\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{accents} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{lscape} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{braket} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.6pt} \addtolength{\topmargin}{-1.6pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\newcommand{\P}{\mathbb{P}} %\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Roman{enumi}}} %\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} %\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\arabic{enumii}}} %\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\alph{enumiii}}} %\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{$k$}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\e}{\,\text{e}} %\newcommand{\i}{\,\text{i}} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} %\usepackage{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP},/Users/denis/Library/Containers/com.apple.mail/Data/Library/Mail Downloads/D6942931-13A7-41D2-A81D-6F461531F577/ %pdfsubject = {CAPLP 2023}, %pdftitle = {épreuve 1 26 mars 2026}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small épreuve 1} \lfoot{\small{CAPLP externe 26 mars 2026}} \rfoot{\small{}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe Option mathématiques ~\decofourright\\[5pt] 26 mars 2026 épreuve 1}} \vspace{0,5cm} \textbf{ÉPREUVE ÉCRITE DISCIPLINAIRE} \medskip \textbf{\Large PARTIE 1 : Commune à tous les candidats \hfill 10 points} \end{center} \medskip \textbf{\large Exercice 1 (VRAI-FAUX)} \medskip Préciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse réponse non justifiée ne rapporte aucun point. \medskip \begin{enumerate} \item On a $\displaystyle\int_0^1 x^2 \e^x\:\text{d}x = \e$. \item Un argument de $1 - \i \sqrt 3$ est $-\dfrac{\pi}{3}$. \item Toute solution sur $\R$ de l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 0$ tend vers 0 en $- \infty$. \item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à deux. Soit une série statistique à une variable prenant $n$ valeurs réelles et de moyenne $m$ ; si $n - 1$ d'entre elles forment une série statistique de moyenne $m$ alors la $n$-ième est égale à $m$. \item La courbe de la fonction définie pour tout $x \in \R$ par $f(x) = \e^{2|x|-1}- 1$ admet, au point d'abscisse $- 1$, une tangente d'équation $y = \left(2\e^2\right)x + \left(3\e^2 - 1\right)$. \item On lance simultanément deux dés à 6 faces, numérotées de 1 à 6, équilibrés et on considère la somme obtenue en ajoutant les deux nombres figurant sur les faces supérieures ; la probabilité que cette somme soit inférieure ou égale à 9 est égale à $0,75$. \item Le prix d'installation de panneaux photovoltaïques a augmenté de$ 10\,\%$ au 1\up{er} janvier 2023, de $5\,\%$ aux 1\up{er} janvier 2024 et 2025 puis enfin de 10\,\% à nouveau au 1\up{er}janvier 2026. Le taux moyen d'évolution sur ces quatre années est $7,5\,\%$. \item Soit $n$ un entier naturel non nul, on a : \[\displaystyle\sum_{k=0}^n (- 1)^k\binom{n}{k} = 0.\] \item Si $A \in \mathcal{M}_2(\R)$ est telle que $A^2$ est nulle alors $A$ est nulle. \item La suite $(u_n)_{n\in \N}$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N*$ par la relation de récurrence $u_{n+1} = - 2u_n +1$ converge. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 2 (Quelques séries remarquables)} \medskip Soit $(u_n)_{n\in \N}$ une suite réelle. On pose, pour tout entier $n \in \N^{*}$ : \[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n u_n.\] \medskip \textbf{\large PARTIE A - ÉTUDES D'EXEMPLES} \medskip On se propose d'étudier la convergence de la suite $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ pour quelques suites particulières $(u_n)_{n\in \N^{*}}$ \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question uniquement, on pose $u_k = \dfrac 1k$ pour tout $k \in \N^{*}$. \begin{enumerate} \item Soit $n \geqslant 1$. Donner, pour tout entier $k$ vérifiant $n + 1 < k < 2n$, un encadrement de $\dfrac 1k$. \item En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$, on a $S_{2n} - S_n \geqslant \dfrac 12$. \item Si $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ converge, quelle est la limite de $(S_{2n} - S_n)_{n \in \N^{*}}$ ? Conclure. \end{enumerate} \item Dans cette question uniquement, on pose $u_k = \dfrac{1}{k^2}$ pour tout $k \in \N^{*}$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $k \geqslant 2$, on a : \[\dfrac{1}{k - 1} - \dfrac 1k \geqslant \dfrac{1}{k^2}.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \:$S_n \leqslant 2 - \dfrac 1n$ puis que la suite $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ est majorée. \item Montrer que la suite $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ converge. \end{enumerate} \item Dans cette question uniquement, on pose $u, = q^k$ pour tout $k \in \N^{*}$ où $q$ est un nombre réel. \begin{enumerate} \item Pour tout $n \in \N^{*}$, calculer $S_n$, suivant les valeurs de $q$. \item Calculer, si elle existe, la limite de $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ en suivant les valeurs de $q$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large PARTIE B - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES} \medskip \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Soit $n \geqslant 2$ un entier naturel. Exprimer $S_n - S_{n-1}$ en fonction de $u_n$. \item En déduire que la condition $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ est nécessaire pour la convergence de $(S_n)_{n \in \N*}$. Est-elle suffisante ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip On suppose par la suite que $(u_n)_{n \in \N*}$ est une suite à termes strictement positifs et qu'il existe un réel $0 \leqslant q \leqslant 1$ tel que : \[\displaystyle\lim_{k \to + \infty}\dfrac{u_{k+1}}{u_k} = q.\] \begin{enumerate}[resume] \item Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant q < 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que : \[0 \leqslant q < \dfrac{q + 1}{2} < 1.\] \item Soit $(v_n)$ une suite réelle. Rappeler la définition à l'aide de quantificateurs de : \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n = q. \] \item Montrer qu'il existe un entier naturel $N$ tel que, pour tout $k \geqslant N$ : \[0 \leqslant \dfrac{u_{k+1}}{u_k} \leqslant \dfrac{q + 1}{2}\] (La détermination de $N$ n'est pas attendue). \item Montrer, par récurrence sur $k$, que pour tout $k \geqslant u_k \leqslant N$, on a : \[u_k \leqslant u_N\left(\dfrac{q + 1}{2} \right)^{k - N}\] \item En déduire une majoration indépendante de $n$, pour tout $n \geqslant N$, de $\displaystyle\sum_{k=N}^n u_k$. \item En déduire que la suite $(S_n)_{n \in \N*}$ est convergente. On pourra remarquer que, lorsque $N > 1$, on peut écrire pour tout $n \geqslant 2$, \[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{N-1}u_k + \displaystyle\sum_{k=N}^{n}u_k.\] \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $q = 1$. Que peut-on dire quant à la convergence de la suite $(S_n)_{n \in \N^{*}}$ ? On pourra considérer les suites étudiées en Partie A.1 et Partie A.2. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Partie 2 - Majeure mathématiques\hfill 10 points} \textbf{(à traiter uniquement par les candidats ayant choisi la discipline majeure mathématiques)} \medskip \textbf{\large Exercice 3 (Étude de la diagonalisabilité d'une matrice \boldmath $3 \times 3$ \unboldmath)} \medskip Soit une matrice \[M = \begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-4&1\\1&1&-1\end{pmatrix}\] et $\varphi$ l'endomorphisme de $\R$ dont la matrice est $M$ dans la base canonique de $\R$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le noyau de $\varphi$. L'endomorphisme $\varphi$ est-il bijectif ? \item Calculer le déterminant de $M$. \item Justifier que la matrice $M$ est inversible. Montrer que : \[M^{-1} = - \dfrac{1}{20}\begin{pmatrix}15&5&5\\1&-4&1\\1&1&-4\end{pmatrix} \] \item On définit la trace d'une matrice carrée $A = (a_{i,j})_{1\leqslant i, j\leqslant 3}$ par : \[\text{tr}(A) = \displaystyle\sum_{i=1}^3 a_{ii}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour toutes matrices $A, B \in \mathcal{M}_3(\R)$, on a : \[\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)\quad \text{et}\quad \text{tr}(A+ B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B).\] \item Montrer que, pour toutes matrices $P \in \text{GL}_3(\R)$ et $A \in \mathcal{M}_3(\R)$, on a : \[\text{tr}\left(P^{-1}~AP\right) = \text{tr}(A).\] \end{enumerate} \item Calculer tr($M$). \item Justifier que le vecteur $\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur propre de $M$ associé à une valeur propre $\lambda_1$ à déterminer puis déterminer la dimension du sous-espace propre associé à $\lambda_1$. \item On suppose que $M$ est diagonalisable. En utilisant la trace et le déterminant de $M$, obtenir une somme et un produit des valeurs propres possibles de $M$. Quelles seraient les valeurs propres possibles de $M$ ? \item Justifier que $M$ est diagonalisable dans $\R$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 4 (Un problème de recollement)} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \left\{\begin{array}{l c l} \dfrac{\e^{-\frac 1x}}{x^2}&\text{si}&x \neq 0\\ 0&\text{si}&x = 0 \end{array}\right.\] \bigskip \textbf{\large PARTIE A - ÉTUDE DE LA FONCTION \boldmath $f$\unboldmath} \medskip \begin{enumerate} \item Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ sur $\R$ et $\R^{*}$, puis à gauche et à droite en 0. \item Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bords de l'ensemble de définition. Préciser la nature des branches infinies de la courbe représentative de $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large PARTIE B - UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE} \medskip On s'intéresse à l'équation différentielle \[(E) :\quad x^2y' + (2x - 1)y = 0\] sur $\R$ dont les solutions sont les fonctions dérivables sur $\R$ vérifiant la relation donnée par $(E)$. \begin{enumerate}[resume] \item Résoudre $(E)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$. \item Supposons que $y$ est une solution de $(E)$ sur $]0~;~+\infty[$ et sur $]-\infty~;~ 0[$ prolongée par continuité sur $\R$. \begin{enumerate} \item Que vaut $y(0)$ ? \item Justifier que si $y$ est une solution de $(E)$ sur $\R$, il existe $k \in \R$ tel que : \[f(x) = \left\{\begin{array}{l c l} 0&\text{si}&x \leqslant 0\\ \dfrac{k}{x^2}\e^{-\frac 1x}&\text{si}&x > 0\\ \end{array}\right.\] \item Montrer que les solutions définies en \textbf{4. b.} sont dérivables sur $\R$ et en déduire l'ensemble des fonctions solutions de $(E)$ définies et dérivables sur $\R$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large PARTIE C - ÉTUDE ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE} \medskip \begin{enumerate}[resume] \item Exprimer, pour tout réel non nul $x,\:y'$ en fonction de $y$ et $x$. Montrer que les solutions de $(E)$ sont de classe $\mathcal{C}_2$ ? \item Justifier que les solutions de $(E)$ sur $\R$ admettent un développement limité à l'ordre 2 en 0 de partie régulière nulle. \item Peut-on généraliser le résultat à tout ordre $n \in \N$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large Partie 3 -- Mineure mathématique \hfill 10 points} \medskip \textbf{à traiter uniquement par les candidats ayant choisi la discipline majeure physique-chimie} \medskip \textbf{\large Exercice 3 (Étude d'une matrice $3 \times 3$ et application)} \medskip On considère les matrices : \[A = \begin{pmatrix}3&0&-1\\2&4&2\\-1&0&3\end{pmatrix}\qquad \text{et}\qquad I_3 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\] On définit les puissances successives de $A$ par $A^0 = I_3$(où $I_3$ est la matrice unité définie ci-dessus) et pour tout $n \in N, \:A^{n+} = A^n \times A$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble $E_2$ des matrices colonnes à coefficients réels $M = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telles que $AM = 2M$. \item Déterminer l'ensemble $E_4$, des matrices colonnes à coefficients réels $M = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$telles que $AM =4M$. \item On considère alors la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1&0\\-2&0&-1\\1&-1&0 \end{pmatrix}$. Justifier que $P$ est inversible et que $P^{-1}= \dfrac 12\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&-1\\2&2&2\end{pmatrix}$. \item Calculer la matrice $D = P^{-1}AP$. \item En déduire que, pour tout $n \in N$,\: $A^n = PD^nP^{-1}$. \item Montrer que, pour tout $n \in \N$ : \[A^n = \dfrac 12 \begin{pmatrix}2^n + 4^n&0&2^n - 4^n\\2(4^n - 2^n)&2 \times 4^n&2(4^n - 2^n)\\2^n - 4^n&0&2^n + 4^n\end{pmatrix}.\] \item On considère les suites $(u_n)_{n \in \N},\: (v_n)_{n \in \N}$ et $(w_n)_{n \in \N}$ définies de manière récurrente par $u_0 = 0,\: v_0 = 1$ et $w_0 = - 1$ et,\: pour tout $n \in \N$ : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{n+1}& =& 3u_n \phantom{+4v_n} - w_n\\ u_{n+1}& =& 2u_n + 4v_n + 2w_n\\ w_{n+1}& =& - u_n \phantom{+4v_n} +3w_n \end{array}\right.\] et on pose, pour tout $n \in \N,\: X_n = \begin{pmatrix}u_n\\v_n\\w_n\end{pmatrix}$. Exprimer, pour tout $n \in \N,\: X^{n+1}$ en fonction de $X^n$ et $A$. \item En déduire que, pour tout $n \in \N,\: X_n = A^nX_0$. \item Utiliser ce qui précède pour déterminer l'expression des suites $(u_n)_{n \in \N},\: (v_n)_{n \in \N}$ et $(w_n)_{n \in \N}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 4 (Autour du nombre e)} \medskip \textbf{\large PARTIE A - CALCUL INTÉGRAL} \medskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction définie sur $\R_{+}^{*}$, par : \[f(t) = \dfrac{1}{t(t + 1)^2}\] \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction $f$ est continue sur $\R_{+}^{*}$. \item Déterminer les nombres réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout $t \in \R_{+}^{*}$ : \[f(t) = \dfrac{a}{(t + 1)^2} + \dfrac{b}{(t + 1)} + \dfrac{c}{t}.\] \end{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par \[g(t) = - \dfrac{1}{t^2(t + 1)}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $t \in \R$ : \[g(t) - f(t) = - \dfrac{2t + 1}{\left(t^2 + 1\right)^2}\] \item Vérifier que la fonction $h$ définie pour tout $t \in \R_{+}^{*}$, par $h(t) = \dfrac{1}{t^2 + 1}$, est une primitive de la fonction $g - f $sur $\R_{+}^{*}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large PARTIE B - LIMITES DE FONCTIONS ET INÉGALITÉS} \medskip \begin{enumerate}[resume] \item Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geqslant 1$. On définit, pour tout $x > n$: \[F_n(x) = \displaystyle\int_n^x f(t)\:\text{d}t \qquad \text{et}\qquad G_n(t) = \displaystyle\int_n^x f(t)\:\text{d}t\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x > n$ : \[F_n(x) = \dfrac{n - x}{(n + 1)(x + 1)} + \ln \left(\dfrac{(n + 1)x}{n(x + 1)} \right)\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction de $n$, la limite, lorsque $x$ tend vers $+\infty$, de la fonction $F_n$. On notera $v_n$ cette limite. \item Justifier que, pour tout $n \geqslant 1,\: 0 \leqslant v_n$. \item En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$ : \[1 \leqslant (n + 1) \times \ln \left(1 + \dfrac 1n \right)\] \end{enumerate} \item En utilisant la primitive obtenue à la question \textbf{2. b.} de la Partie A, donner l'expression de $G_n(x)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer, en fonction de $n$ , la limite, lorsque $x$ tend vers $+\infty$, de la fonction $G_n$. On notera $v_n$ cette limite. \item Justifier que, pour tout $n \geqslant 1,\: 0 \leqslant v_n$. \item En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$ : \[n \times \ln \left(1 + \dfrac 1n\right)\leqslant 1\] \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large PARTIE C - ÉTUDE D'UNE SUITE} \medskip \begin{enumerate}[resume] \item À partir des deux inégalités établies dans la Partie B, montrer que, pour tout $n \geqslant 1$ : \[1 \leqslant \dfrac{\e}{\left(1 + \dfrac 1n \right)^n} \leqslant 1 + \dfrac 1n.\] \item En déduire que la suite $\left[\left(1 + \dfrac 1n \right)^n\right]_{n \in \N^{*}}$ est convergente et déterminer sa limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{document}