\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{enumitem} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \usepackage{color,colortbl} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage[first=1,last=6]{lcg} \usepackage{calc} \usepackage{pst-plot,pstricks,pst-func,pstricks-add} \usepackage{pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {CAPLP }, pdftitle = {8 avril 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{CAPLP externe 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \rfoot{\small } \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~CAPLP Concours externe et CAFEP \decofourright\\[7pt]Section : Mathématiques -- Physique--Chimie Session 8 avril 2020\\[7pt] Épreuve écrite sur dossier de mathématiques}} Durée : 4 heures \end{center} \vspace{0,25cm} Le sujet est constitué de trois exercices indépendants qui peuvent être traités dans un ordre quelconque. Le premier exercice est un vrai-faux avec justification. Le deuxième exercice est un exercice de nature pédagogique. Le troisième exercice est constitué de cinq parties. \bigskip \textbf{\large Exercice 1} \medskip Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. \medskip \begin{enumerate} \item La matrice $M = \begin{pmatrix}2& 1& 0\\-1& 2& 3\\0&5&6\end{pmatrix}$ est inversible. \item On a la relation $\displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} \left(\dfrac{1}{2} \right)^n = 2$. \item Soit $f$ la fonction définie sur $[-1~;~1]$ par \[f(x) = \left\{\begin{array}{l c l} \dfrac{1}{x}\left(\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2} \right)&\text{si}&x \ne 0\\ 0&\text{si}&x = 0 \end{array}\right.\] La fonction $f$ est continue sur $[-1~;~1]$ et dérivable sur $]-1~;~1[$. \item On considère un cône $C$ dont le diamètre de la base et la hauteur mesurent 1 unité, et une boule $B$ de diamètre 1 unité. Les volumes de $C$ et de $B$ sont dans le ratio 1~:~2. \item On a la relation $\displaystyle\int_0^{1/2} \dfrac{x}{\left(1 + x^2 \right)^{3/2}}\:\text{d}x = 1 + \dfrac{2}{\sqrt{3}}$. \item Soit la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N^*}$ définie par $u_nn = \cos (n)$ et la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N^*}$ définie par $v_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$. La suite $\left(u_nv_n\right)_{n\in \N^*}$ converge et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(u_nv_n\right) = 0$. \item La documentation technique d'une machine fabriquant des pièces dans une usine indique que, quand la machine est bien réglée, les pièces présenteront un défaut dans $0,8$\,\% des cas. On s'intéresse à un échantillon de $800$ pièces prélevées au hasard sur le stock. On suppose que le stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler cela à un tirage au sort avec remise. Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des pièces sans défaut dans l'échantillon au seuil de 95\,\% est [0,985~;~0,999]. \item Soit la fonction $f$ définie sur $\R\ \{-1~;~1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^3 +2x^2}{x^2 - 1}$. La courbe représentative de la fonction $f$ admet une asymptote oblique en $-\infty$ et en $+\infty$. \item L'équation différentielle $y''- 3y'+ 2y = x^2- 3x$ a pour ensemble de solutions réelles \[\left\{x \longmapsto k_1 \text{exp} x + k_2 \text{exp} (2x), \, \left(k_1,\, k_2 \right)\in \R^2\right\}.\] \item Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé O$xy$, soit $\Delta$ la droite d'équation $x + y + 1 = 0$ et soit $\Gamma$ le cercle d'équation $x^2 + y^2 - 2x- 1 = 0$. La droite $\Delta$ est tangente au cercle $\Gamma$. \item On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On sait que $P(X < 20)= 0,5$. Le paramètre $\lambda$ vaut $\dfrac{1}{20}$. \item On considère la fonction $g$ de $\C$ dans $\C$ qui à tout nombre complexe $z$ associe le nombre complexe $g(z) =z^2 + 2z + 9$. Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $g(z)$ soit un nombre réel est une droite. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 2} \medskip Cet exercice de type pédagogique a pour objectif l'analyse de l'activité \og Extremum par balayage\fg{} proposée dans le document ressources \og Algorithmique et programmation\fg{} destiné à la classe de seconde professionnelle. Cette activité fait référence à \og Rechercher un extremum par balayage sur un intervalle donné \fg, qui est un des exemples d'algorithmes et d'activités numériques du module \og Fonctions\fg{} du programme de la classe de seconde professionnelle. \medskip L'analyse demandée nécessite les annexes suivantes fournies en fin de sujet. \medskip \setlength\parindent{9mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] annexe 1 : extrait du programme de la classe de seconde professionnelle, module \og Fonctions\fg{}; \item[$\bullet~~$] annexe 2 : extrait du programme de la classe de seconde professionnelle, module \og Algorithmique et programmation\fg{}; \item[$\bullet~~$] annexe 3 : éléments pour l'enseignant, extrait du document ressource \og Algorithmique et programmation\fg{} pour la classe de seconde professionnelle. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Le texte de l'activité est reproduit dans l'encadré ci-dessous. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Activité: Extremum par balayage}\\[5pt] La méthode du balayage pour approcher un extremum d'une fonction est présentée ici sans contextualisation spécifique. Cette méthode s'applique à tout type de fonctions, de la seconde professionnelle à la classe terminale. Considérons la fonction $f$ définie sur $[-2~;~1]$ par $f(x) =- x^3 + x - 1$. On cherche à déterminer par balayage un encadrement de son minimum à un pas donné. Remarque: Comme la fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé borné, on est assuré de l'existence d'un minimum, mais aussi d'un maximum, sur cet intervalle. Mais là encore, tel n'est pas le propos. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm} \begin{pspicture}(-3,-3)(2,6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-3)(2,6) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{1}{x 1 sub x 3 exp sub} \psdots[linecolor=red](-2,5)(1,-1) \uput[l](-1.8,2.5){\red $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture} \end{center}\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{\large Partie A : étude du module \og Fonctions\fg{} du programme de la classe de seconde professionnelle} \medskip \begin{enumerate} \item Indiquer quelles connaissances de ce module \og Fonctions\fg{} sont nécessaires à la réalisation de cette activité. \item Dans cette activité, on considère la fonction $f$ définie, sur l'intervalle $[-2~;~1]$, par \begin{enumerate} \item Lister les capacités du module \og Fonctions\fg{} qui peuvent être travaillées en utilisant la fonction $f$. \item Pour chacune d'elles, rédiger une question, à destination d'une classe d'élèves de seconde, qui permettrait la mise en œuvre de cette capacité. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie B : étude de l'activité} \medskip Dans cette activité, la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-2~;~1]$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la définition du minimum d'une fonction définie sur un intervalle $I$. \item Déterminer graphiquement le minimum de $f$ sur cet intervalle. \item La fonction $f$ admet-elle un maximum sur cet intervalle ? Si oui, lequel ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Partie C : analyse du programme en langage Python} \medskip Le document ressource propose une méthode de résolution, qui utilise un programme de recherche d'extremum par balayage écrit en langage Python. La méthode proposée est explicitée dans l'encadré ci-dessous. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \textbf{Méthode proposée}\\ On choisit un pas $h$, réel strictement positif.\\ La méthode peut être décrite de la façon suivante : on part de la borne gauche de l'intervalle, c'est-à-dire $-2$, puis on compare $f(-2)$ à $f(-2 + h)$ et on conserve la plus petite des deux valeurs.\\ On compare cette valeur à $f( -2 + 2h)$, et on conserve à chaque fois la plus petite valeur parmi celles calculées, etc.\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item Écrire un algorithme en pseudo-code, correspondant à la méthode proposée dans l'encadré ci-dessus. \medskip Afin de mettre en œuvre la méthode, le document ressource propose le programme Python de l'encadré ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline \begin{center} \begin{tabular}{l} \texttt{\textbf{def} f(x):}\\ \quad \texttt{\textbf{return} -x**3+x-1}\\ ~\\ \quad \texttt{\textbf{def} minimum(f, a, b, pas):}\\ \quad \quad \texttt{k=0}\\ \quad \quad \texttt{mini=f(a)}\\ \quad \quad \texttt{c = a}\\ \quad \quad \texttt{\textbf{while} a+k*pas<=b :}\\ \quad \quad \quad \texttt{\textbf{if} f(a+k*pas)