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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small épreuve 1}
\lfoot{\small{CAPES externe 30 mars 2023}}
\rfoot{\small{}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~CAPES Concours externe  Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt]30 mars 2023 épreuve 1}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.

\bigskip

\textbf{Notations :}

$\N$ désigne l'ensemble des entiers naturels.

$\N^*$ désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.

$\Q$ désigne l'ensemble des nombres rationnels.

$\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.

$\R^*_{+}$ désigne l'ensemble des nombres réels strictement positifs.

\bigskip

\begin{center}\textbf{\Large Problème \no 1 : VRAI - FAUX}\end{center}

\medskip

Pour chacune des assertions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la
réponse donnée. 

Toute réponse \og vrai \fg{} ou \og faux \fg{} non argumentée ne sera pas prise en compte.

\begin{center}\textbf{I. Analyse}\end{center}

\emph{Ici $[a~;~ b]$ désigne un intervalle de $\R$ avec $a < b$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une fonction $f$ définie sur $\R$ n'est pas paire si, et seulement si, pour tout $x$ dans $\R$,\:
$f(x) \ne f(-x)$.
\item Soit une fonction $f$ définie et continue sur $[a~;~b]$ et à valeurs dans $[a~;~b]$.

L'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[a~;~b]$.
\item Soient deux fonctions $f$ et $g$ définies et continues sur $[a~;~b]$ et à valeurs dans $\R$.

Si $\displaystyle\int_a^b f(x)\:\text{d}x > \displaystyle\int_a^b g(x)\:\text{d}x$ alors pour tout $x \in [a~;~b]$, on a $f(x) > g(x)$.
\item Si la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle est nulle, alors la fonction
est nulle sur cet intervalle.
\item Les solutions de l'équation différentielle $y'' - 3y' + 2y = 2$ sont les fonctions
\[x \longmapsto  k \text{exp}(2x) + 1\]
où $k$ désigne un nombre réel quelconque.
\item La négation de l'assertion \og toute suite réelle majorée converge\fg{} est \og il existe des suites réelles minorées qui ne convergent pas \fg.
\item Soit la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par 
\[u_n = 1 - \dfrac17 + \dfrac{1}{7^2}- \ldots + \dfrac{1}{(- 7)^n}.\]

La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ converge vers un nombre réel strictement plus grand que 1.
\item  Un cycliste parcourt $40$~km la semaine $0$. Il décide que, chaque semaine, il parcourra $5$~km de plus que la distance parcourue lors de la semaine précédente.

La fonction \emph{seuil} présentée ci-dessous, écrite en langage Python, permet de déterminer le numéro de la semaine où la distance totale qu'il aura parcourue sera supérieure à un nombre $n$ donné.
\begin{center}
\begin{tabular}{c l}
1 &def seuil(n) :\\
2&k=0\\
3&u=40\\
4&S=40\\
5&while S<n :\\
6&\quad k=k+1\\
7&\quad S=S+u+5\\
8&return k\\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}\textbf{\large II. Géométrie}\end{center}

\item  Étant donnés trois points A, B et C du plan, la contraposée de l'assertion

\begin{center}ABC est un triangle rectangle en A $\implies \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2$\end{center}
est

\begin{center}$\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = \text{BC}^2 \implies$ ABC est un triangle rectangle en A.\end{center}
\item  On se place dans un plan vectoriel $P$ muni d'un produit scala$\R$e noté $( . |. )$ et d'une norme associée notée $\|~.~\|$. Soient $x$ et $y$ dans $P$ tels que $\|x\| = \|y\|$.

Les vecteurs $x + y$ et $x - y$ sont orthogonaux.
\item  On se place dans un plan vectoriel $P$ muni d'un produit scalaire noté $( . |. )$.

Pour tous vecteurs $x,\:y$ et $z$ de $P$, on a $(x|z) = (y|z) \implies x= y$.
\item  Dans le plan affine euclidien muni d'un repère cartésien orthonormé, on considère les points A$(-4~;~1)$, B(3~;~0) et C(5~;~4).

La médiatrice de [AC] a pour équation $x + y = 3$.
\item  Dans le plan affine euclidien muni d'un repère cartésien orthonormé, l'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $|z- 2| = |z + 1|$ est réduit au point d'affixe $\dfrac12$.
\item Dans le plan affine euclidien orienté muni d'un repère cartésien orthonormé direct d'origine O,  on considère les points A et B d'affixes respectives $\sqrt 3 - $i et $\sqrt 3 + $i.

L'angle orienté $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right)$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$ modulo $2\pi$.
\item Dans l'espace affine euclidien, muni d'un repère cartésien orthonormé, le plan $P$ d'équation $x - 2y + 3z = - 5$ et la droite $D$ de représentation paramétrique

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -2 + t\\
y &=& -t\\
z &=& - 1- t
\end{array}\right.\:(t \in \R)$ sont perpendiculaires.

\begin{center}\textbf{\large III. Matrices}\end{center}

\item La matrice $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ est inversible et diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\R)$, espace des matrices à coefficients réels à 2 lignes et 2 colonnes.
\item  Si $A$ et $B$ sont des matrices carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes telles que $AB = 0$, alors $A$ ou $B$ n'est pas inversible.

\begin{center}\textbf{\large  IV. Pourcentages}\end{center}

\item  En 2019, le prix du tabac a augmenté de 12\,\%, en 2020 de 16\,\%, en 2021 de 7\,\%. 

L'augmentation du prix du tabac de 2019 à 2021 a été de 35\,\%.
\item  Armelle et Boris ne suivent pas les mêmes enseignements. La semaine 1, Armelle a réussi 50\,\% des exercices qu'elle a traités et Boris 90\,\% des exercices qu'il a traités.

La semaine 2, Armelle a réussi 20\,\% des exercices qu'elle a traités et Boris 40\,\% des exercices qu'il a traités.

Sur l'ensemble de la quinzaine, Boris a nécessairement réussi un plus grand pourcentage d'exercices traités qu'Armelle.

\begin{center}\textbf{\large V. Arithmétique}\end{center}

\item  Soit $n$ un entier naturel.

$n^3 - n$ est pair.
\item  Soient un entier relatif $x$ et un entier naturel non nul $n$.

Si $x^2 \equiv  9\:[n]$ alors $x \equiv 3\:[n]$ ou $x\equiv -3\: [n]$.

\begin{center}\textbf{\large VI. Dénombrement}\end{center}

\item Le nombre de parties d'un ensemble à $10$ éléments est égal à $100$.
\item Étant donné un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, on trace dans un plan $n$ droites de sorte qu'il n'existe pas parmi elles deux droites parallèles ni trois droites concourantes.

Le nombre de triangles ainsi obtenus est égal à $\dfrac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$.

\begin{center}\textbf{\large VII. Probabilités}\end{center}

\item On choisit un numéro entre 1 et 6. On lance un dé équilibré à 6 faces jusqu'à l'obtention
du numéro choisi.

La probabilité de devoir effectuer au moins 3 lancers pour obtenir le numéro choisi est
$\dfrac{5^2}{6^2}$.
\item  Soient $A$ et $B$ deux évènements de probabilité non nulle dans un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A},~\mathbb{P})$.

$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\Large Problème \no 2 : équations fonctionnelles} 
\bigskip

\textbf{\large I. Quelques résultats classiques}\end{center}

\medskip

\emph{Dans cette partie, qui traite de points élémentaires, un soin particulier devra être apporté à la rigueur et à la précision des arguments donnés.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Dérivabilité}

Soient un intervalle $I$ de $\R$, non vide et non réduit à un point, une fonction $f : I \to \R$ et un élément $a$ de $I$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une définition de l'assertion \og $f$ est dérivable en $a$\fg.
		\item On suppose que $f$ est dérivable en $a$ et on note $f'(a)$ le nombre dérivé de $f$ en $a$.
		
Démontrer que $f$ admet un développement limité d'ordre 1 en $a$, qui est 
\[f(x) = f(a) + (x - a)f'(a) + g(x)\]
où $g$ est une fonction négligeable devant $x \longmapsto x - a$ en $a$. 
 
 \emph{On pourra considérer la fonction} $\epsilon :I\to \R$ \emph{définie par} $\epsilon(x) = \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} -f'(a)$ \emph{si $x \ne a$ et }$\epsilon(a) = 0$.
		\item  
			\begin{enumerate}
				\item Démontrer que si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$.
				\item Donner, sans démonstration, un contre-exemple pour l'assertion réciproque.
			\end{enumerate}
		\item  Soit $g : I \to \R$. Démontrer que si $f$ et $g$ sont dérivables en $a$ alors $fg$ l'est aussi.
		
Expliciter $(fg)'(a)$.
		\item  Soient $J$ un intervalle de $\R$ tel que $f(I) \subset J$ et une fonction $g : J \to \R$. 
		
Démontrer que si $f$ est dérivable en $a$ et si $g$ est dérivable en $f(a)$, alors $g \circ f$ est dérivable en $a$. Expliciter $(g \circ f)'(a)$.
	\end{enumerate}
\item  \textbf{La fonction logarithme népérien}

On appelle fonction logarithme népérien l'unique primitive de $x \longmapsto \dfrac 1x$ sur $\R^*_{+}$ s'annulant en 1 ;  on la note ln.

Ainsi ln est dérivable sur $\R^*_{+}$, on a $\ln'(x) = \dfrac 1x$ et $\ln (1) = 0$.

\emph{L'objectif de cette question $2$. est de démontrer des propriétés élémentaires du logarithme népérien, dont la plupart figurent au programme de Terminale.\\
À ce stade, ces propriétés sont supposées ne pas encore avoir été établies. De même, la fonction exponentielle de base e n'est pas supposée avoir été introduite et ne pourra être utilisée.}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $(x~;~y) \in \left(\R^*_{+}\right)^2$, on a $\ln (xy) = \ln (x) + \ln(y)$.
		
\emph{On pourra considérer, pour $y \in \R$ fixé, la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par}
\[\varphi(x) = \ln(xy) - \ln (x) - \ln (y).\]

		\item En déduire que, pour tout $x \in \R$~ et tout $n \in \N^*$, on a $\ln \left(x^n\right) =  n \ln (x)$ et 
		
$\ln \left(\dfrac1x\right) = - \ln (x)$.
		\item Le but de cette question est de déterminer toutes les fonctions $g : \R^*_{+} \to \R$ dérivables sur $\R^*_{+}$ telles que, pour tout $(x~;~y) \in  \left(\R^*_{+}\right)^2$, on a $g(xy) = g(x) + g(y)$.

Soit $g$ une telle fonction.
		\begin{enumerate}
			\item Déterminer $g(1)$.
			\item Démontrer que, pour tout $(x~;~y) \in \left(\R^*_{+}\right)^2$, on a $g'(xy) = \dfrac{g'(x)}{y}$.
			\item En déduire qu'il existe une constante $c \in \R$ telle que, pour tout $y \in \R^*_{+}$~, on a $g'(y) = \dfrac{c}{y}$.
			\item Déterminer l'ensemble des fonctions $g$ dérivables sur $\R^*_{+}$ qui sont solutions de l'équation fonctionnelle $g(xy) = g(x) + g(y)$.
		\end{enumerate}
	\item Démontrer que ln est strictement croissante sur $\R^*_{+}$.
	\item Soit $A \in \R$. Après avoir vérifié qu'il existe $n$ dans $\N^*$ tel que $n \geqslant \dfrac{A}{\ln 2}$, démontrer que, pour tout nombre réel $x$  tel que $x \geqslant 2^n, \: \ln (x) \geqslant A$.
	\item Expliciter les limites de ln en $+ \infty$ et en $0^{+}$.
	\item Démontrer que ln réalise une bijection de $\R^*_{+}$ sur $\R$.
	\item Démontrer que pour tout $(a~;~b) \in \left(\R^*_{+}\right)^2$, on a
\[\ln \left(\dfrac{a + b}{4}\right) = \dfrac{\ln a + \ln b}{2} \iff a^2 + b^2 = 14ab.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\begin{center}\textbf{\large II. Première équation fonctionnelle de Cauchy}\end{center}

On dit qu'une fonction $f : \R \to \R$ définie sur $\R$ est additive sur $\R$ si, pour tous nombres
réels
\[f(x + y) = f(x) + f(y).\]

On se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble des fonctions $f$ additives et continues sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item \textbf{Résultats préliminaires}

Soit $f$ une fonction définie et additive sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f(0)$.
		\item Démontrer que $f$ est une fonction impaire.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ et tout nombre réel $x$,\: $f(nx) = nf(x)$.
		\item En déduite que, pour tout nombre rationnel $r$ et tout nombre réel $x$, 
		
		$f(rx) = rf(x)$.
		\item Démontrer qu'il existe un nombre réel $a$ tel que, pour tout nombre rationnel $r$,\: $f(r) = ar$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Première méthode}

Soit $f$ une fonction additive et continue sur $\R$.

Déduire de la question 3. qu'il existe un nombre réel $a$ tel que, pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) = ax$. Conclure.
\item \textbf{Seconde méthode}

Soit $f$ une fonction additive et continue sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item Après avoir justifié l'existence de ces intégrales, démontrer que, pour tout nombre
réel $x$ :
\[f(x) = \displaystyle\int_0^1 f(x+t)\:\text{d}t - \displaystyle\int_0^1 f(t)\:\text{d}t.\]

		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ :
		\[f(x) = \displaystyle\int_x^{x+1} f(x+t)\:\text{d}t - \displaystyle\int_0^1 f(t)\:\text{d}t.\]
		\item Démontrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et déterminer $f'$.
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{\large III. Restriction des hypothèses}\end{center}

On pourra, pour les questions suivantes, utiliser les résultats démontrés dans la question 3.

L'objectif de cette partie est d'examiner l'effet sur la conclusion de la partie II de trois restrictions de l'hypothèse de continuité des fonctions additives sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item \textbf{Continuité en un point}

Soient un nombre réel $x_0$ et une fonction $f$ additive sur $\R$ continue en $x_0$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f$ est continue en $0$.
		\item Démontrer que $f$ est continue sur $\R$.
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Monotonie}

Soit une fonction $f$ additive et monotone sur $\R$.

Soit $x_0$ un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe deux suites $\left(a_n\right)_{n \in \N}$ et $\left(b_n\right)_{n \in \N}$ telles que: 
			\begin{enumerate}
				\item pour tout entier naturel $n$,\: $\left(a_n~;~b_n\right) \in \Q^2$.
				\item $\left(a_n\right)_{n \in \N}$ est croissante et $\left(b_n\right)_{n \in \N}$ est décroissante.
				\item  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_n= \displaystyle\lim_{n \to + \infty} b_n = x_0$.
			\end{enumerate}
		\item Démontrer que $f\left(x_0\right) = x_0f(1)$.
		\item Conclure.
	\end{enumerate}	
\item \textbf{Encadrement}

Soient deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, avec $\alpha < \beta$, et une fonction $f$ additive sur $\R$ et bornée sur $[\alpha~;~\beta]$.

Soit $x$ un nombre réel.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, il existe un nombre rationnel $r_n$ tel que 
		$nx - r_n  \in [\alpha~;~\beta]$.
		\item On pose $f(1) = a$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
\[\left|f\left(nx - r_n\right)\right|\geqslant n |f(x) - ax| - |a|\left|nx - r_n\right|.\]
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{\large IV. D'autres équations fonctionnelles}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item \textbf{Deuxième équation fonctionnelle de Cauchy}

On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ : $\R \to \R$ continues sur $\R$ telles que \[\forall (x~;~y) \in \R^2\quad  f(x + y) = f(x) \times f(y).\]

Soit $f$ une telle fonction.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f(0) = 1$ ou que $f$ est la fonction nulle sur $\R$.
		\item On suppose maintenant que $f$ n'est pas la fonction nulle sur $\R$.
			\begin{enumerate}
				\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) > 0$.
				\item Pour tout réel $x$, on pose $g(x) = \ln [f(x)]$. Démontrer que, pour tout 
				
$(x~;~y) \in \R^2$, on a $g(x + y) = g(x) + g(y)$.
				\item En déduire qu'il existe un nombre réel $a$ tel que, pour tout nombre réel $x$,\: $f (x) = \text{exp} (ax)$ (où exp désigne la fonction exponentielle, réciproque de la fonction logarithme népérien étudiée dans la partie I) et conclure.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item \textbf{Équation fonctionnelle de Jensen}

On se propose de déterminer l'ensemble des fonctions $f : \R \to \R$ continues sur $\R$ telles que
\[\forall(x~;~y) \in \R^2, \qquad f\left(\dfrac{x + y}{2}\right) = \dfrac{f(x) + f(y)}{2}.\]

Soit $f$ une telle fonction.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la propriété vérifiée par les fonctions qui satisfont l'équation fonctionnelle de Jensen, à l'aide d'une phrase faisant intervenir la notion de \emph{moyenne}.
		\item Démontrer que
\[\forall(x~;~y) \in \R^2, \qquad f(x + y) = f(x) + f(y) - f(0).\]

		\item On pose $f(0) = b$. Pour tout nombre réel $x$, on pose $g(x) = f(x) - b$.
		
Déterminer l'équation fonctionnelle vérifiée par $g$ et résoudre l'équation fonctionnelle de Jensen.
	\end{enumerate}
\item  On se propose de déterminer l'ensemble des fonctions $f : \R^*_{+}\to \R$ continues sur $\R^*_{+}$ telles que
\[\forall x \in \R^*_{+},\qquad f(x) = f\left(\dfrac{x^2 + 16}{2x}\right).\]

Soit $f$ une telle fonction.
	\begin{enumerate}
		\item On considère les fonctions
\[\begin{array}{l c l l}
g :	&\R^*_{+} 	&\to 		&\R\\
	&x 			&\longmapsto&\dfrac{x^2 + 16}{2x}\:\text{et}\\
h : &\R^*_{+}	&\to		& \R\\
	&x 			&\longmapsto& g(x) - x
	\end{array}\]
	
		\begin{enumerate}
			\item Dresser le tableau des variations de $g$, déterminer $g(4)$ et préciser les limites de $g$ en $0^+$ et en $+ \infty$.
			\item Étudier le signe de la fonction $h$ sur $\R^*_{+}$.
		\end{enumerate}	
\item 
		\begin{enumerate}
			\item Soient $x \in [4~;~+ \infty[$ et la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = x$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 16}{2u_n}$.
			
À l'aide de la question a, démontrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est convergente et
déterminer sa limite.
			\item  En déduire que, pour tout $x \in [4~;~+ \infty[$, on a $f(x) = f(4)$.
		\end{enumerate}
	\item Procéder de manière analogue à la question b pour démontrer que, pour tout $x$ appartenant à ]0~;~4[, on a $f(x) = f(4)$.
	\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}