\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPES 2015 }, pdftitle = {Épreuve 1 avril 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small} \dots\lfoot{\small{CAPES externe 2015}} \rfoot{\small{}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{CAPES externe session 2015 Épreuve 1}} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{Problème \no 1}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Notations} \medskip On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes. La partie réelle du nombre complexe $z$ est notée Re $z$. Le module du nombre complexe $z$ est noté $|z|$ et on rappelle que, pour tout nombre complexe $z,\:|z|^2 = z \times \overline{z}$. Soient $p$ et $q$ deux entiers relatifs tels que $p \leqslant q$, on note $\llbeacket p, q\rrbrackett$ l'ensemble des entiers relatifs $k$ tels que $p \leqslant k \leqslant q$. \medskip \textbf{Préambule} \medskip Ce problème est composé de trois parties. La partie A généralise l'inégalité triangulaire dans $\C$ et son cas d'égalité. La partie B est une application d'un résultat de la partie A à un problème d'optimisation. La partie C est une application d'un résultat de la partie B a un problème de géométrie du triangle. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère un entier naturel $n$ non nul. \medskip \textbf{I}. \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout nombre complexe $z$,\:\: Re $z \leqslant |z|$ et étudier le cas d'égalité. \item \textbf{Question de cours.} - Démontrer que. pour tout couple $\left(z_1,~z_2\right)$ de nombres complexes, $\left|z_1 + z_2 \right| \leqslant \left|z_1\right| + \left|z_2\right|$. \item On suppose $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes non nuls. Montrer que l'inégalité précédente est une égalité si et seulement s'il existe un réel positif $\lambda$ tel que $z_2 = \lambda z_1$. Interpréter ce résultat en termes d'argument. \end{enumerate} \medskip \textbf{II.} \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $n$-uplet $\left(z_1, z_2, \ldots , z_n\right)$ de nombres complexes, \[\left|\displaystyle\sum_{k=1}^{n} z_k\right| \leqslant \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|z_k\right|.\] \item Montrer que, si $z_1, z_2, \ldots ,z_n$ sont des nombres complexes tous non nuls, l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si \[\forall k \in \llbracket1,~n\rrbracket, \quad \exist \lambda_k \in \R_{+}, \quad z_k = \lambda_k z_1.\] Interpréter ce résultat en termes d'arguments. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On se place désormais dans le plan complexe $\mathcal{P}$, d'origine O, Soit un entier $n \geqslant 3$. On considère $n$ points $A_1, A_2, \ldots, A_n$, d'affixes respectives $z_1,. z_2, \ldots, z_n$ tels que : (i) Pour tout $k \in \llbracket1,~n\rrbracket,~ A_k$ est distinct de O. (ii) Les $A_k$ sont deux à deux distincts. (iil) Il n'existe aucune droite du plan $\mathcal{P}$ contenant tous les $A_k$. (iv) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{z_k}{\left|z_k\right|} = 0$. \textbf{I.} Donner un exemple de $n$-uplet $z_1,. z_2, \ldots, z_n$ vérifiant l'égalité précédente. \textbf{II.} Pour tout $k \in \llbracket1,~n\rrbracket$, on pose $u_k = \dfrac{z_k}{\left|z_k\right|}$. Soit $M$ un point de $\mathcal{P}$ d'affixe z. \begin{enumerate} \item Vérifier que n n \[\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \overline{u_k}\left(z - z_k\right) = - \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|z_k \right|.\] \item En déduire l'inégalité ($\star$) ci-dessous : \[\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(z - z_k\right) \geqslant \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left|z_k \right|.\qquad \qquad (\star)\] \item En utilisant la question \textbf{II. 2. } de la partie A, démontrer que l'inégalité (\starJ est une égalité si et seulement si, pour tout $k \in \llbracket1,~n\rrbracket,\: \overline{u_k}\left(z - z_k\right)$ est un réel négatif. \item En déduire que l'inégalité ($\star$) est une égalité si et seulement si $z = 0$. \item Établir que la somme $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} MA_k$ atteint son minimum en un unique point $M$ que l'on précisera. \end{enumerate} \textbf{Partie C} \medskip On se place toujours dans le plan complexe $\mathcal{P}$. On considère trois points $A,\: B,\: C$ d'affixes respectives $a,\: b,\: c$ et tels que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Les points A, B, C ne sont pas alignés. \item[$\bullet~~$] Chacun des angles $\left(\vect{AB},~ \vect{AC}\right),\:\: \left(\vect{BC},~ \vect{BA}\right),\:\: \left(\vect{CA},~ \vect{CB}\right)$ possède une mesure appartenant à l'intervalle $[0~;~2\pi/3[$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Sur les côtés du triangle ABC, on construit vers l'extérieur trois triangles équilatéraux $AC'B,\:\: BA'C$ et $CB'A$. On nomme $a',\: b',\: c'$ les affixes respectives des points $A',\: B',\: C'$. \medskip \textbf{I.} Faire une figure et tracer les droites $(AA'),\: (BB')$ et $(CC')$. \textbf{II.} On admet que les droites $(AA'),\: (BB')$ et $(CC')$ sont concourantes en un point $\Omega$ strictement compris à l'intérieur du triangle $ABC$. En utilisant une rotation de centre $A$ exprimer $b'$ en fonction de $a$ et $c$ et $b$ en fonction de $a$ et $c'$. \textbf{III.} En déduire le module et un argument de $\dfrac{b'- b}{c - c'}$. \textbf{IV.} Déterminer une mesure de chacun des angles $\left(\vect{\Omega B},~\vect{\Omega C}\right),\: \left(\vect{\Omega C},~\vect{\Omega A}\right)$ et $\left(\vect{\Omega A},~\vect{\Omega B}\right)$. \textbf{V.} Démontrer que \[\dfrac{\vect{\Omega A}}{\Omega A} + \dfrac{\vect{\Omega B}}{\Omega B} + \dfrac{\vect{\Omega C}}{\Omega C} = \vect{0}.\] \textbf{VI.} En utilisant les résultats de la partie B, établir que la somme $MA + MB + MC$ admet son minimum en un unique point que l'on précisera. \newpage \textbf{\large Problème \no 2} \medskip \textbf{Notations} \medskip On note $\N$ l'ensemble des. entiers naturels et $\N*$ l'ensemble des entiers naturels non nuls, On note $\R$ l'ensemble des nombres réels et $\R_+^{*}$ l'intervalle ]0~;~+0 \infty[$. La partie imaginaire du nombre complexe $z$ est notée Im $z$. \medskip \textbf{Préambule} \medskip Dans tout le problème, les suites considérées sont à valeurs réelles. La partie A aborde la convergence des suites monotones et aboutit à quelques résultats sur la série harmonique. Les parties B et C envisagent l'étude de la convergence au sens de \textsc{CESÀRO} et son lien avec la convergence au sens usuel, \medskip \textbf{Partie A} \medskip \textbf{I. Questions de cours} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que si $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est une suite croissante et non majorée, alors elle diverge vers $+ \infty$. \item Démontrer que si $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est une suite croissante et majorée alors. elle converge. \item Établir une condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite décroissante soit convergente. \end{enumerate} \medskip \textbf{II.} On considère la suite définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par \[a_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Donner une interprétation graphique de $a_n$ à partir de la représentation graphique de la fonction inverse sur l'intervalle $[1~;~n+ 1]$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, \[a_{2n} - a_n \geqslant \dfrac{1}{2}.\] \item La suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \item Recherche d'un équivalent de $a_n$ au voisinage de $+ \infty$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, \[\dfrac{1}{k + 1} \leqslant \displaystyle\int_k^{k+1} \dfrac{1}{t}\:\text{d}t \leqslant \dfrac{1}{k}.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,\: a_n - 1 \leqslant \ln n \leqslant a_n$. \item En déduire un équivalent de $a_n$ au voisinage de $+ \infty$. \end{enumerate} \item On pose, pour tout $n \geqslant 1,\: b_n = a_n ~ \ln n$. À l'aide des résultats des questions \textbf{II. 3. a} et \textbf{II. 3. b}, démontrer que la suite $\left(b_n\right)_{n \geqslant 1}$ est convergente. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip À toute suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ on associe la suite $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ définie. par \[\forall n \geqslant 1, \quad v_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k.\] On dit que la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge au sens de \textsc{‘CESÀRO} si la suite $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge. \medskip \textbf{I.} \begin{enumerate} \item Soit $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ une suite de limite nulle et $\epsilon \in \R_{+}^*$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $n_O \in \N^{*}$ tel que, pour tout $n \geqslant n_0$ \[\dfrac{1}{n} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n_0} u_k \right) - \epsilon \leqslant v_n \leqslant \dfrac{1}{n}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n_0} u_k \right) + \epsilon.\] \item En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge vers $0$. \end{enumerate} \item Énoncer et démontrer la généralisation du résultat précédent au cas où la suite $\left(u_n\right}_{n \geqslant 1}$ converge vers un réel $\ell$ quelconque. \end{enumerate} \medskip \textbf{II.} Application à la recherche d'un équivalent : On considère la suite définie par \[x_1 = 1 \quad \text{et} \quad \forall n \in \N^{*}, \quad x_{n+1} = \dfrac{x_n\left(1 + x_n \right)}{1 + 2x_n}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $n \geqslant 2$,\: $0 < x_n < 1$. \item Montrer que la suite $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ est décroissante. \item La suite $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ est-elle.convergente ? Si oui, déterminer sa limite. \item Vérifier que, pour tout $n \in \N^{*}$, \[\dfrac{1}{x_{n+1}} - \dfrac{1}{x_n} = \dfrac{1}{1 + x_n}.\] \item Pour tout $n geqslant 1$, on pose \[u_n = \dfrac{1}{x_{n+1}} - \dfrac{1}{x_n} \quad \text{et} \quad v_n = \dfrac{1}{n} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k \right).\] Montrer que $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge vers 1. \item Exprimer $v_n$ en fonction de $x_{n+1}$ et $x_1$ et en déduire un équivalent de $x_n$ au voisinage de $+ \inbfty$. \end{enumerate} \medskip \textbf{III.} Soit $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ une suite réelle. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose que la suite $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge. Montrer que la suite $\left(x_{n+1} - x_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge. \item On suppose que la suite $\left(x_{n+1} - x_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge vers un nombre réel $\ell$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(\dfrac{x_n}{n}\right)_{n \geqslant 1}$ converge et préciser sa limite. \item Étudier la convergence de la suite $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ dans le cas où $\ell \ne 0$. \item Dans le cas où $\ell = 0$, la suite $\left(x_n\right)_{n \geqslant 1}$ est-elle nécessairement convergente ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \textbf{I.} Dans cette question, pour $n \geqslant 1$, on pose $u_n = (- 1)^n$ et $v_n = \dfrac{1}{n} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k \right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Étudier la convergence de la suite $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$. \item Conclure quant à la validité de la réciproque de la proposition énoncée à la question \textbf{I. 2.} de la partie B. \end{enumerate} \medskip \textbf{II.} Soit $\alpha$ un nombre réel. Dans cette question, pour $n \geqslant 1$, on pose \[u_n = \sin n \alpha\quad \text{et} \quad v_n = v_n = \dfrac{1}{n} \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} u_k \right).\] \medskip \begin{enumerate} \item Étudier Ia.nature des suites $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ et $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ lorsque $\alpha \equiv 0 \:\:(\text{mod} \pi)$, \item Pour $n \geqslant 1$, on pose $c_n = \cos n \alpha$. Exprimer $u_{n+2} - u_n$ en fonction de $c_{n+1}$ et $u_{n+2} + u_n$ en fonction de $u_{n+1}$. \item On suppose dans cette question que $\alpha \ne 0\:\: (\text{mod}\: \pi)$. \begin{enumerate} \item On fait l'hypothèse que la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge. En utilisant les deux relations établies à la question \textbf{II. 2.}, démontrer qu'alors la suite $\left(c_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge également et préciser les limites des suites $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ et $\left(c_n\right)_{n \geqslant 1}$. \item Conclure quant à la convergence de la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$. \item En remarquant que $\sin k \alpha = \text{Im} \left(\text{e}^{\text{i}k\alpha}\right)$, montrer que la suite $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge et donner la valeur de sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{III.} Dans cette question, on suppose que. la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ est croissante et que la suite $\left(v_n\right)_{n \geqslant 1}$ converge. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer, pour tout $n \geqslant 1$, l'inégalité \[nu_{n+1} \leqslant \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} u_k.\] \item En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$,\: u_{n+1} \leqslanrt 2v_{2n} - v_n$. \item Établir la convergence de la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 1}$ et préciser sa limite. \item Énoncer la propriété ainsi démontrée sous la forme d'une condition nécessaire et suffisante. \end{enumerate} \end{document}