\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{accents} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{braket} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.6pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\,\%\newcommand{\P}{\mathbb{P}} %\,\%\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Roman{enumi}}} %\,\%\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} %\,\%\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}} %\,\%\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\,\%\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} %\,\%\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{$k$}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\,\text{e}} \newcommand{\nmytilde}{\raise.17ex\hbox{$\scriptstyle\mathtt{\sim}$}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Épreuve 1} \lfoot{\small{CAPES externe 18 mars 2026}} \rfoot{\small{}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe Option mathématiques (bac +3) ~\decofourright\\[7pt] 18 mars 2026 épreuve 1}} \vspace{0,5cm} \textbf{Ce sujet est composé de quatre exercices indépendants} \medskip \textbf{\large Exercice 1 : Vrai/Faux} \end{center} \medskip \emph{Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.} \medskip \textbf{Assertion 1.} Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ .Si $a$ est un réel tel que $f'(a) = 0$, alors $f$ admet en $a$ un minimum local ou un maximum local. \medskip \textbf{Assertion 2.} Soit $n \in \N$ \[\displaystyle\int_0^{n \pi} \sin^2 (x)\:\text{d}x = \dfrac{n \pi}{2}.\] \medskip \textbf{Assertion 3.} Soit $t$ un réel différent de 1. Dans le plan complexe, on note A le point d'affixe $t$, B le point d'affixe 1, et C le point d'affixe $1 + \text{i}(1 - t)$. Le triangle ABC est isocèle et rectangle. \medskip \textbf{Assertion 4.} On désigne par $\R[X]$ le $\R$-espace vectoriel des polynômes d'une indéterminée $X$ et à coefficients réels. Pour tout $P \in \R[X]$, par abus de notation on note $P : \R \to \R$ la fonction (polynomiale) obtenue en évaluant sur $\R$ le polynôme $P$. Si P ~ IR[X] est de degré impair, alors il existe $x \in \R$ tel que $P(x) = 0$. \medskip \textbf{Assertion 5.} On rappelle qu'un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur un $\R$-esp ace vectoriel. On désigne par IR,[X] le R-espace vectoriel des polynômes d'une indéterminée $X$ et à coefficients réels de degré au plus 1. L'application suivante : \[\begin{array}{r c l} \varphi : \R_1[X] \times \R_1[X] &\to& \R\\ (P,\:Q) &\longmapsto& P(0)Q(0) + P(1)Q(1) \end{array}\] est un produit scalaire. \medskip \textbf{Assertion 6.} Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Soient $\omega_0,\: \omega_1, \ldots, \omega_{n-1} \in \C$ les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité, et soit $p \in [1~;~n - 1]$. Alors : \[\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k^p = 0.\] \medskip \textbf{Assertion 7.} L'équation différentielle : \[\forall x \in \R, \quad (1 - x)y'(x) + y(x) = 0\] admet au moins une solution définie sur $\R$ autre que la fonction nulle. \bigskip \textbf{\large Exercice 2 : Une suite d'intégrales} \medskip \begin{enumerate} \item Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle en précisant le rayon de convergence. \end{enumerate} \emph{Dans cet exercice, on étudie la suite $(I_n)_{n\in \N}$ définie par :} \[I_0 = 1 \:\text{et, pour}\: n \geqslant 1, \quad I_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\prod_{k=1}^n (x + k)} \:\text{d}x - \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)\ldots (x + n)}\:\text{d}x.\] On rappelle que $0!= 1$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Calculer $I_1$. \item Déterminer $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in [0~;~1]$, \[\dfrac{1}{(x+1)(x+2)} = \dfrac{a}{x + 1} + \dfrac{b}{x + 2}\] \item Calculer $I_2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Établir que pour tout entier naturel $n$ : \[\dfrac{1}{(n + 1)!} \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1}{n!}.\] \item En déduire que la série de terme général $I_n$, converge et déterminer un réel $\alpha$ tel que : \[\alpha - 1 \leqslant ~ \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} I_n \leqslant \alpha.\] \end{enumerate} \end{enumerate} On rappelle pour la fin de l'exercice que, étant données $(un)_{n \in \N*}$ et $(v_n)_{n \in \N*}$ deux suites à valeurs réelle s dont les termes ne s'annulent pas, on dit que $(un)_{n \in \N*}$ et $(v_n)_{n \in \N*}$ sont équivalentes quand $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 1$. On note alors $u_n \sim v_n$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout réel $t \in [0~;~1]$ \[1 + t \leqslant \text{exp} (t).\] \item Établir que, pour tout réel $t \in [0~;~1]$ : \[t - t^2 \leqslant \ln (1 + t).\] puis que, pour tout réel $t \in [0~;~1]$ : \[\text{exp} \left(t - t^2\right)\] \end{enumerate} \end{enumerate} Dans la suite, pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : \[H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n 1 + \dfrac 12 + \ldots + \dfrac 1n \quad \text{et} \quad S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}.\] \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Rappeler ce qu'est une série de Riemann et à quelle condition nécessaire et suffisante une série de Riemann converge. \item En déduire que la suite $(S_n)_{n\in \N*}$ converge. \item Préciser la limite de la suite $(H_n)_{n\in \N*}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. \end{enumerate} \item Soit $n \in \N*$. \begin{enumerate} \item Établir que, pour tout réel $x \in [0~;~1]$ : \[n! \text{exp}\left(xH_n - x^2 S_n\right) \leqslant \displaystyle\prod_{k=1}^n [ (x +k) \leqslant n!\text{exp}\left(xH_n\right)\] \emph{Indication : Vérifier que } $\displaystyle\prod_{k=1}^n (x+k) = n!\displaystyle\prod_{k=1}^n \left(1 + \dfrac xk \right)$ \emph{puis utiliser les résultats de la question} 4. \item En déduire que, pour tout réel $x \in [0~;~1]$: \[\dfrac{1}{n!}\text{exp}\left(- xH_n\right) \dfrac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^n (x + k)} \leqslant \dfrac{1}{n!}\text{exp}\left(- x(H_n - S_n)\right)\] \item Démontrer alors que \[\dfrac{1 - \text{exp}(- H_n}{n!H_n} \leqslant I_n \leqslant \dfrac{\text{exp}(-(H_n - S_n))}{n!(H_n - S_n)}\] \item Établir que $I_n \sim \dfrac{1}{n! H_n}$. \end{enumerate} \item On pose, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, $u_n~,= H_n - \ln (n)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 2$,\: $u_n = \dfrac 1n + \displaystyle\sum_{k-1}^{n-1}\left(\dfrac 1k - \displaystyle\int_{k}^{k+1} \dfrac 1t\:\text{d}t \right)$. \item En déduire que $(u_n)_{n \geqslant 2}$ est une suite décroissante à valeurs positives. \item En déduire que la suite $(u_n)_{n \geqslant 2}$ converge, puis que $I_n \sim \dfrac{1}{n! \ln (n)}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 3: Puissances universelles} \medskip \emph{Dans cet exercice, on se place dans un ensemble $E$ muni d'une structure d'anneau $(E, +, \times)$ et, pour $a$ appartenant à $E$ et $k$ appartenant à $\N*$, on s'intéresse à l'existence de solutions à l'équation $x^k = a$ d'inconnue $x$ appartenant à $E$.\\ Plus précisément, soit $a$ un élément de $E$ :} \emph{\begin{itemize} \item étant donné un entier naturel non nul $k$ , on dit que $a$ est une puissance $k$-ième s'il existe $x$ appartenant à $E$ tel que $x^k = a$ ; \item on dit que $a$ est une puissance universelle si, pour tout $k \in N*$,\: $a$ est une puissance $k$-ième. \end{itemize}} \emph{Pour tout anneau $E$, les éléments $0_E$ et $1_E$ (respectivement éléments neutres pour + et $\times$) sont des puissances universelles de $E$ car pour tout $k \in \N*,\: 0_E^k = 0_E$ et $1_E^k = 1_E$.} \emph{L'exercice a pour objectif d'étudier certains cas particuliers et d'établir quelques résultats généraux, dans divers anneaux usuels.} \emph{Les deux parties sont indépendantes.} \newpage \begin{center} \textbf{\large Première partie} -- dans $\Z/n\Z$\end{center} \medskip \emph{Dans cette partie, $n$ est un entier supérieur ou égal à 2, et $E$ désigne $\Z/n\Z$ muni de ses lois usuelles + et $\times$ . On notera $\overline{0}, \overline{1} ,..., \overline{n - 1} $les éléments de $\Z/n\Z$}. \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Un premier exemple} Dans cette question seulement, $n = 6$. Ainsi, $E = \Z/6\Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}$. \begin{enumerate} \item Calculer $\overline{2}^2,\: \overline{3}^2,\: \overline{4}^2$, et $\overline{5}^2$, images respectives de $\overline{2},\overline{3},\overline{4}$ et $\overline{5}$ par l'application $x \mapsto x^2$. \item En déduire que $\overline{0}$ et $\overline{1}$ ne sont pas les seules puissances universelles de $\Z/6\Z$. \end{enumerate} \item \emph{Un deuxième exemple} Dans cette question seulement, $n = 4$. Ainsi, $E = \Z /4\Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Démontrer, en s'inspirant éventuellement de la question précédente, que $\overline{0}$ et $\overline{1}$ sont les seules puissances universelles de $E = \Z /4\Z$. \item \emph{Le cas particulier où $n$ est premier} Dans cette question uniquement, $n$ est un entier premier, et, par souci de clarté, $n$ sera plutôt désigné par la lettre $p$. \begin{enumerate} \item Énoncer le petit théorème de Fermat. \item En déduire à la fois que tout élément de $\Z/p\Z$ est une puissance $p$-ième, et que $\overline{0}$ et $\overline{1}$ sont les seules puissances universelles de $\Z/p\Z$. \item L'hypothèse \og $n$ est premier \fg{} est-elle une condition nécessaire pour que $\overline{0}$ et $\overline{1}$ soient les seules puissances universelles de $\Z/n\Z$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} %Démontrer que pour tout entier n~2, un- $ +2- ilz- ~ J· %1 (e)En déduire que la suite (1m)n> 2 converge, puisque In a!na)* %2 2 . 2 - ~2 ~ %%% \begin{center} \textbf{\large Deuxième partie\\[7pt]-- dans $\mathcal{M}_n(\R)$ : étude du cas particulier des matrices diagonalisables}\end{center} \medskip Dans cette partie $E = \mathcal{M}_n(\R)$, ensemble des matrices carrées de taille $n$ et à coefficients réels, et $A$ est un élément de $E$ \emph{Rappelons qu'étudier si $A$ est une puissance $k$-ième c'est chercher s'il existe une matrice $M$ appartenant à $\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $M^k = A$. Étudier si $A$ est une puissance universelle, c'est étudier si, pour tout entier naturel non nul $k$, $A$ est une puissance $k$-ième.} \begin{enumerate}[resume] \item Dans cette question seulement $n =1$ et on confond $\mathcal{M}_1(\R)$ et $\R$. Démontrer que l'ensemble des puissances universelles de $\R$ est $\R^{+}$. \item Dans cette question, $n \geqslant 2$ et $A, P$ et $D$ sont trois éléments de $\mathcal{M}_n(\R)$ tels que $P$ est inversible, $D$ est diagonale et $A = PDP^{-1}$. \begin{enumerate} \item Soit $k \in \N*$ et soit $N \in \mathcal{M}_n(\R)$. Vérifier que si $N^k = D$, alors $\left(PNP^{-1}\right)^k = A$. \item Démontrer que $A$ est une puissance universelle si, et seulement si $D$ est une puissance universelle. \end{enumerate} \item Dans cette question, $n \geqslant 2$ et $D \in \mathcal{M}_n(\R)$ est la la matrice diagonale suivante : \[D = \begin{pmatrix}\lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{pmatrix}\] où les réels $\lambda_1,..., \lambda_n$ sont tous deux à deux distincts. \begin{enumerate} \item Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ une matrice qui commute avec $D$. Démontrer que $M$ est une matrice diagonale. \item Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ et soit $k \in \N*$. Vérifier que si $M = D$, alors $M$ et $D$ commutent. En déduire que $D$ est une puissance universelle dans $\mathcal{M}_n(\R)$ si, et seulement si, ses éléments diagonaux sont positifs. \item Supposons que $A$ est une matrice possédant $n$ valeurs propres réelles et deux à deux distinctes. Quelle est la condition nécessaire et suffisante afin que la matrice A soit une puissance universelle dans $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ ? Justifier. \end{enumerate} \item Pour tout $\theta \in \R$, on pose : \[R_{\theta} = \begin{pmatrix}\cos(\theta)&- \sin(\theta )\\ \sin(\theta )&\cos(\theta)\end{pmatrix}\] \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout $\theta \in \R$ et pour tout $k \in \N^{*},\: \left(R_{\theta}\right)^k = R_{k \theta}$. Donner une interprétation géométrique de cette égalité. \item Démontrer que la matrice $R_{\pi} = \begin{pmatrix}- 1&0\\0&- 1\end{pmatrix}$ est une puissance universelle. \end{enumerate} \item Dans la question \textbf{6.b.} on a montré la propriété suivante, \og Soit $D$ une matrice diagonale à coefficients diagonaux réels deux à deux distincts. $D$ est une puissance universelle si, et seulement si, ses coefficients diagonaux sont positifs \fg. Peut-on affirmer la propriété suivante ? \og Soit $D$ une matrice diagonale à coefficients réels. $D$ est une puissance universelle si, et seulement si, ses coefficients diagonaux sont positifs \fg. Justifier votre réponse. \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{\large Exercice 4 : Tous à 6}\end{center} \medskip \emph{Toutes les variables aléatoires introduites ci-après sont définies sur un même espace probabilisé $(\Omega,\:\mathcal{A},\:P)$. Soit $m \in \N^{*}$ et soit $q \in ]0~;~1$[. On rappelle que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de premier paramètre $m$ et de second paramètre $q$ si :\\ \begin{itemize} \item $X(\Omega) = \llbracket0~;~m\rrbracket$ \item $\forall ,k \in \llbracket0~;~m\rrbracket,\: P(X = k) = \binom{m}{k} q^k (1 - q)^{m-k}$ \end{itemize}} \emph{On rappelle que, lorsqu'on répète $m$ fois, et de façon indépendante, la même expérience de Bernoulli dont la probabilité de succès vaut $q$, alors la loi du nombre de succès est la loi binomiale de premier paramètre $m$ et de second paramètre $q$.} \emph{On rappelle aussi que si $B$ est un évènement de probabilité non nulle et si $A$ est un évènement quelconque on note $P(A/B)$ la probabilité de \og A sachant B\fg.} \medskip \begin{enumerate} \item Préliminaire : une suite arithmético-géométrique Dans tout l'exercice, $(p_n)_{n\in \N^{*}}$ désigne la suite définie par \begin{itemize} \item $p_1 = \dfrac 16$ \item $\forall n \in \N^{*},\: p_{n+1} = \dfrac 56 p_n + \dfrac 16$ \end{itemize} Déterminer, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $p_n$, en fonction de $n$. \end{enumerate} Soit $N \in \N^{*}$. Un joueur dispose de $N$ dés classiques à six faces. Il effectue un premier lancer des $N$ dés. À l'issue de ce premier lancer, il met de côté les dés ayant donné 6 et relance les autres (s'il en reste). Il continue ainsi avec pour objectif que tous les dés aient donné 6. Pour tout $\omega \in \Omega$, univers des possibles qu'on ne cherchera pas à expliciter, on note $S_n(\omega)$ le nombre total de dés ayant, après $n$ lancers, donné 6. On admet que $S_n$ définit bien une variable aléatoire. Si pour un certain rang $n_0$ , tous les dés ont donné 6, c'est-à-dire si $S_n = N$, alors on considérera que $S_n = N$ pour tout entier $n \geqslant n_0$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Soit $n \in \N^{*}$. Préciser $S_n(\Omega)$, l'univers image de la variable aléatoire $S_n$. \item Quelle est la loi de $S_1$ i ? On précisera, en le justifiant, ses paramètres \end{enumerate} \end{enumerate} \emph{L'objectif des questions 3 à 5 est d'établir que, pour tout $n \in \N^{*},\: S$,suit la loi binomiale de paramètre $N$ et $p_n$.} \begin{enumerate}[start=3] \item Soit $n \in \N^{*}$, soit $k \in \llbracket0~;~N\rrbracket$, et soit $i \in \llbracket0~;~k\rrbracket$. Justifier que: \[P(S_{n+1} = k|S_n = i) = \binom{N - i}{k - i} \dfrac{1}{6^{k-i}}\left(\dfrac 56\right)^{N-k}\] \item Dans cette question et dans cette question seulement, on se donne $n \in \N^{*}$ et on suppose que $S_n$ suit une loi binomiale de premier paramètre $N$ et de second paramètre $p_n$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $k \in \llbracket 0~;~N \rrbracket$, \[P(S_{n+1} = k = \displaystyle\sum_{i=0}^k\binom{N}{i}p_n^i(1 - p_n)^{N-i}\binom{N-i}{k-i}\dfrac{1}{6^{k-i}}\left(\dfrac 56 \right)^{N-k}\] \emph{Indication : on pourra appliquer la formule des probabilités totales en remarquant que\\ $((S_n= i))_{i \in \llbracket0~;~N\rrbracket}$ est un système complet d'évènements.} \item Vérifier que pour tout $k \in \llbracket0~;~N\rrbracket$, pour tout $i \in \llbracket0~;~k\rrbracket$ \[\binom{N}{i}\binom{N - i}{k - i} = \binom{N}{k}\binom{k}{i}\] \item Obtenir alors que, pour tout $k \in \llbracket0~;~N\rrbracket$ : \[P(S_{n+1} = k) = \binom{N}{k}\left(\dfrac{1 + 5p_n}{6} \right)^k\left(1 - \dfrac{1 + 5p_n}{6} \right)^{5N-k}\] \end{enumerate} \item Démontrer par récurrence et grâce aux questions précédentes, que pour tout $n \in \N^{*},\: S_n$ suit une loi binomiale de premier paramètre $N$ et de second paramètre $1 - \left(\dfrac 56\right)^n$. \end{enumerate} \emph{Dans la suite de l'exercice, on définit la variable aléatoire $T$ par :} \[\forall \omega \in \Omega, \quad T(\omega) = \left\{\begin{array}{l l} \text{min}\{n \in \N*\:|\:S_n(\omega) = N\}&\text{si} \{n \in \N*\:|S_n(\omega) = N\} \neq \emptyset\\ 0&\text{sinon} \end{array}\right.\] \emph{Ainsi $T$ représente le nombre de lancers nécessaires pour que tous les dés aient donné 6, en posant $T= 0$ si on n'obtient jamais tous les 6.} \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout $n \in \N*,\: P(1 \leqslant T \leqslant n) = \left[1 -\left(\dfrac 56\right)^n\right]^N$. \item En déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} P(T = k)$ puis démontrer que $P(T = 0) = 0$. Comment interpréter ce résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{FIN DU SUJET}\end{center} \end{document}