,\:m+1}$. \item Pour tout couple d'entiers naturels $(k, m)$, déterminer $I_{0,\:k+m}$ et en déduire une expression de $I_{k,\:m}$ en fonction des entiers $k$ et $m$. \end{enumerate} \item Soient $n \in N*, p \in [0~;~1]$. Une urne contient des boules rouges et des boules blanches. La proportion de boules rouges dans cette urne est $p$. On réalise dans cette urne $n$ tirages indépendants d'une boule avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues. Déterminer la loi de probabilité de $X$, puis donner l'espérance de $X$. \item Soient $n \in \N*$ et $N \in \N*$. On dispose de $N$ urnes $U_{1}, ... , U_{N}$ contenant des boules rouges et des boules blanches et telles que, pour tout $j \in \llbracket1, N\rrbracket$, la proportion de boules rouges dans $U_{j}$ est $\dfrac{j}{N}$. On choisit une urne au hasard et on effectue dans cette urne $n$ tirages indépendants d'une boule avec remise. On note $X_{N}$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues. \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $k$, on note $p_{N}(k)$ la probabilité que $X_{N}$ prenne la valeur $k$. Démontrer que : $p_{N}(k) = \dfrac{1}{N}\displaystyle\sum _{j=1}^{N}\binom{n}{k}\binom{j}{N}^k\left(1 - \dfrac{j}{N}\right)^{n - k}$. \item Calculer l'espérance de $X_{N}$. Quelle est la limite de cette espérance quand $N$ tend vers $+ \infty$ ? \item En utilisant le résultat obtenu dans la première question, déterminer $\displaystyle\lim_{N \to +\infty} p_{N}(k)$. Que peut-on en déduire pour la suite de variables aléatoires $\left(X_{N}\right)_{N\in \N*}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \hrule \begin{center} \large{\textbf{Problème 2 : fonction exponentielle, évolution d'une population}} \end{center} \hrule \bigskip On établit dans la partie A l'existence d'une unique solution de l'équation différentielle $y' = y$ vérifiant $y(0) = 1$ et on étudie dans la partie B un exemple d'équation différentielle. Dans la partie A, les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes sont supposées ne pas être connues. \begin{center} \textbf{Partie A : la fonction exponentielle} \end{center} On s'intéresse dans cette partie à l'équation différentielle $(E) :\:\: y' = y$, avec la condition $y(0) = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose qu'il existe une fonction $f$ dérivable, solution de $(E)$ sur $\R$ telle que $f(0) = 1$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $\forall x \in \R,\quad f(x) \times f(-x) = 1$. \item En déduire que $f$ ne s'annule pas sur $\R$. \item Démontrer que si $g$ est une fonction dérivable solution de $(E)$ sur $\R$ telle que $g(0) = 1$, alors $g = f$. \emph{On pourra considérer la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par } $\varphi(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}$. \item Démontrer que : $\forall (a,\:b) \in \R^2, \:\:f(a + b) = f(a) \times f(b)$. On pourra fixer un réel $a$ et considérer la fonction $\psi$ définie sur $\R$ par $\psi(x) = \dfrac{f(a + x)}{f(a)}$. \item Déduire des résultats précédents que $f$ est strictement positive sur $\R$. \end{enumerate} \item On va dans cette question établir l'existence d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, solution de $(E)$ telle que $f(0) = 1$. Soit $x \in \R$. On pose, pour tout entier $n > |x|$ : \[u_{n}(x) = \left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^n \quad \text{et}\quad v_{n}(x) = \dfrac{1}{u_{n}(- x)}.\] On va montrer que les suites $\left(u_{n}(x)\right)_{n >|x|}$ et $\left(v_{n}(x)\right)_{n >|x|}$ sont adjacentes. \begin{enumerate} \item Justifier que les suites $\left(u_{n}(x)\right)$ et $\left(v_{n}(x)\right)$ sont bien définies pour $n >|x|$. \item Établir par récurrence l'inégalité de Bernoulli : \[\forall a \in ]- 1~;~+\infty[,\:\: \forall n \in \N*,\quad (1 + a)^n \geqslant 1 + na.\] \item Soit $n$ un entier tel que $n > |x|$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $u_{n+1}(x) = u_{n}(x) \times \left(1 + \dfrac{x}{n}\right) \times \left(\dfrac{1 + \frac{x}{n+1}}{1 + \frac{x}{n}}\right)^{n+1}$. \item En utilisant l'inégalité de Bernoulli, démontrer que : $\left(\dfrac{1 + \frac{x}{n+1}}{1 + \frac{x}{n}}\right)^{n+1}\geqslant \dfrac{1}{1 + \frac{x}{n}}$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}(x)\right)$ est croissante. \end{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}(x)\right)$ est décroissante. \item Soit $n$ un entier tel que $n > |x|$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $v_{n}(x) - u_{n}(x) = v_{n}(x) \left(1 - \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)^n\right)$. \item En déduire que : $v_{n}(x) - u_{n}(x) \geqslant 0$. \item En utilisant l'inégalité de Bernoulli, démontrer que : $v_{n}(x) - u_{n}(x) \leqslant v_{n}(x) \times \dfrac{x^2}{n}$. \end{enumerate} \item Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la limite de la suite $\left(v_{n}(x) - u_{n}(x)\right)_{n > |x|}$. Conclure. \item On désigne par $f$ la fonction qui à tout réel $x$ associe $f(x)$, limite commune des suites $\left(u_{n}(x)\right)$ et $\left(v_{n}(x)\right)$. On va démontrer que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ et vérifie $f(0) = 1$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $f(0) = 1$. Dans les deux questions suivantes, on considère un réel $x_{0}$. \item On admet que : $\forall(a,\: k) \in \R^2,\:\: f(a + k) - f(a) \geqslant kf(a)$. En utilisant cette relation, établir que : \[\forall h \in ]-1~;~1[,\:\: hf\left(x_{0}\right) \leqslant f\left(x_{0} + h\right) - f\left(x_{0}\right) \leqslant \dfrac{h}{1 - h} f\left(x_{0}\right).\] \item En déduire que $f$ est dérivable en $x_{0}$ de dérivée $f\left(x_{0}\right)$. Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B : évolution d'une population} \end{center} Pour étudier l'évolution d'une population de poissons au cours du temps, on utilise le modèle suivant. On admet que la fonction $N$, représentant le nombre de poissons en fonction du temps $t$ (exprimé en années) vérifie les conditions suivantes : \begin{itemize} \item $N$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : \[y' = ry\left(1 - \dfrac{y}{K}\right)\] où $r$ et $K$ sont des constantes réelles strictement positives ; \item $N(0) = N_{0}$, avec $0 < N_{0} < K$ ; \item $N$ est définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $0$ ; \item si $g$ est une solution de $(E)$ définie sur un intervalle $J$ contenant $0$ et vérifiant $g(0) = N_{0}$, alors $J$ est inclus dans $I$. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Quel théorème permet de garantir l'existence et l'unicité de la fonction $N$ ? On admet que $I$ contient $[0~;~+ \infty[$, et que pour tout réel $t \in I,\: 0 < N(t) < K$. \item \emph{Étude qualitative} \begin{enumerate} \item Démontrer que $N$ est strictement croissante sur $I$. \item En déduire que $N$ admet une limite finie $\ell $ en $+ \infty$. \item Démontrer que $\ell = K$. \emph{On pourra raisonner par l'absurde}. \end{enumerate} \item \emph{Détermination d'une expression de } $N$ On pose, pour $t \in I,\: g(t) = \dfrac{1}{N(t)}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $g$ est solution sur $I$ de l'équation différentielle $\left(E'\right)$ : $y' = -ry + \dfrac{r}{K}$. \item Résoudre l'équation différentielle $\left(E'\right)$, puis déterminer une expression de $N$ sur $I$. \item Retrouver la limite de $N$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}