\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage{diagbox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \usepackage{color,colortbl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[first=1,last=6]{lcg} \usepackage{calc} \usepackage{pst-plot,pstricks,pst-func,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPLP}, pdftitle = {2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{CAPLP externe 2021}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small } \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe et CAFEP \decofourright\\Section : Mathématiques -- Physique--Chimie Session 2021\\ Épreuve écrite sur dossier de mathématiques}} Durée : 4 heures \end{center} \vspace{0,25cm} Le sujet est constitué de trois exercices indépendants qui peuvent être traités dans un ordre quelconque. Le premier exercice est un vrai-faux avec justification. Le deuxième exercice est un exercice de nature pédagogique. Le troisième exercice est constitué de deux parties. \bigskip \textbf{Exercice 1} \medskip Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite de nombres réels telle que $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N,\, u_{n+1}= \sqrt{2 + u_n}$. \textsc{Proposition}: Pour tout $n \in \N, \, 0 \leqslant u_n \leqslant 2$. \item Soit $\left(u_n\right)$ une suite réelle positive décroissante. \textsc{Proposition}: La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$. \item \textsc{Proposition}: Pour tout $n \in \N^*$,\, $\displaystyle\sum_{k = 1}^n \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{n}{n+1}$. \item Soit $\left(u_n\right)$ la suite de nombres réels telle que $u_0 =1$ et, pour tout $n \in \N,\,$ $u_{n+1} = u_n + \text{e}^{-u_n}$. \textsc{Proposition}: La suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$. \item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. \textsc{Proposition}: Si $f$ est strictement croissante sur $I$, alors $f'$, est strictement positive sur $I$. \item \textsc{Proposition} : Pour tout réel $x,\, \text{e}^x \geqslant 1 + x$. \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \left\{\begin{array}{l c l} \dfrac{\sin(x)}{x} &\text{si}&x \ne 0\\ 1 &\text{si}& x = 0 \end{array}\right.\] \textsc{Proposition} : La fonction $f$ est dérivable sur $\R$. \item Soit $f$ une solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y'' + 3y' + 2y = 0$. \textsc{Proposition} : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = 0$. \item Pour tout réel $x$, on note $D(x)$ le déterminant de la matrice $\begin{pmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x \end{pmatrix}$ \textsc{Proposition} : $D(x)$ est nul si et seulement si $x = 1$. \item On lance cinq fois un dé équilibré (six faces équiprobables numérotées de1 à 6). \textsc{Proposition} : La probabilité d'obtenir exactement une fois la face \og 6 \fg{} est égale à $\dfrac{5}{6}$. \item Soit $n$ un entier naturel non nul et $x_1, \ldots , x_n$ des réels. On note $m$ la moyenne de la série statistique $\left(x_1, \ldots , x_n\right)$ et $s$ son écart type. Pour tout $i \in \llbracket~;~ n\rrbracket$, on pose $y_i =2x_i + 3$. \textsc{Proposition}: La série statistique $\left(y_1, \ldots , y_n\right)$ a pour moyenne $2m + 3$ et pour écart type $2s + 3$. \item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\dfrac{1}{2}$. \textsc{Proposition}: La probabilité de l'événement $(X < \ln (9))$ est égale à $\dfrac{1}{3}$. \item Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C, D d'affixes 1, i, $- 1,\, - \text{i}$. On note $\Gamma$ le cercle unité, c'est-à-dire l'ensemble des points dont l'affixe $z$ vérifie $|z| = 1$. Si M est un point de $\Gamma$,on note $p$(M) le produit des distances de M aux points A, B, C, D : \[p(\text{M}) = \text{MA} \times \text{MB} \times \text{MC }\times \text{MD}.\] \textsc{Proposition} : Lorsque M décrit $\Gamma$, le maximum de $p$(M) est égal à 2. \item Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, soit A le point de coordonnées (1~;~0) et B le point de coordonnées (0~;~1). \textsc{Proposition} : L'ensemble des points M du plan tels que $\text{MA} = \text{MB} \sqrt{2}$ est un cercle de rayon 2. \item Dans l'espace affine muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère la sphère $\mathcal{S}$ d'équation $x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2y - 15 = 0$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $2x - 2y + z - 4 = 0$. \textsc{Proposition} : L'intersection de $\mathcal{S}$ et de $\mathcal{P}$ est un cercle de rayon 3. \end{enumerate} %%%%%%%% \newpage \textbf{Exercice 1} \medskip Cet exercice de type pédagogique a pour objectif l'analyse d'une activité de statistique, inspirée d'un document titré \og Mettre des gants \fg, disponible sur le site Éduscol. L'analyse demandée nécessite les annexes suivantes fournies en fin de sujet: \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] annexe 1 : énoncé de l'activité; \item[$\bullet~~$] annexe 2 : extraits des programmes des classes de seconde et de première professionnelles; \item[$\bullet~~$] annexe 3 : extrait du préambule des programmes des classes de seconde et première professionnelles. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item À quel niveau de classe peut-on proposer l'exercice présenté en annexe 1 ? \item Quelles capacités et connaissances du programme de cette classe un élève doit-il mobiliser pour résoudre cet exercice ? \item Quels sont les prérequis nécessaires à sa résolution? \item Citer deux des cinq compétences figurant dans le tableau de l'annexe 3, que cet exercice permet de travailler particulièrement. Argumenter la réponse. \item Proposer une correction de cet exercice, telle qu'elle pourrait figurer dans le cahier d'un élève. \item Citer trois difficultés qu'un élève pourrait rencontrer et proposer pour chacune d'elles une question intermédiaire qui pourrait l'aider à les surmonter. \item On s'intéresse à une série statistique à deux variables $\left(x_i,\, y_i\right)_{1\leqslant i\leqslant n}$, où $n$ est un entier naturel. Dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Ouv, on considère le nuage formé par les $n$ points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$. On suppose que ces points n'appartiennent pas à une droite parallèle à l'axe $\left(\text{O},\, \vect{v}\right)$. On souhaite réaliser un ajustement affine de ce nuage de points par une droite $\mathcal{D}$, d'équation réduite $y = ax + b$, où $a$ et $b$ sont deux réels. On note $P_i$ le point de $\mathcal{D}$ d'abscisse $x_i$i et $S(a,\, b)$ la somme des carrés des distances $M_iP_i$ : \[S(a,\,b) = \displaystyle\sum_{i = 1}^n M_iP_i^2.\] \begin{enumerate} \item Montrer que \[S(a,\,b) = a^2\displaystyle\sum_{i = 1}^n x_i^2 +nb^2 - 2a\displaystyle\sum_{i = 1}^n x_iy_i - 2b\displaystyle\sum_{i = 1}^n y_i + 2ab \displaystyle\sum_{i = 1}^n x_i + \displaystyle\sum_{i = 1}^n y_i^2.\] \item On admet qu'il existe une unique droite $\mathcal{D}$ pour laquelle la somme $S(a,\, b)$ est minimale. Cette droite est appelée droite de régression de $y$ en $x$ de la série $\left(x_i,\, y_i\right)_{1\leqslant i.\leqslant n}$. Soit $S$ la fonction de deux variables réelles définie, pour tout couple $(a,\, b) \in \R^2$, par : \[S(a,\, b) = \displaystyle\sum_{i = 1}^n M_iP_i^2,\] %%%%%%%%%%% En tout point de $\R^2$, $S$ admet une dérivée partielle d'ordre un par rapport à $a$ et une dérivée partielle d'ordre un par rapport à $b$. On admet que le minimum de $S$ est obtenu lorsque ces deux dérivées partielles sont nulles. Montrer qu'une première condition pour que la fonction $S$ admette un minimum est: \[\displaystyle\sum_{i = 1}^n y_i = nb + a\displaystyle\sum_{i = 1}^n x_i.\] \item En déduire que le point moyen $G\left(\overline{x},\,\overline{y}\right)$ du nuage de points appartient à la droite $\mathcal{D}$. (On note $\overline{x}$ et $\overline{y}$ les moyennes des séries statistiques $\left(x_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ et $\left(y_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}$. \item Montrer qu'une seconde condition pour que la fonction $S$ admette un minimum est: \[\displaystyle\sum_{i = 1}^n x_iy_i = b\displaystyle\sum_{i = 1}^n x_i+ a \displaystyle\sum_{i = 1}^n x_i^2.\]- \item Montrer que les nombres $a$ et $b$ pour lesquels la fonction $S$ admet un minimum sont: \[a = -\dfrac{\displaystyle\sum_{i = 1}^n x_iy_i - n\overline{x}\overline{y}}{\displaystyle\sum_{i = 1}^n x_i^2 - n\overline{x_i}^2} \quad \text{et} \quad b = \overline{y} - a\overline{x}.\] \item On considère la série statistique à deux variables $\left(x_i,\,y_i\right)$ constituée à partir du tableau de l'activité de l'annexe 1. Les valeurs $x_i$ représentent la température de l'air en \degres C, et les valeurs $y_i$ représentent la température ressentie correspondante, en \degres C, pour un vent soufflant à $50$~km/h. \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$&1&2&3&4&5\\ \hline $x_i$& $-10$& $-5$& 0& 5&10\\ \hline $y_i$&$-23$& $-14$& $-7,5$& $-1$& 5,5\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Calculer $a$ et $b$. \item À l'aide de la droite de régression de $y$ en $x$ de la série $\left(x_i,\,y_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant 5}$, en déduire la température de l'air à partir de laquelle des lésions irréversibles peuvent apparaître sur les mains du conducteur d'un scooter roulant sans gants à $50$~km/h pendant plus de $30$minutes. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%% \newpage \textbf{\large Exercice 3} \medskip \textbf{Introduction} \medskip Dans tout l'exercice, on suppose que $T$ est une variable aléatoire réelle de densité $f$. On suppose de plus que $f$ est nulle sur $]-\infty~;~0[$, strictement positive sur $]0, +\infty[$ et que sa restriction à $[0~;~+\infty[$ est continue. On rappelle les résultats suivants : $\bullet~~$Du fait que $f$ est une densité, et qu'elle est nulle sur $]-\infty~;~0[$, on a \[\displaystyle\int_{- \infty}^{+ \infty} f(t)\:\text{d}t = \displaystyle\int_{0}^{+ \infty} f(t)\:\text{d}t = 1.\] $\bullet~~$Si $\theta_1$ et $\theta_2$ sont deux réels tels que $\theta_1 \leqslant \theta_2$, alors \[P\left(\theta_1\leqslant T \leqslant \theta_2\right) = \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} f(t)\:\text{d}t.\] $\bullet~~$La fonction de répartition de $T$ est la fonction $F$ de $\R$ dans $\R$ définie par \[\forall \theta \in \R, \quad F(\theta) = P(T \leqslant \theta) = \displaystyle\int_{- \infty}^{\theta} f(t)\:\text{d}t = \displaystyle\int_{0}^{\theta} f(t)\:\text{d}t.\] $\bullet~~$L'espérance de la variable aléatoire $T$ est donnée par \[E(T) = \displaystyle\int_{0}^{+ \infty} tf(t)\:\text{d}t,\] sous réserve que cette intégrale converge. \bigskip \textbf{\large A. Fonction de survie et taux de défaillance} \medskip On appelle durée de vie d'un composant électronique la durée de fonctionnement de ce composant jusqu'à sa première panne éventuelle. On considère un composant électronique dont la durée de vie est modélisée par une variable aléatoire $T$ ayant les propriétés mentionnées dans l'introduction. On appelle \emph{fonction de survie} du composant la fonction $S$ définie sur $\R_+$ par : \[\forall \theta \in \R_+, \quad S(\theta) = \displaystyle\int_{\theta}^{+ \infty} f(t)\:\text{d}t = 1 - F(\theta).\] Pour tout réel $t$ positif, on appelle \emph{taux de défaillance} à l'instant $t$ le nombre $\pi(t)$ défini par \[\pi(t) = \dfrac{f(t)}{S(t)}.\] \begin{enumerate} \item Soit $t$ un réel positif. Pour tout réel strictement positif $h$, on note $q(t,\, h)$ la probabilité que le composant tombe en panne entre les instants $t$ et $t+ h$ sachant qu'il fonctionne encore à l'instant $t$, c'est-à-dire le nombre $q(t,\, h)$ défini par \[q(t,\, h) = P_{[T > t]}(t < T <\leqslant t + h).\] \begin{enumerate} \item Établir pour tout réel $h$ strictement positif, l'égalité : $q(t,\,h) = \dfrac{S(t) - S(t + h)}{S(t)}$. \item Montrer que la fonction $S$ est dérivable sur $\R_+$ et préciser sa fonction dérivée. \item Montrer que le rapport $\dfrac{q(t, h)}{h}$ h a pour limite $\pi(t)$ quand $h$ tend vers 0 par valeurs supérieures. \end{enumerate} \item On suppose, dans cette question, que $\lambda$ est un réel strictement positif et que $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. On rappelle que $T$ admet alors pour densité la fonction $f$ donnée par $f(t) = \lambda \text{e}^{-\lambda t}$ pour $t \geqslant 0$ et $f(t) = 0$ pour $t < 0$. \begin{enumerate} \item Rappeler la valeur de l'espérance de $T$, notée $E(T)$, et justifier ce résultat par le calcul. \item Déterminer la fonction de survie du composant et donner l'allure de sa courbe représentative. \item Établir, pour tout réel $t$ positif, l'égalité $\pi(t) = \dfrac{1}{E(T)}$. \end{enumerate} \item On suppose dans cette question que $T$ est une variable aléatoire de densité $f$ définie par \[f(t) = \left\{\begin{array}{l c l} t \text{exp}\left(- \dfrac{t^2}{2} \right)&\text{si}& t \geqslant 0\\ 0&\text{si}& t < 0 \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $f$ est une densité de probabilité. On rappelle que la loi normale d'espérance nulle et de variance 1 a pour densité la fonction définie sur $\R$ par \[t \longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \text{exp}\left(- \dfrac{t^2}{2} \right).\] \item En déduire les égalités : $\displaystyle\int_0^{+ \infty}\text{exp}\left(- \dfrac{t^2}{2} \right)\:\text{d}t = \sqrt{\dfrac{\pi}{2}} = \displaystyle\int_0^{+ \infty}t^2\text{exp}\left(- \dfrac{t^2}{2} \right)\:\text{d}t$. \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $T$. \item Montrer que la variable aléatoire $T^2$ suit une loi exponentielle et préciser son paramètre. En déduire la variance de la variable aléatoire $T$. \item Déterminer la fonction de survie $S$ du composant. \item Calculer, pour tout réel $t$ positif, le taux de défaillance $\pi(t)$. \end{enumerate} \item On suppose dans cette question qu'il existe une constante $a$ strictement positive telle que \[\forall t \in \R_+,\quad \pi(t)= \alpha.\] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $t$ positif, $S'(t) = - \alpha S(t)$. \item Soit $g$ la fonction de $\R_+$ dans $\R$ telle que, pour tout réel $t$ positif, $g(t) = \text{e}^{\alpha t} S(t)$. Montrer que la fonction $g$ est constante sur $\R_+$. \item En déduire que $T$ suit une loi exponentielle et préciser son paramètre. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% \bigskip \textbf{\large B. Entretien préventif} \medskip On désire, dans cette partie, comparer le coût de deux méthodes d'entretien. On suppose que la variable aléatoire $T$ admet une espérance (nécessairement strictement positive) notée $E(T)$ et représentant donc la durée moyenne de fonctionnement d'un composant. On considère que la panne d'un composant provoque un préjudice de coût $C$, et que son remplacement a un coût $K$, où $C$ et $K$ sont deux constantes strictement positives. Une \emph{première méthode} consiste à attendre la panne pour procéder au remplacement. On estime alors que le coût de l'entretien du composant par unité de temps est donné par : \[c_1 = \dfrac{K+C}{E(T)}.\] Une \emph{deuxième méthode} d'entretien consiste à se fixer un réel $\theta$ strictement positif et à remplacer le composant dès sa panne si elle survient au bout d'une durée de fonctionnement inférieure à $\theta$, sinon à le remplacer préventivement au bout d'une durée $\theta$ de fonctionnement. On estime alors que le coût de l'entretien du composant par unité de temps est donné en fonction de $\theta$ par: \[c_2(\theta) = \dfrac{K + (1- S(\theta))C}{\displaystyle\int_0^{\theta} S(t)\:\text{d}t}.\] \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout réel $\theta > 0$, \[\displaystyle\int_0^{\theta} S(t)\:\text{d}t = P(T >\theta) \times \theta + P(T \leqslant \theta) \times \displaystyle\int_0^{\theta} t\dfrac{f(t)}{F(\theta)}\:\text{d}t.\] L'intégrale $\displaystyle\int_0^{\theta} S(t)\:\text{d}t$ peut donc s'interpréter comme la durée moyenne de fonctionnement du composant dans la deuxième méthode. \item Dans le cas où $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, calculer $c_1$ et, pour tout réel$\theta$ strictement positif, exprimer $c_2(\theta)$ en fonction de $C, K$ et $\lambda$. \emph{Indication : utiliser la question }A.2. Montrer qu'alors la deuxième méthode ne présente pas d'avantage. Comment peut-on expliquer ce résultat ? \item On suppose que $T$ suit la loi décrite dans la question A. 3. \begin{enumerate} \item Préciser la valeur de $c_1$ et montrer que l'on a: $\displaystyle\lim_{\theta \to + \infty} c_2(\theta) = c_1$. \item On pose pour tout réel strictement positif $\theta$, \[\varphi(\theta) = C\displaystyle\int_0^{\theta} \text{exp}\left(\dfrac{t^2}{2}\right) \:\text{d}t- \dfrac{1}{\theta}\left[K + C\left(1 - \text{exp}\left(-\dfrac{\theta^2}{2}\right)\right)\right].\] Montrer que la fonction $\varphi$ est dérivable sur $\R_+^*$et que sa fonction dérivée est strictement positive. En déduire le tableau de variations de $\varphi$ en y portant les limites aux bornes. %%%%%%%%% \item Étudier les variations de la fonction $c_2$ et montrer qu'elle admet un minimum en $\theta_0$ qui vérifie $c_2\left(\theta_0\right) < c_1$. \item Établir l'égalité $c_2\left(\theta_0\right) = C \theta_0$ puis l'inégalité $\theta_0 < \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\left(1+ \dfrac{K}{C}\right)$. \item On suppose, dans cette question, que $K$ et $C$ sont tous deux égaux à 1, et on donne : \[c_2(1,5) = \np{1,5429} \quad \text{et} \quad c_2(1,45) = \np{1,5439}.\] En déduire un encadrement de $\theta_0$ d'amplitude $0,1$. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%% \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe 1\\ [8pt] Énoncé de l'activité}\end{center} \medskip Lorsqu'il y a du vent, la température ressentie est différente de la température de l'air. Le tableau ci-dessous donne la température ressentie, pour différentes températures de l'air, en prenant en compte la vitesse du vent. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \diagbox{\footnotesize Tempéra- \\\footnotesize ture de l'air \\\footnotesize (en $\degres$ C)}{\footnotesize Vitesse \\\footnotesize du vent\\\footnotesize (en km/h)} &0 &10 &20 &30 &40 &50\\ \hline $- 10$ &$- 10$ &$- 15$ &$- 18$ &$- 20$ &$- 21$ &$- 23$\\ \hline $- 5$ &$- 5$ & $-9,5 $&$-12$ &$- 13$ &$- 13$ &$- 14$\\ \hline 0 &0 &$-3$ &$-5$ &$-6,5$ &$-7$ &$-7,5$\\ \hline 5 & 5 & 3 &1 & 0 &$-0,5$ &$- 1$\\ \hline 10 &10 &9 &7,5 &7 &6 &5,5\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Exemple : si la température de l'air est $-10$~\degres C et qu'il y a un vent soufflant à $30$~km/h, la température ressentie est $-20$~\degres C. Des lésions irréversibles peuvent apparaître aux extrémités (mains, pieds, nez et oreilles) si elles sont soumises plus de $30$~minutes à des températures inférieures à $- 25$~\degres C. On admet que la température ressentie par le conducteur d'un scooter à 50~km/h est la même que celle donnée dans le tableau ci-dessus, pour un vent soufflant à 50 km/h. À partir de quelle température de l'air des lésions irréversibles peuvent-elles apparaître sur les mains du conducteur d'un scooter roulant sans gants pendant plus de $30$~minutes à $50$~km/h ? \newpage %%%%%%%%% \begin{center}\textbf{Annexe 2}\end{center} \medskip \textbf{Extraits des programmes des classes de seconde et de première professionnelles} \medskip Classe de seconde professionnelle \textbf{Statistique à une variable} \textbf{Objectifs} \medskip L'objectif de ce module est de favoriser la prise d'initiative et la conduite de raisonnements pour interpréter, analyser ou comparer des séries statistiques. Pour ce faire, on s'appuie sur des situations concrètes liées aux spécialités professionnelles ou issues de la vie courante. Des données réelles sont à privilégier. L'utilisation des outils numériques est nécessaire. Ce module est particulièrement propice aux changements de registres (textes, tableaux, graphiques) qui participent au renforcement de la maîtrise de la langue. \medskip \textbf{Liens avec le cycle 4} \medskip Au cycle 4, les élèves ont appris à recueillir, organiser, interpréter, représenter et traiter des données, à utiliser un tableur-grapheur pour présenter des données sous la forme d'un tableau ou d'un diagramme. Ils ont également appris à calculer des effectifs et des fréquences, à calculer et à interpréter des indicateurs de position et de dispersion d'une série statistique. Ils ont étudié moyenne, médiane et étendue. En seconde, ils consolident ces notions et découvrent d'autres représentations et indicateurs permettant de comparer des séries statistiques. Ils découvrent la notion d'intervalle comme ensemble de nombres vérifiant des inégalités. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Capacités}} &\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Connaissances}}\\ \hline Recueillir et organiser des données statistiques.&Regroupement par classes d'une série statistique.\\ \hline Organiser des données statistiques en choisissant un mode de représentation adapté à l'aide des fonctions statistiques d'une calculatrice ou d'un tableur. Extraire des informations d'une représentation d'une série statistique.&Représentation d'une série statistique par un diagramme en secteurs, en bâtons, en colonnes, à lignes brisées.\\ \hline Comparer et interpréter des séries statistiques à l'aide d'indicateurs de position et de dispersion calculés avec les fonctions statistiques d'une calculatrice ou d'un tableur.&Indicateurs de position : mode, classe modale, moyenne, médiane, quartiles. Indicateurs de dispersion: étendue, écart type, écart interquartile $Q_3 - Q_1$.\\ \hline Construire le diagramme en boîte à moustaches associé à une série statistique avec ou sans TIC. Comparer et interpréter des diagrammes en boîte à moustaches.&Diagrammes en boîte à moustaches\\ \hline \end{tabularx}. \end{center} \textbf{Exemple d'algorithme} Déterminer la fréquence d'apparition d'une lettre dans un texte. \smallskip \textbf{Commentaires} Les déciles et les centiles peuvent être présentés lorsque leur étude est pertinente pour la situation traitée. \end{document}