\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{accents} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{braket} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\newcommand{\P}{\mathbb{P}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Roman{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} %\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}} %\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} %\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{$k$}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\,\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPES 2023}, pdftitle = {épreuve 1 8 avril 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small épreuve 1} \lfoot{\small{CAPES externe Mayotte 8 avril 2025}} \rfoot{\small{Épreuve 1}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES À AFFECTATION LOCALE À MAYOTTE ~\decofourright\\[7pt]Section mathématiques\\[7pt] 8 avril 2025 épreuve 1}} \end{center} \vspace{0,5cm} \hrule \vspace{0.2cm} {\Large \textbf{Problème 1 : codage et décodage d’un message chiffré}} \vspace{0.2cm} \hrule \medskip \textbf{\large Partie A : équation diophantienne} \medskip Dans cette partie, on considère l’équation diophantienne \[(E) :\quad 17x - 26y = 1\] d’inconnue $(x~;~y) \in \Z^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une solution particulière de $(E)$. \item Résoudre l'équation $(E)$. \item Démontrer qu'il existe un unique couple solution $(u~;~v)$ de $(E)$ tel que $0 \leqslant u < 26$. \item Démontrer que, pour tous nombres entiers relatifs $p$ et $q$ , on a l'équivalence: \[17p \equiv q \quad [26] \iff p \equiv 23q \quad [26].\] \end{enumerate} \medskip \begin{tabular}{|p{14cm}|}\hline \textbf{Codage :}\\ Soient $a$ un entier non nul et $b$ un entier.\\ La fonction $f$, qui à tout entier $n$ compris entre 0 et 25 associe $f(n) = an + b$ est appelée fonction de codage.\\ Le codage d'une lettre par cette fonction se fait comme suit :\\ \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item Remplacer la lettre par son équivalent numérique $n$ donné par le tableau ci-dessous \item Calculer le reste $r$ de la division euclidienne de $f(n) = an + b$ par $26$ \item Remplacer l'entier obtenu $r$ par la lettre correspondante dans le tableau \end{itemize}\\ \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline N &O &P& Q& R&S& T& U& V &W& X& Y& Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx}\\ Le codage d'un mot consiste alors à coder chacune de ses lettres.\\ \hline \end{tabular} \bigskip \textbf{\large Partie B :: un exemple de codage} \medskip Dans cette partie, la fonction de codage $f$ est définie par $f(n)= 17n + 22$ où $n$ est un entier compris entre 0 et 25. Pour le codage de la lettre H, correspondant au nombre $n = 7$, on a : $f(7)= 17 \times 7 + 22 = 141 = 5 \times 26 + 11$, d'où $r ~ 11$. Ainsi la lettre H sera codée par la lettre L, correspondant au nombre 11. \medskip \begin{enumerate} \item Coder le mot \og HUIT \fg{} en utilisant la fonction $f$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression d'une fonction de décodage $g$ telle que: \[r \equiv f(n) \quad [26] \iff n \equiv g(r) \quad [26]\] \item Décoder alors le mot \og QWXA \fg. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie C : cas général} \medskip Soient $a$ un entier non nul et $b$ un entier. Dans cette partie, la fonction de codage est définie par $f(n) = an + b$, pour tout entier $n$ compris entre O et 25. On dit que $f$ admet une fonction de décodage $g$, si deux lettres distinctes sont codées par des lettres distinctes, c'est-à-dire si: pour tout couple d'entiers $(n_1~;~ n_2)$ compris entre 0 et 25, $f(n_1) \equiv f(n_2) \quad [26] \Rightarrow n_1 = n_2$. On admet qu'il existe alors une fonction affine de décodage $g$, définie pour tout entier $r$ par $g(r) = n$ où $n$ un entier tel que $f(n) \equiv r \quad [26]$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que si $a$ et 26 sont premiers entre eux alors $f$ admet une fonction de décodage. \item Soit une fonction de codage $f$ telle que $a$ et 26 sont premiers entre eux. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un entier relatif $u$ tel que $au \equiv 1 \quad[26]$ \item Déterminer en fonction de $u$ une fonction de décodage $g$. \item La fonction de décodage est-elle unique ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \hrule \vspace{0.2cm} \textbf{\Large Problème 2: géométrie dans l'espace} \vspace{0.2cm}\hrule \medskip Soit ABCDEFGH un cube de côté 4. On note I le milieu du segment [CG] et J celui du segment [GH]. On admet que les droites (BI) et (EJ) sont sécantes en un point K. \medskip \begin{minipage}{0.53\linewidth} Dans tout l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ avec : $\vect{\imath} = \frac 14 \vect{\text{AB}}, \:\vect{\jmath} = \frac 14 \vect{\text{AD}}$ et $\vect{k} = \frac 14 \vect{\text{AE}}$. On a ainsi: A(0~;~0~;~0), B(4~;~0~;~0), C(4~;~4~;~0), D(0~;~4~;~0), E(0~;~0~;~4), F(4~;~0~;~4), G(4~;~4~;~4) et H(0~;~4~;~4). \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.43\linewidth} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(5.4,5.4) %\psgrid \psframe(0.2,0.2)(2.5,2.5)%ABFE \psline(2.5,0.2)(3.7,1.4)(3.7,3.7)(2.5,2.5)%BCGF \psline(3.7,3.7)(1.2,3.7)(0.2,2.5)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.4,1.4)(3.7,1.4)%ADC \psline[linestyle=dashed](1.4,1.4)(1.2,3.7)%DH0 \psline[linecolor=red](4.8,4.8)(2.45,3.7)(0.2,2.5)(2.5,0.2)(3.7,2.55)(4.8,4.8) \pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=blue](3.7,2.5)(2.5,3.7)(0.2,2.5)(2.5,0.2)%IJEB \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](3.7,2.5)(2.5,3.7) \uput[d](0.2,0.2){A}\uput[d](2.5,0.2){B}\uput[r](3.7,1.4){C} \uput[l](1.4,1.4){D}\uput[ul](0.2,2.5){E}\uput[ur](2.5,2.5){F} \uput[u](3.7,3.7){G}\uput[u](1.2,3.7){H}\uput[dr](4.8,4.8){K} \uput[r](3.7,2.45){I}\uput[u](2.45,3.7){J} \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier par le calcul que I a pour coordonnées (4~;~ 4~;~2). On admettra que le point J a pour coordonnées (2~;~ 4~;~4). \item Donner une représentation paramétrique de la droite (BI). On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (EJ) est : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&2s\\y&=&4s\\ z &=&4 \end{array}\right.,\: \text{où } s \in \R.\] \item Démontrer que K a pour coordonnées (4~;~8~;~4). \item En exprimant le produit scalaire $\vect{\text{KE}} \cdot \vect{\text{KB}}$ de deux façons différentes, déterminer,, au degré près, une mesure de l'angle géométrique $\widehat{\text{EKB}}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BIJ). \item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (BIJ) est: \[2x - y + 2z - 8 = 0.\] \end{enumerate} \item On note $\Delta$ la droite orthogonale au plan (BIJ) passant par le point D, et N le point d'intersection de $\Delta$ avec le plan (BIJ). \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. \item Démontrer que le point N a pour coordonnées $\left(\dfrac 83~;~\dfrac 83~;~\dfrac 83\right)$. \item Calculer la distance du point D au plan (BIJ). \end{enumerate} \item Soit $M$ un point mobile sur le segment [EJ], et soit $s$ le réel de l'intervalle [0~;~1] tel que $\vect{\text{EM}} = s\vect{\text{EJ}}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que DM$^2 = 20s^2 - 32s + 32$. Déterminer la valeur du paramètre $s$ qui rend la distance D$M$ minimale. \item Déterminer les coordonnées du point $M$ qui réalise cette condition. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \hrule \vspace{0.2cm} \textbf{\Large Problème 3 : fonctions} \vspace{0.2cm}\hrule \medskip On note $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 1)^2\e^{-x}.\] On suppose que $f$ est dérivable sur $\R$ et l'on note $f'$ sa dérivée. \bigskip \textbf{\large Partie A : la représentation graphique} \medskip Une représentation graphique $(\mathcal{C})$ de la fonction $f$ est donnée ci-après mais les graduations ne sont pas indiquées. On se propose dans cette partie de préciser cette représentation graphique. \psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3} \begin{figure} \begin{center} \begin{pspicture*}(-2,-3)(5,4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-2,-3)(5,4) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{5}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div} \psline[linewidth=1.25pt](-2,-2)(5,5) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](-1,0)(0,0)(0,1)(1,1.47152)(1.415,1.415) \psplotTangent[arrows=<->]{1}{0.7}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div} \uput[dr](0,0){\small O}\uput[u](-1,0){\small A}\uput[ul](0,1){\small J}\uput[u](1,1.47152){\small B}\uput[u](1.415,1.415){\small $M_0$} \rput{45}(3.5,3.7){$y = x$} \rput{-16}(4,0.75){\red $y = (x + 1)^2\e^{-x}$} \end{pspicture*} \end{center} \end{figure} \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout $x \in \R$, déterminer $f'(x)$. \item Démontrer que la fonction $f$ est décroissante sur $[1~;~+\infty[$. \item Soit B le point de $(\mathcal{C})$ d'abscisse positive tel que la tangente en B à $(\mathcal{C})$ est parallèle à l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées de B. \item En déduire l'équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ en B. \end{enumerate} \item La courbe coupe l'axe des ordonnées au point J. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées de J. \item La tangente $(\Delta)$ à la courbe $(\mathcal{C})$ au point J passe-t-elle par le point A de coordonnées $(-1~;~0)$ ? \item $(T)$ est-elle parallèle à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$ ? \end{enumerate} \item La courbe $(\mathcal{C})$ admet-elle une asymptote en $+\infty$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie B : recherche de l'intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ avec la droite $(\Delta)$.} \medskip On désigne par $x_0$ l'abscisse du point d'intersection de la courbe $(\mathcal{C})$ avec la droite $(\Delta)$. On admet dans cette partie que 1 < ~~ <~. 2 \medskip \begin{enumerate} \item Donner une valeur arrondie, à $10^{-2}$ près, de $f(1)$ puis de $f\left(\dfrac 32\right)$. \item On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \N}$ définie par \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0&=&\dfrac 32\\ u_{n+1}&=&f(u_n) \: \text{pour tout } n \in \N \end{array}\right.\] À l'aide des questions précédentes, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\:,1 \leqslant u_n \leqslant \dfrac 32$. \item On admet que pour tout entier naturel $n,\: \left|u_{n+1} - _0\right| \leqslant \dfrac12\left|u_n - x_0\right|$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left|u_n - x_0\right| \leqslant \left(\dfrac 12\right)^{n+1}$. \item Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \N}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En utilisant la décroissance de $f$ sur $\left[1~;~\dfrac 32\right]$[, justifier que pout tout entier naturel $n,\: u_n- x_0$ et $u_{n+1} - x_0$ sont de signes contraires. \item Écrire un algorithme permettant d'obtenir, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite du rang 0 au rang $n - 1$. \item Calculer les cinq premiers termes de la suite et en donner une valeur arrondie à $10^{-5}$ près. \item En déduire une valeur approchée de $x_0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie C : un calcul d'aire} \medskip Soit $a$ un nombre négatif. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de deux intégrations par partie, calculer en fonction de $\alpha$: \[\displaystyle\int_{\alpha}^0 f(x)\:\text{d}x.\] \end{enumerate} On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = \alpha$ et $x = 0$. \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ quand $\alpha = -1$. \item On se propose de déterminer une valeur approchée de $\alpha$ tel que $\mathcal{A} = 5$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $\mathcal{A} = 5$ est équivalent à $\e^{-\alpha}\left(\alpha^2 + 4\alpha + 5\right) = 10$. \item Démontrer que l'équation $\e^{-\alpha}\left(x^2 + 4x + 5\right) = 10$ admet une unique solution sur $\R$. \item Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$ tel que $\mathcal{A} = 5$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}