\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPES 2016 }, pdftitle = {Épreuve 5 avril 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small} \lfoot{\small{CAPES externe 2016}} \rfoot{\small{}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe et CAFEP session 2016~\decofourright\\[7pt] Épreuve 1}} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{Problème \no 1 }} \medskip Les parties D et E de ce problème sont indépendantes des parties B et C \end{center} \textbf{Notations} \medskip $\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\R$ l'ensemble des nombres réels. Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels, $\llbracket m,~n\rrbracket$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que $m \leqslant k \leqslant n$. Soit $I$ un intervalle de $\R$. Pour $n \in \N$, on note $\mathcal{C}^n(I)$ l'ensemble des fonctions à valeurs réelles définies sur $I,\: n$ fois dérivables et dont la dérivée $n$-ième est continue. Pour $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls, $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ désigne l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes, à coefficients réels. $\mathcal{M}_{n,n}(\R)$ est noté $\mathcal{M}_{n}(\R)$. $\R[X]$ désigne le $\R$-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour tout entier naturel $n,\: \R_n[X]$ désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$. \begin{center} {\large \textbf{Partie A : interpolation de Lagrange}} \end{center} Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et soient $a_1, \ldots, a_n$ des réels deux à deux distincts. Pour tout entier $k \in \llbracket 1,~ n\rrbracket$, on considère le polynôme \[L_k(X) = \prod_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n\\ i \neq k}} \dfrac{X - a_i}{a_k - a_i}.\] \begin{enumerate} \item Soit $k \in \llbracket 1,~n\rrbracket$. Montrer que $L_k$ est l'unique polynôme $P$ de $\R_{n-1}[X]$ tel que pour tout $i \in \llbracket 1,~ n\rrbracket$, \[P\left(a_i\right) = \left\{\begin{array}{l c l} 0& \text{si}& i \neq k,\\ 1&\text{si}& i = k \end{array}\right.\] \item On considère l'application \[F : \left\{\begin{array}{l c l} \R_{n-1}[X]&\to&\R^n\\ P &\to & \left(P\left(a_1\right), \ldots, P\left(a_n\right)\right). \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est une application linéaire. \item Soit $\left(e_1,\ldots, e_n\right)$ la base canonique de $\R$n. Pour $k \in \llbracket 1,~n\rrbracket$, montrer qu'il existe un polynôme $P$ dans $\R_{n-1}[X]$ tel que $F(P) = e_k$. \item Montrer que $F$ est surjective, puis justifier que $F$ est bijective. \end{enumerate} \item Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un unique polynôme $P \in \R_{n-1}[X]$ tel que pour tout $k \in \llbracket 1,~n\rrbracket$,\: $P\left(a_k\right) = f\left(a_k\right)$. Ce polynôme $P$ est appelé polynôme d'interpolation de $f$ en les points d'abscisses $a_1, \ldots, a_n$. \item Exprimer le polynôme d'interpolation de $f$ en les points d'abscisses $a_1, \ldots, a_n$ à l'aide des polynômes $L_1, \ldots , L_n$ et des valeurs de $f$ en $a_1, \ldots, a_n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Partie B : erreur d'interpolation}} \end{center} Soient $[a,~b]$ un segment de $\R$ et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit $f$ une fonction dans $\mathcal{C}^n([a,~b])$ et $a_1 < ... < a_n$ des nombres réels appartenant à $[a,~b]$. On note $P$ le polynôme d'interpolation de $f$ en les points d'abscisses $a_1, \ldots, a_n$ (on rappelle que $P \in R_{n-1}[X]$). Le but de cette partie est de majorer la valeur absolue de la différence entre $f$ et $P$ sur le segment $[a,~ b]$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ une fonction définie sur $[a,~ b]$ à valeurs dans $\R$. \begin{enumerate} \item Question de cours. Énoncer le théorème de Rolle. \item On suppose que $g$ est $n$ fois dérivable sur $[a,~ b]$ et s'annule en au moins $n + 1$ points distincts de $[a,~ b]$. Montrer que la fonction dérivée $n$-ième $g^{(n)}$ s'annule en au moins un point de $[a,~ b]$. \end{enumerate} \item On fixe $c \in [a,~b]$, distinct de $a_1, \ldots, a_n$. On définit la fonction $g_c$ sur $[a,~ b]$par \[g_c(x) = f(x) - P(x) - [f(c) - P(c)]\prod_{k=1}^n \dfrac{x - a_k}{c - a_k}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $g_c$ s'annule en au moins $n + 1$ points distincts de $[a,~ b]$. \item Montrer que $g_c$ est $n$ fois dérivable sur $[a,~ b]$ puis que $g(n)$ s'annule en au moins un point de $[a,~ b]$. \item Soit $h_c$ la fonction définie sur $\R$ par $h_c(x) = \displaystyle\prod_{k=1}^n\dfrac{x - a_k}{c - a_k}.$ En remarquant que $h_c$ est une fonction polynôme de degré $n$, donner une expression de $h_c^{(n)}$, puis de $g_c^{(n)}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déduire des questions précédentes qu'il existe un réel $\zeta \in [a,~b]$ tel que \[f(c) - P(c) = \dfrac{f^{(n)}(\zeta)}{n!} \prod_{k=1}^n\left(c - a_k\right).\] \item Montrer que le résultat établi dans la question 3 . a. reste vrai si $c$ est égal à l'un des $a_k$. \item En déduire que $\displaystyle\max_{x \in [a,~b]} |f(x) - P(x)| \leqslant \dfrac{1}{n!}\displaystyle\max_{x \in [a,~b]}\left|f^{(n)}(x)\right| \times \displaystyle\max_{x \in [a,~b]}\prod_{k=1}^n \left|x - a_k\right|$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} {\large \textbf{Partie C : un exemple}} \end{center} Dans cette partie, on interpole de deux manières différentes la fonction \[f : \left\{\begin{array}{l c l} [0~;~\pi]&\to& \R\\ x &\to& \sin (x). \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item \textbf{Première méthode} On considère le polynôme d'interpolation $P$ de $f$ en les points d'abscisses $0,\:\frac{\pi}{2},\:\pi$. \begin{enumerate} \item Calculer $P$. \item En utilisant les résultats de la partie B, montrer que pour tout $x \in [0~;~\pi]$, \[\left|f(x) - P(x)\right|\leqslant \max_{x \in [0~;~\pi]} \dfrac{x\left(x - \frac{\pi}{2}\right)(x -\pi)}{6}.\] \item En déduire que pour tout $x \in [0~;~\pi]$, \[\left|f(x) - P(x)\right|\leqslant \dfrac{\pi^3\sqrt{3}}{216}.\] \end{enumerate} \item \textbf{Seconde méthode} On choisit un entier $n \geqslant 1$. Pour tout $k \in \llbracket0,~ n - 1\rrbracket$, on note $P_k$ le polynôme (de degré inférieur ou égal à 1) d'interpolation de $f$ aux deux points d'abscisses $\dfrac{k\pi}{n}$ et $\dfrac{(k + 1)\pi}{n}$. On note $Q_nn$ la fonction affine par morceaux définie par : \[Q_n(x) = \left\{\begin{array}{l c l} P_0(x)& \text{si}&0 \leqslant x < \frac{\pi}{n},\\ P_1(x)&\text{si}&\frac{\pi}{n} \leqslant x < \frac{2\pi}{n},\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ P_k(x ) &\text{si}&\frac{k\pi}{n} \leqslant x < \frac{(k + 1)\pi}{n} \:(k \in \llbracket0,~ n - 2\rrbracket),\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ P_{n-1}(x)&\text{si}& \frac{(n - 1)\pi}{n} \leqslant x <\leqslant \pi. \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Calculer $Q_1$ et $Q_2$. Tracer la courbe représentative de $Q_2$. \item Justifier que $Q_n$ est continue sur $[0~;~\pi]$. \item Soit $k \in [0~;~n - 1]$. Montrer que pour tout $x \in \left[\frac{k\pi}{n}~;~\frac{(k+1)\pi}{n}\right]$ \[\left|\left(x - \dfrac{k\pi}{n}\right)\left(x - \dfrac{(k + 1)\pi}{n}\right)\right| \leqslant \dfrac{\pi^2}{4n^2}.\] \item Montrer que pour tout $x \in [0~;~\pi]$, \[\left|f(x) - Qn(x)\right| \leqslant \dfrac{\pi^2}{8n^2}.\] \end{enumerate} \item Parmi ces deux méthodes d'approximation, quelle est la meilleure? Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D : déterminant de Vandermonde} \medskip On considère la matrice de Vandermonde \[A = \begin{pmatrix}1&a_1&a_1^2&\ldots &a_1^{n-1}\\ 1&a_2&a_2^2&\ldots &a_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\\ 1&a_n&a_n^2&\ldots &a_n^{n-1}\\ \end{pmatrix}\] où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et $a_1, \ldots, a_n$ sont des nombres réels. On cherche à déterminer par deux méthodes différentes une condition nécessaire et suffisante portant sur les $a_k$ pour que A soit inversible. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le déterminant de $A$ lorsque $n = 2$ et $n = 3$. \item Première méthode. \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ est la matrice de l'application linéaire $F$ définie dans la question A. 2. dans des bases bien choisies. \item En déduire que si les $a_k$ sont deux à deux distincts $A$ est inversible. \item Qu'en est-il si deux des $a_k$ sont égaux ? \item Conclure. \end{enumerate} \item \textbf{Seconde méthode} On considère le polynôme \[P(X) = \left(X - a_1\right) ... \left(X - a_{n-1}\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe des nombres réels $\lambda_0, \ldots, \lambda_{n - 2}$ tels que \[P(X) = X^{n-1} + \lambda_{n - 2}X^{n-2} + \ldots + \lambda_1X + \lambda_0.\] \item On note $C_1, \ldots, C_n$ les colonnes de $A$. Montrer que \[C_n +\lambda_{n - 2}C_{n-1}+ \ldots + \lambda_0C_1 = \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\P\left(a_n\right)\end{pmatrix}.\] \item En déduire que \[\det(A) = P\left(a_n\right)\begin{vmatrix} 1&a_1&a_1^2&\ldots &a_1^{n-1}\\ 1&a_2&a_2^2&\ldots &a_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\\ 1&a_{n-1}&a_{n-1}^2&\ldots &a_{n-1}^{n-2}\\ \end{vmatrix}.\] \item Montrer que \[\text{det}(A) = \prod_{1\leqslant k \leqslant l \leqslant n}\left(a_i - a_k\right).\] \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie E : application à la recherche de paraboles} \medskip On fixe trois points distincts $A_1,\: A_2,\: A_3$ du plan affine euclidien. On recherche toutes les paraboles de ce plan passant par $A_1,\: A_2$ et $A_3$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on impose en plus aux paraboles recherchées d'avoir un axe parallèle à une droite $D$ donnée. On choisit un repère orthonormé du plan tel que $D$ ait pour équation $x = 0$. Par définition, les paraboles d'axe parallèle à $D$ sont les courbes d'équation \[y = \alpha x^2 + \beta x + \gamma,\] avec $(\alpha, \beta, \gamma) \in \R^3,\: \alpha \neq 0$. Les coordonnées du point $A_i$ dans ce repère sont notées $\left(a_i~;~b_i \right)$ pour $1 \leqslant i \leqslant 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la recherche des paraboles d'axe parallèle à $D$ et passant par les points $A_1,\: A_2$ et $A_3$ est équivalente à la recherche des solutions $(\gamma, \beta, \alpha)$, avec $\alpha \neq 0$, du système : { \[(S)\: :\: \left\{\begin{array}{l c l} \gamma + a_1\beta + a_1^2\alpha &=& b_1,\\ \gamma + a_2\beta + a_2^2\alpha &=& b_2,\\ \gamma + a_3\beta + a_3^2\alpha &=& b_3. \end{array}\right.\] \item Montrer que si deux des points $A_i$ ont la même abscisse $(S)$ n'a aucune solution. \item On suppose que les abscisses des points $A_i$ sont deux à deux distinctes. \begin{enumerate} \item Montrer que le système $(S)$ possède une unique solution $(\gamma, \beta, \alpha)$. \item Exprimer $\alpha$ sous forme d'un quotient de déterminants. \item Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item $\alpha = 0$. \item $\begin{vmatrix}a_2 - a_1& b_2 - b_1\\a_3 - a_1& b_3 - b_1 \end{vmatrix}= 0$. \item $A_1,\: A_2$ et $A_3$ sont alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \item Montrer que le problème admet une solution si et seulement si $A_1,\: A_2,\: A_3$ ne sont pas alignés et aucune des droites $\left(A_1A_2\right),\: \left(A_2A_3\right)$ et $\left(A_1A_3\right)$ n'est parallèle à $D$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On suppose $A_1,\: A_2$ et $A_3$ alignés. En utilisant les résultats précédents, montrer qu'il n'existe aucune parabole passant par $A_1,\: A_2$ et $A_3$. \item On suppose que $A_1,\: A_2$ et $A_3$ ne sont pas alignés. Montrer qu'il existe une infinité de paraboles passant par $A_1,\: A_2$ et $A_3$ et préciser les directions de leurs axes. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip {\Large \textbf{Problème \no 2}} \medskip \textbf{Notations} \medskip Pour $m$ et $n$ deux entiers naturels, $\llbracket m,~n \rrbracket$ désigne l'ensemble des entiers $k$ tels que $m \leqslant k \leqslant n$. Soit $I$ un intervalle de $\R$. Pour $n \in \N$ on note $\mathcal{C}^n(I)$ l'ensemble des fonctions définies sur $I$ et à valeurs réelles, $n$ fois dérivable et dont la dérivée $n$-ième est continue. \begin{center} \textbf{\large Partie A : calcul d'un déterminant et applications} \end{center} On fixe un entier $n \geqslant 1$. On considère la matrice $A_n$ à $n$ lignes et $n$ colonnes définie par \[A_n = \begin{pmatrix}2&-1&0&\ldots&0\\ -1&\dots&\dots&\dots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&\dots&0\\ \vdots&\dots&\dots&\dots&- 1\\ 0&\ldots&0&- 1&2 \end{pmatrix}.\] \begin{enumerate} \item Le déterminant de cette matrice est noté $D_n$. \begin{enumerate} \item Calculer $D_1,\: D_2$ et $D_3$. \item Montrer que pour tout entier $n \geqslant 3,\: D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$. \item En déduire une expression de $D_n$. \item Montrer que pour entier $n \geqslant 1$,\: $A_n$ est inversible. \end{enumerate} \item Soient $B = \begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix} \in \R^n$ et $U = \begin{pmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\end{pmatrix} \in \R^n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $U = A_n^{-1}B$ si et seulement si pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$, \[2u_i - u_{i - 1} - u_{i+1} = b_i,\] à condition de poser $u_0 = u_{n+1} = 0$. On suppose désormais que $U = A_n^{-1} B$. \item On suppose dans cette question que pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$,\: $b_i = 1$. Montrer que pour tout $i \in \llbracket0,~ n + 1\rrbracket,\: u_i = \frac{i(n+1-i)}{2}$. En déduire que $\max\left(u_1, \ldots , u_n\right) \leqslant \dfrac{(n + 1)^2}{8}$. \item On suppose dans cette question que pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$, $b_i \geqslant 0$. \begin{enumerate} \item Soit $j$ le plus grand indice tel que $u_j = \min\left(u_1, \ldots, u_n \right)$. En raisonnant par l'absurde, montrer que $j = 1$ ou $j = n$. \item En déduire que toutes les composantes de $U$ sont positives ou nulles. \end{enumerate} \item On ne fait dans cette question aucune hypothèse sur le signe des $b_i$. Soit $\beta = \max \left(\left|b_1\right|, \ldots, \left|b_n\right|\right)$. On considère les vecteurs $V$ et $W \in \R^n$ définis par \[V = \begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} = A_n^{-1}\left(\beta\begin{pmatrix}1\\ \vdots\\1\end{pmatrix} \right), \: W = \begin{pmatrix}w_1\\\vdots\\w_n\end{pmatrix} = A_n^{-1}\left(\beta\begin{pmatrix}1\\ \vdots\\1\end{pmatrix} + B \right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$,\:$v_i \geqslant 0$ et $w_i \geqslant 0$. \item Montrer que pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$,\:$v_i + w_i \leqslant \beta\dfrac{(n + 1)^2}{4}$. \item Montrer que pour tout $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$, \[u_i = \dfrac{w_i - v_i}{2} \leqslant \dfrac{v_i + w_i}{2} \leqslant \beta \dfrac{(n 1)^2}{8}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie B : inégalité de Taylor-Lagrange} \medskip Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. On considère une fonction $f \in \mathcal{C}^n(I)$. Soient deux nombres réels $a$ et $b$ dans l'intervalle $I$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que $f(b) = f(a) + \displaystyle\int_a^b f'(t)\:\text{d}t$. \item Montrer que si $n \geqslant 2$, alors $f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + \displaystyle\int_a^b f''(t)(b - t)\:\text{d}t$. \item Montrer que \[f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + \ldots + \dfrac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!} + \displaystyle\int_a^b \dfrac{f^{(n)}}{(n - 1)!}(b - t)\:\text{d}t.\] Cette égalité est connue sous le nom de \emph{formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de $M_n = \displaystyle\max_{x \in [a~;~b]} \left|f^{(n)}(x)\right|$. \item Démontrer que \[\left|f(b) - f(a) - f'(a)(b - a) - \ldots - \dfrac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(b - a)^{n-1}\right| \leqslant M_n \dfrac{(b - a)^n}{n!}.\] Cette inégalité est connue sous le nom d'\emph{inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ appliquée à $f$}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie C : un problème de condition aux bords} \medskip Soient $a, b$ deux nombres réels, $g \in \mathcal{C}^2([0~;~1]),\: M = \displaystyle\max_{x \in [0~;~1]} \left|g''(x)\right|$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une unique fonction $f \in \mathcal{C}^4([0~;~1])$ vérifiant \[\left\{\begin{array}{l} \text{pour tout }\:x \in [0~;~1],\: f''(x) = g(x)\\ f(0) = a,\: f(1) = b\: (\text{condition aux bords}). \end{array}\right.\] Le but de cette partie est de chercher une approximation des valeurs de $f$. \item En appliquant l'inégalité de Taylor-Lagrange à la fonction $f$ à un ordre et sur des intervalles bien choisis, montrer que, pour tous nombres réels $x$ et $h$ tels que $0 \leqslant l - h \leqslant x + h \leqslant 1$, \[\left|\dfrac{f(x + h) + f(x - h) - 2f(x)}{h^2} - f''(x)\right| \leqslant \dfrac{Mh^2}{12}.\] \item On fixe un entier $n \geqslant 1$ et d'après la question précédente, on convient d'approcher $f''(x)$ par \[\dfrac{f(x + h) + f(x - h) - 2f(x)}{h^2},\] avec $h = \dfrac{1}{n+1}$. Pour tout $i \in \llbracket0,~ n + 1\rrbracket$, on pose $x_i = ih$. Sachant que $f" = g$,\: $f(0) = a$ et $f(1) = b$, on approxime $f\left(x_0\right), f\left(x_1\right), \ldots , f\left(x_n\right),\: f\left(x_{n+1}\right)$ par respectivement $u_0,\: u_1, \ldots ,\:u_n,\: u_{n+1}$ avec $u_0 = a,\: u_{n+1} = b$ et, pour tout $i \in \llbracket1, n\rrbracket,$ \[\dfrac{u_{i+1} + u_{i-1} - 2u_i}{h^2} = g\left(x_i\right).\] \begin{enumerate} \item La matrice $A_n$ a été définie dans la partie A. Montrer qu'il existe un vecteur $B \in \R^n$, que l'on explicitera, tel que \[U = \begin{pmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\end{pmatrix} = A_n^{-1}B.\] \item Soit $F$ le vecteur $\begin{pmatrix}f\left(x_1\right)\\\vdots\\f\left(x_n\right)\end{pmatrix}$. Montrer que les valeurs absolues des composantes du vecteur $A_n(F - U)$ sont majorées par $M \dfrac{h^4}{12}$. \item En utilisant les résultats de la partie A, donner une majoration des réels $\left|f\left(x_i\right) - u_i\right|$ pour $i \in \llbracket1,~ n\rrbracket$ en fonction de $n$ et $M$. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}