\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small A. P. M. E. P.} \lhead{\small CAPES } \lfoot{\small{Deuxième épreuve (annulée)}} \rfoot{\small{ 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPES externe 2005 mathématiques~\decofourright}} \bigskip {\Large Deuxième épreuve écrite (annulée)}\end{center} \medskip \textbf{Notations} $\mathcal{P}$ est un plan euclidien. Étant donnés deux points distincts $A$ et $B$ du plan $\mathcal{P}$, on note $]AB[$ le segment $[AB]$ privé de ses extrémités. Si $\Gamma$ est un cercle de centre $\Omega$, de rayon $R$, on appellera \og intérieur du cercle $\Gamma$ \fg{} et on notera $\mathcal{I}(\Gamma)$ le disque ouvert, de centre $\Omega$, de rayon $R$ qui est limité par $\Gamma$. On a donc $\mathcal{I}(\Gamma) = \{M \in \mathcal{P}~ |~ \Omega M < R\}$. De même, l'extérieur du cercle $\Gamma$, noté $\mathcal{E}(\Gamma)$ est l'ensemble : $\mathcal{E}(\Gamma) = \{M \in \mathcal{P} ~|~ \Omega M > R\}$. \medskip \textbf{Recommandations importantes.} \medskip Les sept parties de ce problème sont très largement dépendantes. Il est recommandé de les traiter dans l'ordre, mais on pourra toujours admettre un résultat pour continuer le problème. Dans ce problème, on demande plusieurs fois de proposer une \emph{construction géométrique} d'une figure ou d'un élément d'une figure. Ceci signifie que l'on demande une suite d'instructions permettant de réaliser de façon théorique cette figure ou cet élément à l'aide de la règle et du compas. \emph{On réalisera effectivement cette construction dans une figure.} Cependant, on supposera connues, on ne détaillera pas et on pourra utiliser sans explication les constructions géométriques élémentaires classiques suivantes : \setlength{\parindent}{5mm} \begin{itemize} \item tracé de la médiatrice ou du milieu d'un bipoint ; \item tracé du cercle passant par trois points non alignés ; \item tracé de la parallèle à une droite passant par un point donné ; \item tracé de la perpendiculaire à une droite passant par un point donné. \end{itemize} \setlength{\parindent}{0mm} \newpage {\Large \textbf{Partie I : Puissance d'un point par rapport à un cercle}} \medskip Soit $\Gamma$ un cercle de $\mathcal{P}$, de centre $\Omega$, de rayon $R > 0$. \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point de $\mathcal{P}$, et soit $\mathcal{D}$ une droite passant par $M$ et coupant $\Gamma$ en deux points $T_{1}$ et $T_{2}$. On pose \[p_{[\mathcal{D},~\Gamma]}(M) = \overline{MT_{1}} \cdot \overline{MT_{2}}.\] Montrer que $p_{[\mathcal{D},~\Gamma]}(M) = \Omega M^2 - R^2$ donc que $p_{[\mathcal{D},~\Gamma]}(M)$ ne dépend pas de la droite sécante $\mathcal{D}$. (On pourra, introduire le point $H$, projeté orthogonal de $\Omega$ sur $\mathcal{D}$). Dans cette situation, on pose $p_{\Gamma}(M) = p_{[\mathcal{D},~\Gamma]}(M)$ (quelle que soit la droite $\mathcal{D}$ passant par $M$ et coupant $\Gamma$ en deux points) et on appelle cette quantité $p_{\Gamma}(M)$ \emph{la puissance du point $M$ par rapport au cercle $\Gamma$}. \item Quel rapport y a-t-il entre le signe de la puissance d'un point $M$ par rapport à un cercle $\Gamma$ et sa position dans le plan ? \item Quelle est la puissance du centre d'un cercle par rapport à ce cercle ? \item Soit $\Gamma$ un cercle et soit $\mathcal{D}_{0}$ une droite passant par $M$ et tangente au cercle $\Gamma$ en un point $T$. Que peut-on dire du point $M$ si une telle droite $\mathcal{D}_{0}$ existe ? $\mathcal{D}_{0}$ est-elle unique ? Montrer que $p_{\Gamma}(M) = MT^2$. \item Soient $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ deux cercles sécants en deux points $A$ et $B$. Montrer que la droite $(AB)$ est exactement l'ensemble de tous les points $M$ du plan qui vérifient la relation \[p_{\Gamma_{1}}(M) = p_{\Gamma_{2}}(M)\] \item Déterminer la nature de l'ensemble des points qui ont la même puissance par rapport à deux cercles lorsque ceux-ci ne sont pas forcément sécants. Que peut-on en dire si les deux cercles sont tangents ? \item $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal $\mathcal{R} =$ \Oij. Soit $\Gamma$ un cercle dont l'équation cartésienne dans le repère $\mathcal{R}$ est $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$. Déterminer la puissance du point $O$ (origine du repère) par rapport à ce cercle. \end{enumerate} \bigskip {\Large \textbf{Partie II : Construction d'une $\Pi$-droite}} \medskip Dans cette partie, $\mathcal{C}$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $R$, et $\Pi$ le disque ouvert limité par $\mathcal{C}$. $A$ et $B$ sont deux points distincts de $\Pi$. Le but de cette partie est de montrer qu'en général, pour toute paire $\{A,~B\}$ de points du disque ouvert $\Pi$, il y a existence et unicité, d'un cercle $\Gamma$ passant par $A$ et $B$, et coupant $\mathcal{C}$ en deux points \emph{diamétralement opposés}, tout en proposant une construction géométrique de ce cercle $\Gamma$. \begin{enumerate} \item On suppose que $A$ et $B$ sont situés sur un même diamètre du cercle $\mathcal{C}$. Montrer qu'aucun cercle passant par A et B ne rencontre $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés. (On pourra calculer de deux manières la puissance de $O$ par rapport à un cercle $\Gamma$ qui passerait par $A$ et $B$ et qui couperait $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés). \item On suppose que $A$ et $B$ ne sont pas situés sur un même diamètre et que $OA = OB$. Montrer dans ce cas l'existence et l'unicité d'un cercle $\Gamma$ qui passe par $A$ et $B$ et qui rencontre $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés. Proposer une construction géométrique de ce cercle. \item On suppose que $OA \neq OB$ et que $A$ et $B$ ne sont pas sur un même diamètre. On suppose qu'il existe un cercle $\Gamma$, de centre $\Omega$, qui rencontre $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés $T_{1}$ et $T_{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(AB)$ rencontre $\left(T1T2\right)$ en un point unique $S$. \item Comparer $p_{\mathcal{C}}(S)$ et $p_{\Gamma}(S)$. \item Soit $\Gamma'$ un cercle quelconque passant par $A$ et $B$ et rencontrant $\mathcal{C}$ en deux points $U_{1}$ et $U_{2}$ distincts. Comparer la puissance de $S$ par rapport aux cercles $\mathcal{C}, ~\Gamma$ et $\Gamma'$ et en déduire que $S \in \left(U_{1}U_{2}\right)$. \item Lorsqu'on ne connaît pas le cercle $\Gamma$, déduire de ce qui précède une construction géométrique du point $S$, puis du cercle $\Gamma$. \item Justifier l'existence et l'unicité de $\Gamma$. \end{enumerate} \item Autre démonstration de l'existence et l'unicité de $\Gamma$ : Dans cette question, le plan euclidien $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal $\mathcal{R} =$ \Oij et $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $O$, de rayon $R = 1$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'un cercle $\Gamma$ (distinct de $\mathcal{C}$) rencontre $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés si et seulement si $p_{\Gamma(O)} = - 1$. \item En déduire une méthode analytique pour montrer l'existence et l'unicité de $\Gamma$ en en déterminant une équation cartésienne puis son centre. Comment, dans cette méthode, reconnaît-on que les coordonnées de $A$ et $B$ sont telles qu'on est dans le cas particulier étudié à la question 1. ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip {\Large \textbf{Partie III : Un problème de lieu géométrique}} \medskip Dans cette partie, $\mathcal{C}$ est un cercle de centre $O$, de rayon $R$, et $A$ est un point distinct de $O$, situé dans le disque ouvert $\Pi$ limité par $\mathcal{C}$. Le but de cette partie est de déterminer le lieu $\mathcal{L}$ des centres des cercles qui passent par $A$ et qui coupent $\mathcal{C}$ selon deux points diamétralement opposés, puis d'en déduire une autre construction du cercle $\Gamma$ de la partie II. \begin{enumerate} \item Soit $\left[T_{0}T'_{0}\right]$ le diamètre de $\mathcal{C}$ perpendiculaire à $(OA)$. Soit $\Gamma_{0}$ le cercle circonscrit au triangle $T_{0}T'_{0}A$, et $\Omega_{0}$ son centre. Soit $\Omega$ un point de la perpendiculaire $\Delta$ à $(OA)$ qui passe par $\Omega_{0}$. Soit $\left[T_{1}T_{2}\right]$ le diamètre de $\mathcal{C}$ qui est perpendiculaire à $(\Omega O)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\Omega T_{i} = \Omega A$ pour $i = 1,~ 2$. \item En déduire que $\Delta \subset \mathcal{L}$. \end{enumerate} \item Montrer l'inclusion réciproque. \item Déduire de cette étude une nouvelle construction géométrique du cercle $\Gamma$ qui passe par deux points $A$ et $B$ (non situés sur un même diamètre) du disque $\Pi$, et qui coupe $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés. \end{enumerate} \bigskip {\Large \textbf{Partie IV : Un « plan » étonnant}} \medskip On se place toujours dans un plan euclidien $\mathcal{P}$. On considère l'ensemble $\Pi = \mathcal{I}(\mathcal{C})$, qui est le disque ouvert limité par le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2 + y^2 = 1$ dans le repère orthonormal $\mathcal{R} =$ \Oij. On appelle $\Pi$-droite un sous-ensemble de $\Pi$ qui est d'un des deux types suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item soit c'est l'intersection de $\Pi$ avec un cercle $\Gamma$ (distinct de $\mathcal{C}$) qui passe par deux points diamétralement opposés de $\mathcal{C}$. \item soit c'est l'intersection de $\Pi$ avec un diamètre de $\mathcal{C}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le cercle [respectivement la droite] qui contient tous les points d'une $\Pi$-droite est le support de la $\Pi$-droite. \begin{enumerate} \item Justifier que par deux points distincts de $\Pi$ passe une unique $\Pi$-droite. L'unique $\Pi$-droite passant par les deux points distincts $A$ et $B$ de $\Pi$ sera notée $((AB))$. \item Deux $\Pi$-droites seront dites $\Pi$-parallèles lorsqu'elles sont confondues ou que leur intersection est vide. \begin{enumerate} \item Montrer que si les supports de deux $\Pi$-droites se coupent en deux points diamétralement opposés de $\mathcal{C}$, alors ces $\Pi$-droites sont $\Pi$-parallèles. \item Soit $U = \left]T_{0}T'_{0}\right[$ une $\Pi$-droite dont le support est un diamètre de $\mathcal{C}$ et soit $V$ une $\Pi$-droite dont le support est un cercle $\Gamma$ qui rencontre $\mathcal{C}$ en deux points diamétralement opposés $T_{1}$ et $T_{2}$ (non confondus avec $T_{0}$ ou $T'_{0}$). En considérant la puissance de $O$ par rapport à $\Gamma$, montrer que $O$ est intérieur au cercle $\Gamma$ puis que la $\Pi$-droite $\left]T_{0}T'_{0}\right[$ rencontre la $\Pi$-droite dont le support est $\Gamma$ en un point unique. \item Montrer que si $\Gamma$ et $\Gamma'$ sont deux cercles coupant $\mathcal{C}$ en des couples différents de points diamétralement opposés respectivement $\left(T_{1},~  T_{2}\right)$ pour $\Gamma,~ (T'_{1},~  T'_{2})$ pour $\Gamma'$, alors $\Gamma$ et $\Gamma'$ se coupent en deux points d'un diamètre de $\mathcal{C}$ , dont un seul est dans $\Pi$ (on pourra considérer des équations cartésiennes de ces cercles). \item Montrer que si deux $\Pi$-droites non confondues sont $\Pi$-parallèles, alors leurs supports se coupent en deux points diamétralement opposés de $\mathcal{C}$. \item Montrer que la relation de $\Pi$-parallélisme est une relation d'équivalence dans l'ensemble des $\Pi$-droites. \end{enumerate} \item Montrer que si deux $\Pi$-droites ne sont pas $\Pi$-parallèles, alors leur intersection est un singleton. \item Montrer qu'étant donnés un point $A$ de $\Pi$ et une $\Pi$-droite $U$, il existe une unique $\Pi$-droite $V$ qui est $\Pi$-parallèle à $U$ et qui passe par $A$. L'ensemble $\Pi$ vérifie donc deux axiomes classiques d'incidence dans un plan affine. Pour compléter l'étude de ce « plan », les parties suivantes vont montrer qu'il peut être mis en bijection avec un plan usuel. \end{enumerate} \bigskip {\Large \textbf{Partie V : Grands cercles d'une sphère et droites d'un plan}} \medskip Dans cette partie, $\Pi_{0}$ désigne le plan d'équation $z = 1$ dans un espace affine euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormal $\mathcal{R}' =$ \Oijk, et $\mathcal{P}$ désigne le plan d'équation $z = 0$ ; un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$ est donc $\mathcal{R} =$ \Oij. $\Sigma$ désigne la sphère unité, d'équation cartésienne $x^2+y^2+z^2 = 1$, et $\Sigma^{+}$ désigne le sous-ensemble de $\Sigma$ formé des points $M$ dont la troisième coordonnée $z$ dans le repère $\mathcal{R}'$ est strictement positive. On rappelle qu'un grand cercle d'une sphère est l'intersection d'un plan passant par le centre de la sphère avec cette sphère. $\mathcal{C}$ désigne le cercle du plan $\mathcal{P}$ qui a pour centre $O$ et pour rayon 1. $\mathcal{C}$ est donc aussi un grand cercle de $\Sigma$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'intersection de deux grands cercles non confondus de $\Sigma$ consiste toujours en deux points diamétralement opposés pour $\Sigma$. \item Soit $\mathcal{Q}$ un plan passant par $O$, distinct de $\mathcal{P}$. Quelle est l'intersection de $\mathcal{Q}$ avec $\Sigma$ ? Et avec $\Sigma^{+}$ ? Et avec $\mathcal{C}$ ? \item Montrer qu'on définit correctement une application $\varphi$ entre $\Pi_{0}$ et $\Sigma^{+}$ en associant à chaque point $M$ de $\Pi_{0}$ le point d'intersection $M_{0}$ de la droite $(OM)$ avec $\Sigma^{+}$. Montrer que $\varphi$ est une bijection entre $\Pi_{0}$ et $\Sigma^{+}$. \item Montrer que l'image d'une droite affine de $\Pi_{0}$ par $\varphi$ est un \og demi-grand-cercle \fg{} de $\Sigma$. Définir avec précision cette notion de « demi-grand-cercle ». Caractériser analytiquement l'image par $\varphi$ d'une droite d'équations cartésiennes dans $\mathcal{R}'$ : \[ \left\{ \begin{array}{l c l} ax + by + c &=& 0\\ z &=& 1\\ \end{array}\right. \quad (\text{avec}~ (a, b) \neq (0, 0)).\] \end{enumerate} \bigskip {\Large \textbf{Partie VI : Une autre correspondance entre sphère et plan}} \medskip Les notations sont les mêmes que dans la partie V. $\Sigma^{*}$ désigne la sphère $\Sigma$ privée de son \og pôle sud \fg, c'est-à-dire du point $S$ de coordonnées $(0~;~ 0~;~-1)$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'on définit correctement une application $\psi$ entre $\Sigma^{*}$ et $\mathcal{P}$ en associant à chaque point $M$ de $\Sigma^{*}$ le point d'intersection $M'$ de la droite $(SM)$ avec $\mathcal{P}$. $\psi$ est-elle bijective ? \item Soit $M$ un point de $\Sigma^{*}$ de coordonnées $(x~ ;~ y~;~ z)$ (dans $\mathcal{R}'$). Déterminer en fonction de $(x~ ;~ y~;~ z)$ les coordonnées $(x'~ ;~ y'~;~ z')$ de $M' = \psi(M)$. \item Soit $N$ un point de $\mathcal{P}$ de coordonnées $(x~;~ y)$ dans $\mathcal{R}$. Déterminer en fonction de $(x~;~ y)$ les coordonnées $(X~;~Y~;~Z)$ de l'antécédent éventuel $M$ de $N$ par $\psi$. \item Montrer qu'un grand cercle de $\Sigma$ peut être caractérisé par un système d'équations du type \[ \left\{ \begin{array}{l c l} ax + by + cz &=& 0\\ x^2 + y^2 + z^2 &=& 1\\ \end{array}\right. \quad (\text{avec}~ (a~ ;~ b~ ;~ c) \neq (0~ ;~ 0~ ;~0)).\] \item Montrer que l'image par $\psi$ d'un grand cercle de $\Sigma$ ne passant pas par $S$ est un cercle de $\mathcal{P}$. Quelle est l'image par $\psi$ de l'intersection avec $\Sigma^{*}$ d'un grand cercle de $\Sigma$ passant par $S$ ? \item Soit $\mathcal{D}$ un grand cercle de $\Sigma$ et soit $\mathcal{D}^{*} = \mathcal{D} \cap \Sigma^{*}$. Que peut-on dire de l'intersection de $\psi\left(\mathcal{D}^{*}\right)$ avec $\mathcal{C}$ ? \item On appelle $\psi^{+}$ la restriction de $\psi$ à $\Sigma^{+}$. Montrer que $\psi^{+}$ réalise une bijection de $\Sigma^{+}$ vers le disque ouvert limité par $\mathcal{C}$. \item Montrer que l'image d'un \og demi-grand-cercle \fg{} (voir V. 3) par $\psi^{+}$ est une $\Pi$-droite (voir partie IV). \end{enumerate} \bigskip {\Large \textbf{Partie VII : Synthèse et application}} \medskip Les notations sont celles des parties précédentes. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer l'existence d'une bijection $h$ du plan affine $\Pi_{0}$ vers l'ensemble $\Pi$ induisant une bijection entre l'ensemble des droites de $\Pi_{0}$ et l'ensemble des $\Pi$-droites et conservant le parallélisme (en ce sens que deux droites parallèles de $\Pi_{0}$ sont transformées en deux $\Pi$-droites $\Pi$-parallèles). \item Donner des formules analytiques de $h$, c'est-à-dire un système exprimant les coordonnées $(x'~;~ y')$ dans le repère $\mathcal{R}$ de l'image $h(M)$ d'un point $M$ en fonction de ses coordonnées $(x~;~y~;~1)$ dans $\mathcal{R'}$. \item Inverser le système précédent pour obtenir en fonction des coordonnées d'un point $M$ celles de $h^{-1}(M)$. \item Voici une \emph{définition du $\Pi$-milieu de deux points de $\Pi$.} \emph{Soient $A$ et $B$ deux points de $\Pi$. Soit $C$ un point quelconque de $\Pi$, non situé sur $((AB))$. On considère le point $D$, intersection de la $\Pi$-droite qui passe par $B$ et qui est $\Pi$-parallèle à $((AC))$ et de la $\Pi$-droite qui passe par $A$ et qui est $\Pi$-parallèle \`a $((BC))$. On appelle $\Pi$-milieu de la paire $\{A,~B\}$ le point $I$ intersection des $\Pi$-droites $((AB))$ et $((CD))$.} \medskip En utilisant la bijection $h$, démontrer que cette définition est correcte : on vérifiera que les $\Pi$-droites $((AB))$ et $((CD))$ ne sont pas $\Pi$-parallèles, et que cette définition ne dépend pas du point $C$ arbitrairement choisi. \item Soit $A$ le point de $\Pi$ de coordonnées $\left(0~;~\frac{1}{2}\right)$ et $B$ le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;~0\right)$. Donner une construction géométrique détaillée du $\Pi$-milieu $I$ de $\{A,~B\}$. (On fera une figure en prenant 8~cm comme unité) \item Donner les coordonnées des points $A' = h^{-1}(A),~ B' = h^{-1}(B)$ et $I' = h^{-1}(I)$. En déduire les coordonnées de $I$ dans le repère $\mathcal{R}$. \end{enumerate} \end{document}