\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{accents} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{braket} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\newcommand{\P}{\mathbb{P}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Roman{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} %\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}} %\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} %\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{$k$}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\,\text{e}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {} pdfsubject = {CAPES 2024}, pdftitle = {épreuve 1 18 mars 2024}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small épreuve 1} \lfoot{\small{CAPES externe 18 mars 2024}} \rfoot{\small{}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]18 mars 2024 épreuve 1}} \end{center} \vspace{0,5cm} Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants. \medskip Notations : \begin{description} \item[ ] $\N$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels. \item[ ] $\N^*$ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls. \item[ ] $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels. \item[ ] $\R_+$ désigne l'ensemble des nombres réels positifs. \item[ ] $\R_+^*$ désigne l'ensemble des nombres réels strictement positifs. \end{description} \bigskip {\large \textbf{Problème 1 : VRAI - FAUX}} \medskip Pour chacune des assertions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte. \begin{center}\textbf{Proportionnalité}\end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Pour que le tableau ci-dessous soit un tableau de proportionnalité il faut et il suffit que $m = 5$. \begin{center}$\begin{array}{|c|c|}\hline 1 - m& -3\\\hline 8&1 + m\\ \hline \end{array}$\end{center} \item Après une augmentation de 55\,\%, le coût d'un produit a baissé de 28\,\%. Le pourcentage d'augmentation total est de 27\,\%. \item Si l'on augmente son rayon de 22\,\%, l'aire d'un disque augmente de 44\,\%. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Analyse}\end{center} \begin{enumerate}[resume] \item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[F(x) = \displaystyle\int_0^x \e^{-t^2}\:\text{d}t.\] On a \[\dfrac{1}{\e} \leqslant F(1) \leqslant 1 - \dfrac{1}{\e}.\] \item On note pour tout réel $t \geqslant 1$, \[A(t) = \displaystyle\int_1^t x^2 \ln x \:\text{d}x.\] On a \[\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \dfrac{A(t)}{t^2} = + \infty.\] \item Toute suite $\left(u_n\right)$ qui vérifie l'assertion suivante tend vers $+\infty$. \[\exists n_0 \in \N ~;~ \forall A \in \R, \: n \in \N, \quad (n \geqslant n_0 \Rightarrow u_n \geqslant A).\] \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Arithmétique}\end{center} \begin{enumerate}[resume] \item On a $\dfrac{3}{11} = 0,272727272727$. \item Le produit de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel. \item Soit $n \in \N$. La contraposée de l'assertion \og $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair \fg est \og $n$ pair $\Rightarrow n^2$ pair \fg. \item Si la somme des chiffres en base 10 d'un entier naturel est divisible par 3 alors cet entier est divisible par 9. \item Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels et $n$ un entier naturel non nul. Si $2a =2b$ (mod $n$) alors $a = b$ (mod $n$). \item Soit $n$ un entier naturel non nul, la somme des $n$ premiers nombres impairs est égale au carré de $2n+ 1$. \item Soient $a, b$ et $c$ trois entiers tels que $a^2 = b^2 + c^2$. L'un au moins des nombres $a, b$ et $c$ est multiple de $5$. Géométrie \item Un triangle dont les mesures des angles sont dans un ratio 1 : 2 : 3 est un triangle rectangle. \item Dans un plan affine euclidien, on considère un triangle ABC sur lequel sont construits extérieurement les triangles équilatéraux ABD et ACE. On a BE = DC. \item Dans un espace affine euclidien, muni d'un repère cartésien orthonormé, les droites $D$ et $D'$ de représentations paramétriques \begin{center} $\left\{\begin{array}{l c l} x& = &1+t\\ y& = &3 - t\\ z &=& 5- 2t \end{array}\right. \quad t \in \R$ \quad et \quad $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + t\\ y &=& 3 - t\\ z &=& - 5t - 1 \end{array}\right. \quad t \in \R$ \quad sont coplanaires.\end{center} \item On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous. \begin{minipage}{0.75\linewidth} On se place dans le repère $\left(\text{D},~\vect{\text{DA}}~;~\vect{\text{DC}}~;~\vect{\text{DH}}\right)$. Le point K$(9~;~-10~;~-8)$ est un point du plan (ABG). \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.22\linewidth} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(2.5,2.3) \psframe(0.1,0.2)(1.6,1.7)%ABFE \psline(1.6,0.2)(2.2,0.6)(2.2,2.1)(1.6,1.7)%BCGF \psline(2.2,2.1)(0.7,2.1)(0.1,1.7)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.1,0.2)(0.7,0.6)(2.2,0.6)%ADC \psline[linestyle=dashed](0.7,0.6)(0.7,2.1)%DH \psline[linestyle=dashed](0.1,0.2)(0.7,2.1)%AH \psline(1.6,0.2)(2.2,2.1)%BG \uput[dl](0.1,0.2){A} \uput[dr](1.6,0.2){B} \uput[r](2.2,0.6){C} \uput[ur](0.7,0.6){D} \uput[l](0.1,1.7){E} \uput[u](1.6,1.7){F} \uput[ur](2.2,2.1){G} \uput[u](0.7,2.1){H} \end{pspicture} \end{minipage} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Dénombrement - Probabilités}\end{center} \begin{enumerate}[resume] \item Soit $E$ un ensemble fini non vide dont un des éléments est noté $a$. Il y a autant de parties de $E$ contenant $a$ que de parties ne le contenant pas. \item Le nombre de trajets les plus courts pour aller du départ à l'arrivée sur le quadrillage ci-dessous est égal à 120. \item Une agence reçoit en moyenne 8 appels téléphoniques par heure. On modélise le nombre d'appels reçus par heure par une loi de Poisson. La probabilité qu'il y ait plus de 3 appels téléphoniques au cours d'une heure est supérieure à $0,95$. \item Soient $A$ et $B$ deux évènements d'un espace probabilisé. Les assertions suivantes sont équivalentes \begin{itemize} \item les évènements $A$ et $B$ sont indépendants; \item les évènements $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants. \end{itemize} \item On dépose au hasard $n$ boules numérotées de 1 à $n$ dans $n$ urnes numérotées de 1 à $n$, en plaçant une boule par urne. L'espérance du nombre de coïncidences (boule de même numéro que l'urne où elle se trouve) est égale à 1. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Algorithmique}\end{center} \begin{enumerate}[resume] \item Le programme ci-dessous est écrit en langage Python. En saisissant la commande \emph{encadrement}(0, 2, 0.001), on obtient un encadrement de longueur inférieure à $10^{-3}$ de la solution de l'équation $\e^{\frac x2}~ + x^2 - 3 = 0$ dans l'intervalle [0~;~2]. \begin{tabular}{l l} 1 &from math import *\\ 2&v def f(x) :\\ 3&\quad return exp(0.5*x)+x**2-3\\ 4&v def encadrement (a, b, epsilon) :\\ 5&m= (a + b)/2\\ 6&v while b-a > epsilon : \\ 7&v if f(a)*f(m) < 0 :\\ 8& \quad b=m\\ 9&else :\\ 10&v a=m\\ 11& return a, b\\ \end{tabular} \end{enumerate} \newpage {\Large \textbf{Problème 2 : quelques modèles de dynamique d'une population}} \medskip Dans ce problème, on s'intéresse à différents modèles d'évolution d'une population. Les trois parties sont indépendantes. \begin{center}\textbf{Le modèle logistique discret}\end{center} \smallskip Dans cette partie, on modélise la taille de la population par une suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel qui désigne le temps écoulé depuis un instant donné pris pour origine. On suppose que la taille de la population est bornée, c'est-à-dire qu'il existe un réel strictement positif $M$ tel que \[\forall n \in \N, \quad 0 \leqslant u_n < M.\] Dans toute cette partie, on suppose $0 < u_0 < M$, et on pose $v_n = \dfrac{u_n}{M}$ pour tout entier $n \in \ N$. On a alors $v_0 \in ]0~;~1]$. On suppose qu'il existe un réel $a$ tel que la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ vérifie la relation de récurrence suivante : \[\forall n \in \N , \quad v_{n+1} = av_n\left(1 - v_n\right)\hfill(1)\] Le but de cette partie est d'étudier le comportement de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ dans le cas où $0 < a \leqslant 1$ et de faire une étude numérique pour le cas $a = \dfrac52$. \medskip \textbf{Le cas }\boldmath $0 < a \leqslant 1$\unboldmath On rappelle que $v_0 \in ]0~;~1[$. On considère les fonctions $f_a$ et $g_a$ définies sur [0~;~1] par \begin{center}$\forall x \in [0~;~1], f_a(x) = ax(1 - x)$\quad et \quad $g_a(x) = f_a(x) - x$.\end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Dresser le tableau des variations de la fonction $f_a$ sur l'intervalle [0~;~1]. \item Déduire de la question précédente que pour tout $n \in \N,\: v_n \in [0~;~1]$. \item Démontrer que si la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ converge vers un réel $C \in [0~;~1]$, alors $C$ est un point fixe de $f_a$, c'est-à-dire que $f_a(C) = C$. \item Démontrer que $f_a$ admet $0$ pour unique point fixe dans l'intervalle [0~;~1]. \item Démontrer que $g_a(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in ]0~;~1[$. On pourra utiliser l'inégalité $1 - \dfrac 1a \leqslant 0$. \item En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est décroissante. \item Justifier la convergence de la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ vers un réel que l'on déterminera. \item Que prédit le modèle sur l'évolution de la taille de la population dans ce cas? \end{enumerate} \textbf{Le cas }\boldmath $a = \dfrac52$.\unboldmath On pose $v_0 = \dfrac12$. On introduit les fonctions $f, g$ et $h$ définies pour $x \in [0~;~1]$, par \begin{center}$f(x) = \dfrac52 x(1 - x),\quad g(x) = f(x) - x$ et $h(x) = f \circ f(x) - x$.\end{center} \begin{enumerate}[resume] \item Démontrer que $f$ admet sur [0~;~1] exactement deux points fixes. \item Calculer $v_1, v_2, v_3$ et $v_4$. On donnera les valeurs décimales à $10^{-3}$ près. \item Écrire un algorithme qui permet de calculer les 10 premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$. En déduire $v_{10}$. \item Dans un repère orthonormé on a représenté, sur le graphique ci-dessous, pour des abscisses comprises entre 0,5 et 0,7 : \begin{minipage}{0.4\linewidth} \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item la courbe représentative de la fonction $f$, \item la droite d'équation $y = x$. \end{itemize} Reproduire le graphique en mettant en évidence les nombres $v_0, v_1, v_2, v_3$ et $v_4$. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.58\linewidth} \end{minipage} \item Vérifier que l'on a \[\forall x \in [0~;~1], \:\:h(x) = - \dfrac{x(5x - 3)\left(25x^2 - 35x + 14\right)}{8}.\] \item En déduire que les fonctions $f$ et $f \circ f$ ont les mêmes points fixes sur [0~;~1]. \item Étudier le signe de la fonction $h$ sur l'intervalle $\left[0~;~\frac35\right]$. \item On admet que l'intervalle $\left[\frac25~;~\frac35\right]$ est stable par la fonction $f \circ f$. Déduire de la question précédente que la suite $\left(v_{2n}\right)_{n\in \N}$ est croissante. \item Démontrer que la suite $\left(v_{2n}\right)_{n\in \N}$ converge vers $\dfrac35$. \item En déduire que la suite $\left(v_{2n+1}\right)_{n\in \N}$ converge également vers $\dfrac35$, puis que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ converge vers $\dfrac35$. \item Conclure sur le comportement asymptotique de la taille de la population prédit par le modèle. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Le modèle logistique continu}\end{center} Dans cette partie, on modélise l'évolution de la population par une fonction. La taille de la population à l'instant $t \in \R_+$ est représentée par le réel $y(t)$ où $y$ désigne une fonction de $\R_+$ vers $\R_+$. On suppose que la taille de la population est bornée par un réel strictement positif $M$, c'est-à-dire que \[\forall t\in \R, \: 0 < y(t) < M.\] On suppose qu'il existe un réel strictement positif $a$ tel que $y$ soit une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ solution de l'équation \[\forall t\in \R, \: y'(t) = ay(t) (M - y(t)).\] \medskip \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe des réels $\alpha,\:\beta$, fJ que l'on déterminera tels que pour tout réel $z$ vérifiant $0 < z < M$, \[\dfrac{1}{z(M - z)} = \alpha \dfrac 1z + \beta \dfrac{1}{M - z}.\] En déduire que $y$ vérifie l'équation: \[\forall t\in \R, \quad \alpha \dfrac{y'(t)}{y(t)} + \beta \dfrac{y'(t)}{M - y(t)} - a = 0.\] \item Déterminer en fonction de $a$ et de $M$, une primitive de la fonction \begin{center}$\psi : t \longmapsto \alpha \dfrac{y'(t)}{y(t)} + \beta \dfrac{y'(t)}{M - y(t)} - a$ sur $\R_+$.\end{center} \end{enumerate} \item Déduire de la question précédente qu'il existe un réel $c > 0$ tel que pour tout $t \in \R_+$, \[y(t) = \dfrac{cM \e^{aMt}}{1 + c\e^{aMt}}.\] \item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} y(t)$. \item Qu'en déduire sur l'évolution de la population prédite par le modèle ? \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Un modèle proies-prédateurs discret}\end{center} On s'intéresse dans cette partie à l'évolution de deux populations dans le même milieu: une population de proies, et une population de prédateurs. En préliminaire, on étudie les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par les relations de récurrence suivantes. : \[\forall n \in \N\:\left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}&=&x_n - \alpha y_n\\ y_{n+1}&=&y_n + \alpha x_n\\ \end{array}\right.\] où $\alpha$ est un réel strictement positif et indépendant de $n$. \medskip \begin{enumerate}[resume] \item On introduit la matrice $A = \begin{pmatrix}1&- \alpha\\\alpha&1 \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Pour $n \in \N$, exprimer $\begin{pmatrix}(x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}$ à l'aide de $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et $A$. \item Démontrer que pour tout $n \in \N$, \[\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $A$ admet deux valeurs propres complexes, notées $\lambda$ et $\mu$, que l'on précisera. \item Justifier l'existence de $r \in \R_+^*$ et $\theta \in [0~;~2\pi[$ tels que $\lambda = r\e^{\text{i}\theta}$ et $\mu = r\e^{-\text{i}\theta}$, et donner l'expression de $r$ en fonction de $\alpha$. \end{enumerate} \item Justifier l'existence d'une matrice inversible $P \in \mathcal{M}_2(\C)$ telle que \[A = P\begin{pmatrix}\lambda^n&0\\0&\mu^n\end{pmatrix} P^{-1}.\] \item Démontrer que $P = \begin{pmatrix}1&1\\-\text{i}&\text{i}\end{pmatrix}$ et déterminerP-l. -1 1 \item Démontrer que pour tout $n \in \N,\: A^n = P\begin{pmatrix}\lambda^n&0\\0&\mu^n\end{pmatrix}P^{-1}$. \item En déduire que pour tout $n\in \N$, \[\left\{\begin{array}{l c l} x_n& =& r^n \left(\cos(n\theta)x_0 - \sin(n\theta)y_0\right),\\ y_n&=&r^n\left(\sin(n\theta)x_0+ \cos(n\theta)y_0\right). \end{array}\right.\] \item On propose dans la suite un modèle discret pour suivre l'évolution des populations de proies et de prédateurs. \medskip L'entier $n$ désigne le temps écoulé depuis un instant donné pris pour origine. Les tailles des populations de proies et de prédateurs sont respectivement données par les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\overline{u} + x_n,\\ v_n&=&\overline{v} + y_n, \end{array}\right.\] où les réels strictement positifs $\overline{u}$ et $\overline{v}$ sont fixés et correspondent à des tailles de référence pour les populations de proies et de prédateurs. On a tracé sur le graphique ci-dessous les points de coordonnées $\left(u_n~;~v_n\right)$ pour les premières valeurs de $n$ comprises entre 0 et un entier $N$ strictement positif. \begin{center} \begin{pspicture}(10,8) %\psgrid \rput(5,4){\includegraphics[width=10cm]{Couples(u_n-v_n)}} \rput(-0.25,3.5){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.5,0.6)} \rput(0,3.8){$\overline{v}$} \rput(4.8,-0.6){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.5,0.6)} \rput(5,-0.3){$\overline{u}$} \end{pspicture} \end{center} Faire une description qualitative de l'évolution des populations de proies et de prédateurs prédite par le modèle. \item On suppose que $x_0$ et $y_0$ ne sont pas tous les deux nuls. Pour $n \in \N$, exprimer $x_n^2 + y_n^2$, en fonction de $r,\: x_0,\: y_0$ et en déduire que les suites $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ et $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ ne peuvent pas être toutes les deux bornées. Discuter de la pertinence du modèle. \end{enumerate} \end{document}