\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\texteuro{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pstricks} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} %\setlength{\headheight}{13.59999pt} %\addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} %\makeatletter%graduations décimales %\def\psh#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} %\def\psv#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil} %\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{% %\ifx#1\@emptyO\else#1\fi %\ifx#2\@empty\else,#2\fi} %\makeatother \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rhead{\small{CAPLP externe 2003}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~CAPLP externe 2003 \decofourright}} \bigskip \end{center} \textbf{Durée : 4 heures} \bigskip \emph{Le sujet est constitué de trois exercices.\\ Le premier exercice, de nature pédagogique, a pour objet le traitement d’un exercice au niveau du baccalauréat professionnel, suivi d’une analyse didactique.\\[5pt] Le deuxième exercice, de géométrie, permet de caractériser les pieds des bissectrices d’un triangle et ensuite d’établir une propriété classique des tangentes à une ellipse.\\[5pt] Le troisième exercice, d’analyse, est constitué de trois parties : il a pour objet d’étudier une fonction et de calculer une intégrale.\\[5pt] La clarté et la précision des raisonnements, la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies, ainsi que, dans le premier exercice concerné, le savoir-faire pédagogique et l'intervention de méthodes en conformité avec les programmes en vigueur dans les lycées professionnels.\\[5pt] L’usage des calculatrices de poche est autorisé conformément aux directives de la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.} \bigskip \begin{center}\textbf{PREMIER EXERCICE}\end{center} \textbf{\Large Exercice 1} \medskip L’exercice qui figure ci-après est supposé se situer au niveau du baccalauréat professionnel. \medskip \begin{enumerate} \item Traiter les questions \textbf{1., 2.a., 2.b.} et calculer $S$ (question 3.c.). \item Le signal étudié est discontinu : lors du traitement de cet exercice en classe, quels peuvent être les commentaires du professeur ? \item À partir de cet exercice et d’autres exemples, construire une activité destinée à des élèves permettant d’illustrer le calcul de la valeur moyenne d’une fonction périodique. Expliciter en argumentant le scénario proposé. \end{enumerate} \medskip %La page annexe regroupe des extraits des programmes des baccalauréats professionnels. \textbf{Exercice :} \medskip Dans tout ce problème $T$ désigne le nombre réel $\dfrac{1}{50}$. On considère le signal $s$, de la variable $t$, défini sur $\R$ et périodique de période $T$ tel que : \medskip \begin{enumerate} \item Compléter le tableau : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$ &0&$\dfrac{T}{8}$&$\dfrac{T}{4}$&$\dfrac{T}{2}$&$\dfrac{3T}{4}$&$T$\rule[-3mm]{0mm}{11mm}\\ \hline $s(t)$&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \item Dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O$t$, O$y$) de votre choix, \begin{enumerate} \item Construire la représentation graphique du signal $s$ considéré sur l’intervalle $[0~;~T]$. \item Construire le graphique permettant de visualiser dans le repère (O$t$, O$y$) le signal $s$ considéré sur l’intervalle $[-T~;~2T]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit l'intégrale $J = \displaystyle\int_{\frac{t}{4}}^T 2\:\text{d}t$. Montrer que $J = \dfrac{3}{100}$. \item Calculer la fonction dérivée de la fonction définie sur l’intervalle $\left[0~;~\dfrac{T}{4}\right]$ par $t \longmapsto \sin (100 \pi t)$. En déduire une primitive de la fonction définie sur l’intervalle $\left[0~;~\dfrac{T}{4}\right]$ par $t \longmapsto 6\cos(100 \pi t)$. Soit l'intégrale $I$ telle que $I = \displaystyle\int_0^{\frac{T}{4}} s(t) \:\text{d}t$. Montrer que $I = \dfrac{3}{50 \pi} + \dfrac{1}{100}$. \end{enumerate} \item La valeur moyenne $S$ du signal $s$ sur l’intervalle $[0~;~T]$ est égale à $\dfrac 1T (I +J)$. Calculer la valeur exacte de $S$ puis sa valeur arrondie à $10^{-2}$. \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{DEUXIÈME EXERCICE} \medskip \textbf{PARTIE A} \emph{Caractérisation barycentrique des pieds des bissectrices d’un triangle} \end{center} \medskip Soit (ABC) un triangle non aplati du plan affine euclidien. On note comme suit les longueurs respectives de ses côtés : BC $= a$, CA $= b$, AB $= c$. La bissectrice intérieure issue du sommet A du triangle coupe le segment [BC] au point noté~U. Si la bissectrice extérieure issue de A coupe la droite (BC), on appelle V le point d'intersection. Le barycentre de trois points M, M$'$ et M$''$ affectés des coefficients $p, p'$ et $p''$ est noté : \[\{(\text{M},\: p) \:;\: (\text{M}',\: p') \:;\: (\text{M}'',\: p")\}\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En exprimant de deux façons différentes l'aire de chacun des triangles (ABU) et (ACU), prouver que \[\dfrac{\text{UB}}{\text{UC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}\] \item En déduire que U est le barycentre $\{(\text{B},\: b)~;~(\text{C},\: c)\}$. \item Montrer que les trois bissectrices intérieures du triangle (ABC) sont concourantes en un point I qui est le barycentre \[\{(\text{A},\: a)~;~(\text{B},\: b)~;~(\text{C},\: c)\}.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À quelle condition sur $b$ et $c$ le point V existe-t-il ? \item Supposant cette condition remplie, montrer que V est le barycentre $\{(\text{B}, b)~;~(\text{C}, c)\}$. \item Vérifier l'existence du barycentre $\{(\text{A},\: a)~;~(\text{B},\: b)~;~(\text{C},\: c)\}$. Indiquer trois droites particulières du triangle (ABC) à l'intersection desquelles ce barycentre est situé. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center}\textbf{PARTIE B} \smallskip \emph{Une propriété de la tangente en un point d’une ellipse} \end{center} Soient deux réels $a$ et $b$ tels que $a > b > 0$. Soit $(\mathcal{E})$ l'ellipse d'équation $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ dans un repère orthonormal \Oij. On note F$(c,~ 0)$ et F$'(- c ,~ 0)$ les foyers de l'ellipse. Soit A$(x_{\text{A}}~;~y_{\text{A}})$ un point de $(\mathcal{E})$ distinct des sommets de l’ellipse. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $(T_{\text{A}})$, tangente à $(\mathcal{E})$ en A, admet pour équation : $\dfrac{x_{\text{A}}}{a^2}x + \dfrac{y_{\text{A}}}{b^2}y = 1$. \item Déterminer les coordonnées du point V, intersection de $(T_{\text{A}})$ avec l'axe des abscisses. \item Vérifier la relation : $a^2\text{AF}^2 = a^2 (x_{\text{A}} - c)^2 + \left(a^2- c^2\right)\left(a^2 - x_{\text{A}}\right)$. \item Écrire de manière analogue une expression de $a^2\text{AF}'^2$ (ne pas détailler les calculs). \item Montrer la relation : $\dfrac{\text{AF}^2}{\text{AF}'^2} = \dfrac{\text{VF}^2}{\text{VF}'^2}$. \item Que représente la droite $(T_{\text{A}})$ dans le triangle (AFF$'$) ? \end{enumerate} \bigskip \begin{center}\textbf{TROISIÈME EXERCICE} \medskip \textbf{PARTIE A} \end{center} \medskip L'objectif de cette partie est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} f(0)&=&0\\ f(x)&=&\dfrac{x \ln (x)}{x + 1}\quad \text{si} \: x > 0 \end{array}\right.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. \item Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Donner l'expression de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $ln(x) + x + 1 = 0$ admet, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, une solution unique que l'on notera $\alpha$. \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. Vérifier que $f (\alpha) = - \alpha.$ \end{enumerate} \item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : axe des abscisses, 5 cm pour 1 unité, axe des ordonnées, 10 cm pour 1 unité. \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{PARTIE B} \end{center} \medskip Dans cette partie, on calcule la somme d'une série numérique au moyen d'un développement en série de Fourier. Soit $g$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$, à valeurs dans $\R$, périodique de période 2 telle que \[g(x) = x(2\pi - x) \quad \text{si}\quad 0 \leqslant x < 2.\] \medskip \begin{enumerate} \item Esquisser sommairement la représentation graphique de la fonction $g$ sur l'intervalle $[- 2\pi~;~4\pi]$. \item Calculer les coefficients de Fourier de la fonction $g$, et prouver que, pour tout réel $x$, on a : \[g(x) = \dfrac{2\pi^2}{3} 4 \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{\cos (nx)}{n^2}.\] \item Montrer la relation $\dfrac{\pi^2}{12} = \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \dfrac{(- 1)^{n-1}}{n^2}.$ \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{PARTIE C}\end{center} \medskip On se propose de calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$. Pour tout entier naturel $k,\: k \geqslant 1$, on pose $f_k(x) = x^k \ln (x)$ pour $x > 0$ et $f_k (0) = 0$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $f_k$ est continue sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$. \item Pour tout entier naturel $k$, calculer l'intégrale $I_k = \displaystyle\int_0^1 f_k \:\text{d}x$. \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul et tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ~;~+ \infty[$, montrer que : \[\dfrac{1}{1 + x} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k x^k + (- 1)^n \dfrac{x^n}{1 + x}.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[I = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (- 1)^{k-1}I_k + (- 1)^n \displaystyle\int_0^1 x^n f(x)\:\text{d}x.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\left|I - \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (- 1)^{k-1}I_k \right| \leqslant \dfrac{\alpha}{n+1}$. \item En déduire la valeur de $I$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}