\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPES 2016 }, pdftitle = {Épreuve 3 avril 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small} \lfoot{\small{CAPES externe 3 avril 2017}} \rfoot{\small{}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe et CAFEP session 2017~\decofourright\\[7pt] Épreuve 1}} \vspace{0,5cm} Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants \bigskip {\Large \textbf{Problème \no 1 }} \end{center} Notations \medskip $\Z$ désigne des entiers relatifs et $\R$ l'ensemble des nombres réels. Le plan $\R^2$ est muni de sa structure usuelle de plan euclidien. La distance euclidienne sur $\R^2$ est notée $d$. Les éléments de $\R^2$ sont représentés par des vecteurs colonnes à 2 lignes. On note \[O = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \qquad e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\qquad e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\] On appelle réseau l'ensemble $\Z^2$, inclus dans le plan $\R^2$. On le note $\mathcal{R}$. Le schéma ci-dessous représente une partie du réseau $\mathcal{R}$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-3.2,-3.2)(3.2,3.2) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.2,-3.2)(3.2,3.2) \multido{\n=-3+1}{7}{\multido{\na=-3+1}{7}{\psdots(\n,\na)}} \end{pspicture} \end{center} \medskip {\Large \textbf{Partie A : $\Z$-bases du réseau}} \medskip Soient $\mathcal{B} = \left(e'_1,~e'_2\right)$ une famille de deux vecteurs de $\R^2$. On dit que $\mathcal{B}$ est une $\Z$-base de $\mathcal{R}$ si : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item $e'_1, e'_2 \in \mathcal{R}$ \item Tout élément $X$ de $\mathcal{R}$ s'écrit de façon unique $X = ae'_1 + be'_2$, avec $a$, $b \in \Z$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{I.} Soit $C = \left(e_1,~e_2\right)$ la base canonique de $\R^2$. Montrer que $C$ est une $\Z$-base de $\mathcal{R}$. \textbf{II.} Soient $e'_1 = \begin{pmatrix}a_1\\b_1 \end{pmatrix}$ et $e'_2 = \begin{pmatrix}a_2\\b_2 \end{pmatrix}$ deux vecteurs de $\R^2$. On note : \[A = \begin{pmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2 \end{pmatrix}\] \begin{enumerate} \item Soit $X \in \R^2$ et $x,\: y \in \R$. Montrer que $X = xe'_1 + ye'_2$ si, et seulement si, \[X = A\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}.\] \item On suppose dans cette question que $\left(e'_1,~e'_2\right)$ est une $\Z$-base de $\mathcal{R}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(a_1,~a_2,~b_1,~b_2\right) \in \Z^4$. \item Montrer qu'il existe $\left(x_1,~x_2,~y_1,~y_2\right) \in \Z^4$ tels que \[x_1e'_1 + y_1e'_2 = e_1\quad x_2e'_1 + y_2e'_2 = e_2.\] \item Soit $B = \begin{pmatrix}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{pmatrix}$. Montrer que $AB = I_2$. \item En déduire que det$(A) \in \{-1~;~1\}$. \end{enumerate} \item On suppose dans cette question que $\left(a_1,~a_2,~b_1,~b_2\right) \in \Z^4$ et que det$(A) \in \{-1~;~ 1\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ est une matrice inversible et que les coefficients de $A^{-1}$ sont tous des entiers relatifs. \item Montrer que $\left(e'_1,~e'_2\right)$ est une $\Z$-base de $\mathcal{R}$. \end{enumerate} \item Conclure. \end{enumerate} \medskip \textbf{III.} Soit $e'_1 = \begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix}$ un vecteur de $\mathcal{R}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que si $e'_1$ est le premier vecteur d'une $\Z$-base de $\mathcal{R}$ , alors $a_1$ et $b_1$ sont premiers entre eux. \item Réciproquement, montrer que si $a_1$ et $b_1$ sont premiers entre eux, alors il existe un vecteur $e'_2$ de $\mathcal{R}$ tel que $\left(e'_1,~e'_2\right)$ soit une $\Z$-base de $\mathcal{R}$. \item Donner une $\Z$-base de $\mathcal{R}$ dont le premier vecteur est $\begin{pmatrix}7\\10\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie B : transformations linéaires du réseau} \end{center} Soit $f : \R^2 \longmapsto \R^2$ une application linéaire. Sa matrice dans la base $C = \left(e_1,~e_2\right)$ de $\R^2$ est notée $A$. \medskip \textbf{I.} Montrer que $f(\mathcal{R}) \subseteq \mathcal{R}$ si, et seulement si, les coefficients de $A$ sont tous des entiers relatifs. \textbf{II.} On suppose dans cette question que $f(\mathcal{R}) = \mathcal{R}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que Im $f$ contient deux vecteurs linéairement indépendants. \item En déduire que $f$ est surjective, puis bijective. \item Montrer que $f^{- 1}(\mathcal{R}) \subseteq \mathcal{R}$. \item Justifier que $A$ est inversible et que les coefficients de $A^{-1}$ sont tous des entiers relatifs. \item Montrer que det$(A) \in \{-1~;~ 1\}$. \end{enumerate} \textbf{III.} On suppose dans cette question que les coefficients de $A$ sont des entiers relatifs et que det$(A) \in \{-1~;~ 1\}$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les résultats de la partie A., montrer que $\left(f\left(e_1\right),~ f\left(e_2\right)\right)$ est une $\Z$-base de $\mathcal{R}$. \item En déduire que $f(\mathcal{R}) = \mathcal{R}$. \end{enumerate} \textbf{IV.} Conclure. \begin{center}\textbf{Partie C : isométries du réseau} \end{center} Soit $G$ l'ensemble des isométries affines $f$ de $\R^2$ telles que $f(\mathcal{R}) = \mathcal{R}$ et soit $G_0$ l'ensemble des éléments $f$ de $G$ tels que $f(O) = O$. \medskip \textbf{I.} Montrer que $G$, muni de la loi de composition des applications, est un groupe et que $G_0$ est un sous-groupe de $G$. \textbf{II.} Soit $f \in G_0$. On remarque qu'alors $f$ est une application linéaire et que les résultats de la partie B. s'appliquent. Soit $A$ la matrice de $f$ dans la base canonique de $\R^2$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer tous les points $X$ de $\mathcal{R}$ situés à la distance 1 de $O$. \item Montrer que $f\left(e_1\right)$ et $f\left(e_2\right)$ appartiennent à l'ensemble \[\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},~\begin{pmatrix}- 1\\0\end{pmatrix},~\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},~\begin{pmatrix}0\\- 1\end{pmatrix}\right\}.\] \item Montrer que $A$ appartient à l'ensemble \[H = \left\{\begin{array}{l}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix},\\ ~\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, ~\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}, ~\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}, ~\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix} \end{array}\right\}\] \end{enumerate} \textbf{III.} Soient $s_1$ et $s_2$ les applications linéaires de matrices respectives dans la base $\mathcal{C}$ \[A_1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\qquad A_2 = \begin{pmatrix}- 1&0\\0&1\end{pmatrix}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Décrire la nature géométrique de $s_1$ et $s_2$. \item Décrire la nature géométrique de $s_1 \circ s_2$ et de $s_2 \circ s_1$ et donner leurs matrices dans la base canonique. \item Montrer que $s_1$ et $s_2$ sont des éléments de $G_0$. \item En déduire que, si la matrice dans la base canonique d'une application linéaire $f$ de $\R^2$ dans $\R^2$ est dans $H$, alors $f$ est un élément de $G_0$. \end{enumerate} \textbf{IV.} Donner tous les éléments de $G_0$. \textbf{V.} Soit $t$ la translation de vecteur $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$. Montrer que $t \in G$ si, et seulement si, $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathcal{R}$. \textbf{VI.} Soit $f \in G$ et soit $t'$ la translation de vecteur $- f(O)$. Montrer que $t'$ est un élément de $G$ et que $g = t' \circ f$ est un élément de $G_0$· \textbf{VII.} Montrer que tout élément $f$ de $G$ s'écrit de façon unique $f = t \circ g$, avec $t$ une translation de vecteur dans $\mathcal{R}$ et $g$ un élément de $G_0$. \begin{center}\textbf{Partie D : un pavage du plan} \end{center} On note $T$ la surface délimitée par le triangle de $\R^2$ de sommets \[\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\0\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix} \] et on note $C$ la surface délimitée par le carré de sommets \[ \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}- \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2}\end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\- \frac{1}{2}\end{pmatrix}. \] \begin{center} \psset{unit=3cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.6,-0.6)(0.6,0.6) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.6,-0.6)(0.6,0.6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.5,0)(0.5,0.5) \psframe(-0.5,-0.5)(0.5,0.5) \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \textbf{I.} \begin{enumerate} \item Justifier que \[C = \bigcup_{g \in G_0} g(T).\] \item Montrer que, si $g_1$ et $g_2$ sont deux éléments distincts de $G_0$, alors l'intersection des triangles $g_1(T)$ et $g_2(T)$ est, soit un segment, soit un point. \end{enumerate} \textbf{II.} Pour tout $X \in \R^2$, on note $t_X$ la translation de vecteur $X$. \begin{enumerate} \item Justifier que \[\R^2 = \bigcup_{X \in \mathcal{R}} t_X(C).\] \item Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux éléments distincts de $\mathcal{R}$, alors l'intersection des carrés $t_X(C)$ et $t_Y(C)$ est, soit un segment, soit un point, soit l'ensemble vide. \end{enumerate} \textbf{III.} \begin{enumerate} \item Justifier que \[\R^2 = \bigcup_{f \in G_0} f(T).\] \item Montrer que si $f_1$ et $f_2$ sont deux éléments distincts de $G$, alors l'intersection des triangles $f_1(T)$ et $f_2(T)$ est, soit un segment, soit un point, soit l'ensemble vide. \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie E : un sous-groupe et deux frises} \end{center} \textbf{I.} Soit $k$ un entier relatif. On considère les applications \[t_k : \left\{\begin{array}{l c l} \R^2&\to& \R^2\\ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\longmapsto&\begin{pmatrix}x + k\\y\end{pmatrix} \end{array}\right. \qquad s_k : \left\{\begin{array}{l c l} \R^2&\to& \R^2\\ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\longmapsto&\begin{pmatrix}- x + k\\- y\end{pmatrix} \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Quelle est la nature géométrique de $t_k$ et $s_k$ ? \item Soit $k$ et $l$ deux entiers relatifs. Décrire $t_k \circ s_l,\: s_k \circ t_l,\: s_k \circ s_l$, et $t_k \circ t_l$. \end{enumerate} \textbf{II.} Soit $H = \left\{t_k,\: s_k | k \in \Z\right\}$. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$. \textbf{III.} On considère l'ensemble \[F = \bigcup_{f \in H} f(T),\] où $T$ est le triangle défini dans la section D. Décrire l'ensemble $F$. \textbf{IV.} On considère la frise suivante : \begin{center} \psset{unit=2cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.8,-0.8)(2.8,0.8) \def\moulin{\multido{\n=0+90}{4}{\rput{\n}(0,0){\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.5,0)(0.5,0.5)}}} \multido{\n=3+-1.0}{5}{\rput(\n,0){\moulin}} \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.8,-0.8)(2.8,0.8) \psaxes[Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(2.8,0.8) \end{pspicture*} \end{center} Montrer que le groupe des isométries qui conservent cette frise est un sous-groupe de $G$ qu'on décrira. \newpage \begin{center}{\Large \textbf{Problème \no 2 }}\end{center} \textbf{Notations} $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels. Dans ce problème, on cherche à déterminer les applications $f$ définies sur $]0~;~+\infty[$ et à valeurs dans $]0~;~+\infty[$ qui vérifient les deux propriétés suivantes : \medskip \textbf{(a)} Pour tous nombres réels strictement positifs $x$ et $y$, \[f(xf(y)) = yf(x).\] \textbf{(b)} $f$ est bornée sur $]1~;~+ \infty[$ : il existe un nombre réel $A$ tel que pour tout nombre réel $x \geqslant 1,\: f(x) \leqslant A$. \medskip \textbf{I.} Soit $I$ un intervalle de $\R$ et soit $\varphi$ une application définie sur $I$ et à valeurs dans $I$. On dit que $\varphi$ est une involution de $I$ si pour tout nombre réel $x$ dans $I$, \[\varphi(\varphi(x)) = x.\] \medskip \begin{enumerate} \item Donner un exemple d'involution de $\R$ dans $\R$ autre que l'identité. \item Donner un exemple d'involution de $]0~;~+ \infty[$ dans v autre que l'identité. \item Montrer qu'une involution de $I$ dans $I$ est bijective. \end{enumerate} \medskip \textbf{II.} Soit $f$ une fonction vérifiant les conditions \textbf{(a)} et \textbf{(b)}. \begin{enumerate} \item Soit deux nombres réels $y_1,\: y_2$ strictement positifs tels que $f(y_1) = f(y_2)$. Montrer que $y_1f(1) = y_2f(1)$. \item Montrer que $f$ est injective. \item Montrer que $f(f(1)) = f(1)$ puis que $f(1) = 1$. \item Montrer que $f$ est une involution de $]0~;~+ \infty[$. \item Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Montrer que $f(ab) = f(a)f(b)$. Indication : on pourra poser $y = f(b)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{III.} On note $F$ l'ensemble des points fixes de $f$ : \[F = \left\{x \in ]0~;~+\infty[,\: f(x) = x\right\}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x \in ]0~;~+\infty[,\: xf(x) \in F$. \item Montrer que $1 \in F$. \item Montrer que si $x$ et $y$ sont des éléments de $F$, alors $xy$ et $\dfrac{x}{y}$ sont également des éléments de $F$. \item Montrer que si $x$ est un élément de $F$, alors pour tout entier naturel $n$,\: $x^n$ est un élément de $F$. \item Montrer que si $x$ est un élément de $F$, alors $x \leqslant 1$. Indication : on pourra considérer la suite $\left(x^n\right)_{n \geqslant 0}$. \item Montrer que $F = \{1\}$. \item En déduire $f$. \end{enumerate} \textbf{IV.} Donner toutes les applications répondant au problème posé. \end{document}